2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及详解精校精编版

1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题 (第 1 题 第 20 题，共 20 题 )。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等

2、须加黑、加粗。参考公式：锥体的体积 V1Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3一、填空题：本大题共 14 小题，每小题5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合 A0,1,2,8 ， B 1,1,6,8 ，那么 AB 1【答案】 1,8【解析】由题设和交集的定义可知，A B1,8 2若复数 z 满足 i z12i ，其中 i 是虚数单位，则z 的实部为 2【答案】 2【解析】因为 i z112i2i ，则 z2 i ，则 z 的实部为 2i3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5 位裁判打出的分数的平均数为3【答案】 90【解析】由茎

3、叶图可知， 5 位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为 898990919190 54一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为4【答案】 8【解析】由伪代码可得 I3 ， S2 ； I5 ， S4 ； I7 ， S8；因为76 ，所以结束循环，输出 S85函数f ( x)log 2 x1 的定义域为5【答案】 2,【解析】要使函数fx 有意义，则 log2 x10 ，解得 x2，即函数fx 的定义域为 2,6某兴趣小组有2 名男生和3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为 6【答案】 310【解析】从 5 名学生中抽取 2

4、 名学生，共有 10 种方法，其中恰好选中2 名女生3的方法有 3 种，因此所求概率为7已知函数 ysin(2x )(2) 的图象关于直线x对称，则的值是237【答案】6【解析】由题意可得 sin21 ，所以 2 k，332Z ，因为k0，6k k2，所以268在平面直角坐标系xOyx2y21(a 0,b 0) 的右焦点F (c,0)中，若双曲线 a2b2到一条渐近线的距离为3 c ，则其离心率的值是28【答案】 2【解析】因为双曲线的焦点F c,0 到渐近线 yb x 即 bxay 0 的距离为abc0bcb ，所以 b3 c ，a2b2c2因此 a2c2b2c23 c21 c2 ， a1

5、c ， e 2 442cosx,0x2,29函数 f ( x) 满足 f ( x4)f ( x)( xR) ，且在区间 ( 2,2 上， f ( x)则1| x|,- 2x0,2f ( f (15) 的值为9【答案】22【解析】由 fx 4fx 得函数 fx 的周期为 4，所以 f 15f 16 1f1111 ，22因此 f f 15f1cos 2 24210如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为10【答案】43【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2 ，所以该多面体的体积为 2 11224 3332R) 在 (

6、0,) 内有且只有一个零点，则f ( x) 在 1,1上的11若函数 f ( x) 2x ax1(a最大值与最小值的和为11【答案】3【解析】由 fx6x22ax0得 x0 ， xa ，因为函数 fx 在 0,上有3且仅有一个零点且 f0=1，所以 a0 ， fa0 ，33a3a2a10 ， a3，因此 233从而函数 fx在1,0上单调递增，在0,1上单调递减，所以 f xmaxf0， fx minminf1 , f 1f 1 ，f x maxfxminf 0f1143 12在平面直角坐标系xOy 中， A 为直线 l : y2x 上在第一象限内的点， B(5,0)，以 AB为直径的圆 C

7、与直线 l 交于另一点 D若 ABCD 0 ，则点 A 的横坐标为12【答案】 3【解析】设 A a,2 aa 0，则由圆心 C 为 AB 中点得 Ca 5 , a，2易得C : x 5 x a y y 2a 0，与 y2 x 联立解得点 D 的横坐标x1D，所以 D 1,2 所以 AB5a,2a ， CD1 a 5 ,2a，2由ABCD0 得 5a 1a52a 2 a 0 ，2a22a 30 ， a3或 a1，因为 a 0，所以 a313在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，ABC 120 ，ABC 的平分线交 AC于点 D，且 BD 1 ，则 4a c 的最小值

8、为13【答案】 9【解析】由题意可知，S ABCSABDSBCD ，由角平分线性质和三角形面积公式得 1 ac sin1201 a1 sin 601 c1 sin 60，化简得 aca c ， 111，222ac因此 4a c4a11c4ac4a，c5ac5 29acac当且仅当 c2a3 时取等号，则4ac 的最小值为 914已知集合 A x | x2n1,n N* ， B x | x 2n , n N* 将 A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，则使得 Sn 12an 1 成立的n 的最小值为14【答案】 27【解析】设 an =2k

9、 ，则 Sn211+221+2 2k 1 1 + 2 222k2k 1 1 2 2k 11 2 1 2k2k 12，2122k 222由 Sn12an 1 得 22k22k 12 12 2k1 ，2k 120 2k 114 0 ， 2k 125 ，k 6，所以只需研究 25 an 26 是否有满足条件的解，此时 Sn211+221+2m 1 + 2 2225m225 12 ，an +12m1， m 为等差数列项数，且 m 16由 m225 12 12 2m 1 ， m224m 500 ， m22 ， nm 527 ，得满足条件的 n 最小值为 27二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在

10、答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）在平行六面体ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1AB, AB1B1C1 求证：（ 1） AB平面 A1 B1C ；（ 2） 平面 ABB1 A1 平面 A1BC 15【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（ 1）在平行六面体ABCD A1 BC1中，1D1AB A1 B1因为 AB平面 A1B1C ， A1B1平面 A1 B1C ，所以 AB 平面 A1B1C （ 2）在平行六面体ABCDA BC D 中，四边形 ABB A 为平行四边形111111又因为 AA1AB ，所以四边形 ABB1 A

11、1 为菱形，因此 AB1A1 B 又因为 AB1B1C1 ， BC B1C1 ，所以 AB1BC 又因为 A1BBCB ， A1B平面 A1BC ， BC平面 A1BC ，所以 AB1平面 A1BC 因为 AB1平面 ABB1 A1 ，所以平面 ABB1 A1平面 A1BC 16（本小题满分14 分）已知 , 为锐角， tan4 ， cos()5（ 1）求 cos 235的值；（ 2）求 tan() 的值16【答案】（1）7；（2）2 2511【解析】（1）因为 tan4 ， tansin，所以 sin4 cos 3cos3因为 sin 2cos21 ，所以 cos29 ，因此， cos22c

12、os 217 2525（ 2）因为，为锐角，所以0, 又因为 cos5 ，所以 sin1cos225 ，55因此 tan2 因为tan4，所以 tan 22 tan24 ，31tan27因此， tantan 2tan 2tan2 1 tan 2tan1117（本小题满分14 分）某农场有一块农田，如图所示， 它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （ P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为 CDP ，要求 A, B 均在线段 MN 上， C, D 均在圆

13、弧上设OC 与 MN 所成的角为 （ 1）用分别表示矩形 ABCD 和 CDP 的面积，并确定sin 的取值范围；（ 2）若大棚内种植甲种蔬菜， 大棚内种植乙种蔬菜， 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 :3 求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【答案】（ ） 1,1；（2）当171时，能使甲、乙两种46蔬菜的年总产值最大【解析】（ 1）连结 PO 并延长交 MN 于 H ，则 PH过O作OEBC 于E ，则 OEMN ，所以故 OE40cos， EC40sin，则矩形 ABCD 的面积为 240cos40sinMN ，所以 OHCOE，10800 4sin10 coscos，

14、 CDP的面积为1240cos4040sin1600 cossincos2过 N作 GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G 和 K，则 GKKN10 令GOK0 ，则 sin01 ，400, 6当0 , 时，才能作出满足条件的矩形 ABCD ， 2所以 sin的取值范围是1,1 4（ 2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3 ，设甲的单位面积的年产值为 4k ，乙的单位面积的年产值为 3k k 0 ，则年总产值为4k800 4sincoscos3k1600 cossincos8000k sincoscos，0 , 2设 fsincoscos，0 , ，2则 fcos2sin2s

15、in2sin 2sin12sin1 sin1 令 f=0 ，得0 , 时， f0 ，所以 f为增函数；6，当6当 时， f0 ，所以 f为减函数，,26因此，当时， f取到最大值618（本小题满分16 分）1如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 过点 (3,) ，焦点F1 (3,0), F2 ( 3,0) ，圆 O 的直径为 F1 F2 （ 1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（ 2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点若 OAB 的面积为 26 ，求直线 l 的方程718【答案】

16、（1）椭圆 C 的方程为 x2y21；圆 O 的方程为 x2y23；4（ 2）点 P 的坐标为2,1；直线 l 的方程为 y5x 32 【解析】（1）因为椭圆 C 的焦点为 F13,0， F23,0，可设椭圆 C 的方程为 x2y21 a b0 又点3, 1在椭圆 C 上，a2b22311，解得24 ，因此，椭圆 C 的方程为 x2所以 a24b2a 2y21a2b23b14因为圆 O 的直径为 F1F2 ，所以其方程为 x2y23（ 2）设直线 l 与圆 O 相切于 Px0 , y0 x00, y0 0，则 x02y023，所以直线 l 的方程为 yx0xx0y0 ，即 yx0x3 y0y0

17、y0x2y21422x22由x03，消去 y ，得 4x0y024 x0 x364 y00 （*）yxy0y0因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以24x024 4x02y02364 y0248 y02x0220 因为 x0 ， y00，所以 02， y01x因此，点 P 的坐标为2,1因为三角形 OAB 的面积为 26，所以 1AB OP26 ，从而 AB4 2 7277设 Ax1, y1 ， Bx2 , y2，由（ * ）得 x24x048 y02 x022，1 22 4x02y02222x 248y02x022所以 ABx1x2y1y2102 y024x02y02因为 x02

18、y023 ，所以AB216 x02232，即445x021000 ，22492x0x01解得 x025（ x0220 舍去），则 y021 ，因此 P 的坐标为10 ,22222综上，直线l 的方程为 y5x3219（本小题满分16 分）记 f ( x), g ( x) 分别为函数f ( x), g (x) 的导函数若存在 x0 R ，满足 f ( x0 )g (x0 ) 且00，则称0为函数f (x)与g (x)的一个“ S 点”f ( x ) g ( x )x（ 1）证明：函数 f ( x)x 与 g(x)x22x2不存在“ S点”；（ 2）若函数 f (x) ax 21与 g (x)ln

19、 x 存在“ S点”，求实数 a 的值；（ 3）已知函数 f ( x)x2a ， g( x)bex对任意 a 0 ，判断是否存在 b0 ，使函x数 f (x) 与 g( x) 在区间 (0,) 内存在“ S点”，并说明理由19【答案】（1）见解析；（2） a 的值为 e ；2（ ）对任意a 0，存在b0，使函数 fx 与 g x 在区间 0,S内存在 “ 点”3【解析】（1）函数 fxx ， gxx22x2 ，则 f x1 ， g x 2x 2 由 fxgx且 fxgx，得 xx22x2 ，此方程组无解，1 2x2因此， fx与 gxS不存在 “ ”点（ 2）函数 fxax2 1， g xln

20、 x ，则 fx2ax ， gx1 x设 x0为 fx与 gx的“S ”点，由 fx0与 gx0且 f x0与 gx0 ，ax021ln x01 ln x0 ，（ * ）得2ax01，即 ax02x02ax0211 ，即 x011e 得 ln x0e 2 ，则 a22122e 2e 时， x01当 ae 2 满足方程组（ * ），即 x0 为 fx与 gx的“S ”点2因此， a 的值为 e 2（ 3）对任意 a0 ，设 hxx33x2 axa 因为 h 0a0 ， h 113aa20 ，且 hx 的图象是不间断的，所以存在 x00,1，使得 hx00，令b2x03，则 b0ex0 1x0函数

21、 f xx2a ， g xbex，bexx则 fx2x ， gxx1x2由 f xg x且 f xg x，得x2abexx2ax02x03exx1x0x，即e（* ），ex2 xbex x 12x2 x03x 1x2ex01x0x2此时，x0 满足方程组（* ），即 x0是函数 fx与 gx在区间0,1内的一个 “S 点”因此，对任意a0，存在b0，使函数 fx与 gx在区间 0,S内存在 “ 点”20（本小题满分16 分）设 an 是首项为 a1 ，公差为d 的等差数列， bn 是首项为 b1 ，公比为q 的等比数列（ 1）设（ 2）若n2,3,a10,b11,q 2 ，若 | an bn

22、| b1 对 n1,2,3,4 均成立，求d 的取值范围；a1b10,m N* ,q(1,m 2 ，证明：存在 d R ，使得 | anbn | b1 对, m1均成立，并求d 的取值范围（用b1, m,q 表示）20【答案】（1） d 的取值范围为7 , 5；32b1qm2, bq1m（ 2） d 的取值范围为，证明见解析mm【解析】（1）由条件知： ann1 d ， bn2n 1 因为 anbnb1 对 n1，2，3，4 均成立，即 n1 d2n11对 n1，2，3，4 均成立，即 11 ， 1 d3 ， 32d 5 ， 7 3d9，得 7d5 32因此， d 的取值范围为7 , 532（

23、 2）由条件知： anb1n1 d ， bnb1qn1 若存在 d ，使得 anbnb1 （ n2 ，3， m1）成立，即 b1n 1 d b1qn 1b1 （ n2 ，3， ， m 1），即当 n2 ，3， ， m 1时， d 满足 qn 12 b1dqn 1b1 n1n1因为 q 1,m 2，则 1qn 1qm2，从而 qn12b10， qn1b10，对 n2， 3， m1均成立n1n12 ，3， m1均成立因此，取 d0时， nn1 对 nabb下面讨论数列qn12的最大值和数列qn1n1n的最小值1（ n2 ，3， m 1）nn1nnn 1nn 1nn qqq 2当 2 n m 时，

24、q2 q2 nq q nq2nn1n n1，nn 11当 1q2m 时，有 qnqm2 ，从而 nqnqn 1qn20 因此，当 2nm1时，数列qn 12单调递增，n1故数列qn12的最大值为n1设 fx2x1x，当 x所以 fx 单调递减，从而 fqnq n当 2 nm 时，nnqn1n1qm2 m0 时， fxln21x，x ln2 2 0xf01 1111，2n1fn1n因此，当 2n m 1时，数列qn 1n单调递减，1故数列qn 1的最小值为 qmn 1m因此， d 的取值范围为b1 qm2 , b1qm mm数学 ( 附加题 )21【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定

25、其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 41：几何证明选讲( 本小题满分10 分 )如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径， P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若 PC 2 3 ，求 BC 的长A【答案】 2【解析】连结 OC ， 因为 PC 与圆 O 相切，所以 OCPC 又因为 PC2 3，OC2 ，所以 OPPC 2OC24 又因为 OB2 ，从而 B 为 Rt OCP 斜边的中点，所以 BC 2 B 选修 42：矩阵与变换 (本小题满分10 分)23已知矩阵 A1 2（ 1）求 A的逆矩阵 A 1 ；（ 2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点P (3,1) ，求点 P 的坐标1233,1【答案】（ ）；A（2）B112【解析】（ ）因