2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

1、2018 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、填空题 ( 每题 8 分，共 64 分，结果须化简 )1、设三个复数 1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5 ，则 z=2、设 n 是正整数，且满足n5 =438427732293，则 n=3、函数 f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期 =4. 设点 P,Q 分别在函数 y=2x 和 y=log 2 x 的图象上，则 |PQ| 的最小值 =5、从 1,2, ， 10 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2 1 的概率 =6、在边长为 I 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内部有一小球，

2、该小球与正方体的对角线段 AC1 相切，则小球半径的最大值 =7、设 H 是 ABC的垂心，且 3HA4HB5HC0 ，则 cos AHB=8、把 1，2， ,n 2 按照顺时针螺旋方式排成n 行 n 列的表格 Tn，第一行是 1,2, ,n.123例如： T3 894设 2018 在 T100 的第 i 行第 j 列，则 (i,j)=765二、解答题 ( 第 9-10 题每题 21 分，第 11-12 题每题 22 分，共 86 分)9、如图所示，设 ABCD是矩形，点 E, F 分别是线段 AD, BC 的中点，点 G 在线段 EF 上，点 D, H 关于线段 AG的垂直平分线 L 对称

3、. 求证 : HAB=3 GAB.10、设 O是坐标原点，双曲线 C: 上动点 M处的切线交 C 的两条渐近线于 A,B 两点。（ 1）减 B 两点 :(1) 求证： AOB的面积 S 是定值。（ 2）求 AOB的外心 P 的轨迹方程 .11、（ 1）求证：对于任意实数 x,y,z 都有 : x 22 y23z23 xy yz zx .（ 2）是否存在实数 k3，使得对于任意实数 x.y,z下式恒成立？x 22y23z2k xyyzzx ，试证明你的结论 .12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色 . 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数 .2

4、018 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷考试时间 :2019 年 6 月 30 日上午 9:001. 设三个复数 1,i, z 在复平面上对应的三点共线，且z 5 ，则 z4-3i, 34i .2. 设 n 是正整数，且满足5, 则 n.n4384277322932133. 函数 f xsin2x sin3 xsin 4x 的最小正周期 =2 .4. 设 点 P, Q 分 别 在 函 数 y2x 和 ylog 2 x 的 图 象 上 , 则 PQ 的 最 小值 =1 ln ln 22.ln 25、从 1,2,10 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s21的概率= 1 .156、在边长为 1

5、的正方体 ABCDA1 B1C1 D1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 AC1 相切，则小球半径的最大值 =46 .57、设H是ABC 的垂心，且 3HA 4HB5HC 0，则 cosAHB6.68、把 1,2,n2 按照顺时针螺旋方式排成n 行 n 列的表格 Tn ，第一行是 1,2,n .123例如： T3894 设 2018 在 T100 的第 i 行第 j 列，则 i , j34,95 .7659、如图所示，设ABCD 是矩形，点 E, F 分别是线段 AD, BC 的中点，点 G 在线段 EF 上，点 D , H 关于线段 AG 的垂直平分线 L 对称 . 求证 :HAB3GAB .10、设 O 是坐标原点，双曲线 C : x2y21 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近a2b2线于 A, B 两点.(1) 求证： ABC 的面积 S 是定值 ;（ 2）求 AOB 的外心 P 的轨迹方程 .11. （ 1）求证：对于任意实数x, y, z 都有 : x22y 23z23 xy yz zx .（ 2）是否存在实数 k3，使得对于任意实数x, y, z 下式恒成立？x22 y23z