2018年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)

1、2018 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）设集合A= 1，3，5，7 ， B= x| 2x 5 ，则 AB 的真子集个数为（）A2 个 B3 个 C4 个 D8 个2（5 分）复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（ 5 分）已知向量=（m 1，1）， =（ m，2），则“ m=2”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5 分）在 ABC中， a=2， b=， B=，则 A=（）ABCD或5（5

2、 分）若，则 sin2 =（）ABCD6（5 分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）ABCD7（5 分）已知曲线=1（a0，b0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）Bx2 y22y2A=1 CDx=28（5 分）我国古代名著庄子?天下篇中有一句名言 “一尺之棰，日取其半，第1页（共 21页）万世不竭 ”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）ABCD9（ 5

3、分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球 O1 与正方体共顶点A 的三个面相切，球O2 与正方体共顶点B1 的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C 上的正投影是（）ABCD10（ 5 分）函数 y=xln| x| 的图象大致是（）第2页（共 21页）ABCD11（ 5 分）抛物线 M ：y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A，点 F 为焦点，若抛物线 M 上一点 P 满足 PAPF，则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为 （参考数据：2.24）（）ABCD12（5 分）已知函数，若函数 F（x）=f（x） 3的所有零点依次记为x1

4、 ， x2 ， x3 ， ， xn ，且 x1 x2 x3 xn ，则x1+2x2+2x3+ +2xn 1+xn=（）AB445C455 D二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（ 5 分）则 f（f（ 2）的值为14（ 5 分）已知函数 f（ x）=ax3+bx+1 的图象在点（ 1，f （1）处的切线方程为4x y 1=0，则 a+b=15（ 5 分）设 x，y 满足约束条件，且 x，yZ，则 z=3x+5y 的最大值为16（ 5 分）一个棱长为 5 的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动， 则小正四面体的棱长的最大

5、值为第3页（共 21页）三、解答题：共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（ 12 分）已知正项等比数列 an 满足 a3a9=4a52，a2=1（）求 an 的通项公式；（）记 bn=2nan，求数列 bn 的前 n 项和 Sn18（ 12 分）如图 1，在矩形 ABCD中， AD=2AB=4，E 是 AD 的中点将 ABE沿BE折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB平面 BCDE，如图 2（）求证： PB平面 PEC；（）求三棱锥DPEC的高19（ 12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民

6、币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系， 现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次（）完成下面的 22 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（）若针对商品的好评率， 采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求至少有一次好评的概率附：P（K2 k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722

7、.7063.8415.0246.6357.87910.828第4页（共 21页）（，其中 n=a+b+c+d）20（12 分）给定椭圆 C：+=1（ab 0），称圆心在原点 O，半径为的圆是椭圆 C 的 “准圆 ”已知椭圆 C 的离心率，其 “准圆 ”的方程为 x2+y2=4（ I）求椭圆 C 的方程；（ II）点 P 是椭圆 C 的 “准圆 ”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1 ，l2 交“准圆 ”于点M，N 本资料收集自千人 QQ 群： 323031380 高中数学资源大全（ 1）当点 P 为“准圆 ”与 y 轴正半轴的交点时，求直线l1，l2 的方程，并证明l1l2；（ 2）求证：线

8、段 MN 的长为定值xx21（ 12 分）已知函数 f （x）=（t 1） xe ， g（x）=tx+1 e （） f（x） g（x）在 0，+）上恒成立，求t 的取值范围选修 4-4：极坐标与参数方程22（ 10 分）已知直线 l：3xy6=0，在以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：4sin =0（）将直线 l 写成参数方程（t 为参数， 0，），）的形式，并求曲线 C 的直角坐标方程；（）过曲线 C 上任意一点 P 作倾斜角为 30的直线，交 l 于点 A，求 | AP| 的最值选修 4-5：不等式选讲23已知关于 x 的不等式 | x+1|+| 2x 1|

9、 3 的解集为 x| m x n （ I）求实数 m、n 的值；（ II）设 a、b、c 均为正数，且 a+b+c=nm，求 + + 的最小值第5页（共 21页）2018 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）设集合A= 1，3，5，7 ， B= x| 2x 5 ，则 AB 的真子集个数为（）A2 个 B3 个 C4 个 D8 个【解答】 解：集合 A= 1，3，5，7 ， B= x| 2x 5 ，则 AB= 3，5 ， AB 的真子集是 ?， 3 ， 5

10、 ，共 3 个故选： B2（5 分）复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】 解：=，复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限故选： D3（ 5 分）已知向量=（m 1，1）， =（ m，2），则“ m=2”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】 解：=（m 1， 1）， =（m， 2）， ? m（m 1） 2=0由 m（m 1） 2=0，解得 m=1 或 m=2“m=2”是“ ”的充分不必要条件第6页（共 21页）故选： A4（5 分）在 ABC中， a=2， b=， B=，则 A=（）ABCD或【解答】

11、 解：在 ABC中， a=2，b=， B=，由正弦定理可得： sinA=， A（，），A=或故选： D5（5 分）若，则 sin2 =（）ABCD【解答】 解：， sin2 =cos（）=cos2（）= 21 =1=12=故选： C6（5 分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）ABCD【解答】解：茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，第7页（共 21页）甲的平均成绩为：=（88+89+90+91+92）=90，乙的平均成绩超过甲的平均成绩，设数字被污损为x， 83+83+87+（

12、90+x） +99450，x8， x=9，乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为p=故选： A7（5 分）已知曲线=1（a0，b0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）Bx2 y22y2A=1 CDx=2【解答】解：根据题意，若曲线=1（ a 0，b0）为等轴双曲线，则 a2=b2，c=a，即焦点的坐标为（a， 0）；其渐近线方程为x y=0，若焦点到渐近线的距离为，则有=a=，则双曲线的标准方程为=1，即 x2y2=2；故选： D8（5 分）我国古代名著庄子?天下篇中有一句名言 “一尺之棰，日取其半，万世不竭 ”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木

13、棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）第8页（共 21页）ABCD【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下， 由此得出第7次剩下，可得为 i7？ s= i=i+1故选： D9（ 5 分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球 O1 与正方体共顶点A 的三个面相切，球O2 与正方体共顶点B1 的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C 上的正投影是（）第9页（共 21页）ABCD【解答】 解：由题意可以判断出两球在正方体的面 AA1C1 C 上的正投影与正方形相切，排除 C

14、、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除 A； B 正确；故选： B10（ 5 分）函数 y=xln| x| 的图象大致是（）ABCD【解答】 解：函数 f （x）=xln| x| ，可得 f （ x）=f （x），f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除 A， D，当 x0时， f（x）0，故排除 B又 f （x）=lnx+1，令 f （x） 0 得： x，得出函数 f（x）在（， +）上是增函数，故选： C11（ 5 分）抛物线 M ：y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A，点 F 为焦点，若抛物线 M 上一点 P 满足 PAPF，则以 F 为

15、圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为 （参考数据：2.24）（）ABCD【解答】 解：由题意， A（ 1， 0），F（1，0），第 10 页（共 21 页）点 P 在以 AF 为直径的圆 x2+y2=1 上设点 P 的横坐标为 m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x1=0， m0， m=2+ ，点 P 的横坐标为 2+ ， | PF| =m+1=1+，圆 F 的方程为（ x 1）2+y2 （ ）2，=1令 x=0，可得 y=，| EF| =2=2=，故选： D12（5 分）已知函数，若函数 F（x）=f（x） 3 的所有零点依次记为x1 ， x2 ， x3 ， ， xn ，且x1 x2

16、 x3 xn ，则x1+2x2+2x3+ +2xn 1+xn=（）AB445C455D【解答】 解：函数，令 2x=+k得 x=+，kZ，即 f（x）的对称轴方程为 x=+，kZ f（x）的最小正周期为T=，0x，当 k=0 时，可得第一根对称轴x=，当 k=30 时，可得 x=，第 11 页（共 21 页） f（x）在 0，上有 31条对称轴，根据正弦函数的性质可知： 函数与 y=3 的交点有 31 个点，即，x关于对称，x ，x关于对称， ，即 x +x2= ， +x， ，x1 22312 x2 3=2xn 1+xn=2将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+ +2x28+2x29+2x3

17、0+x31=2（+ +）=（ 2+5+8+ +89）=455则 x1+2x2+2x3+ +2xn 1 +xn= （ x1+x2 ） + （ x2+x3 ） +x3+ +xn 1+ （ xn 1+xn ） =2（） =455，故选： C二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（ 5 分）则 f（f（ 2）的值为2【解答】 解：由题意，自变量为2，2故内层函数 f （2）=log3（2 1）=12，即 f（ f（2）=f（1）=2e1 1=2，故答案为 214（ 5 分）已知函数 f（ x）=ax3+bx+1 的图象在点（ 1，f （1）处的切线方程为【解答】 解：函数 f

18、（x） =ax3+bx+1 的导数为 f （x）=3ax2+b，f（x）的图象在点（ 1， f（1）处的切线方程为4xy1=0，可得 3a+b=4，f （1）=3=a+b+1，解得 a=1， b=1，则 a+b=2故答案为： 2第 12 页（共 21 页）15（ 5 分）设 x，y 满足约束条件，且 x，yZ，则 z=3x+5y 的最大值为13【解答】 解：由约束条件作出可行域如图，作出直线 3x+5y=0， x，yZ，平移直线 3x+5y=0 至（ 1， 2）时，目标函数z=3x+5y 的最大值为 13故答案为： 1316（ 5 分）一个棱长为 5 的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一

19、个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动， 则小正四面体的棱长的最大值为【解答】解：在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，纸盒的内切球半径是=，设小正四面体的棱长是x，则=x，解得 x=，小正四面体的棱长的最大值为，第 13 页（共 21 页）故答案为：三、解答题：共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（ 12 分）已知正项等比数列 an 满足 a3a9=4a52，a2=1（）求 an 的通项公式；（）记 bn=2nan，求数列 bn 的前 n 项和 Sn【

20、解答】 解：（）正项等比数列 an 满足 a3a9 =4a52，a2=1则：，解得：，所以：；（）由于：，则：=n?2n 1，所以：+ +n?2n 1，则：+ +n?2n得：，即：18（ 12 分）如图 1，在矩形 ABCD中， AD=2AB=4，E 是 AD 的中点将 ABE沿BE折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB平面 BCDE，如图 2（）求证： PB平面 PEC；（）求三棱锥DPEC的高第 14 页（共 21 页）【解答】 解：（）证明： AD=2AB，E 为线段 AD 的中点， AB=AE，取 BE中点 O，连接 PO，则 POBE，又平面 PEB平面 BCDE，平面 PEB平

21、面 BCDE=BE， PO平面 BCDE，则 POEC，在矩形 ABCD中， AD=2AB，E 为 AD 的中点， BEEC，则 EC平面 PBE， ECPB，又 PB PE，且 PE EC=E， PB平面 PEC（）以 OB 所在直线为 x 轴，以平行于 EC所在直线为 y 轴，以 OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， PB=PE=2，则 B（，0，0），E（，0，0），P（0，0，）， D（ 2，0），C（ ，2，0）， =（ ，0，）， =（，2 ，）， cos EPC=，可得： sin EPC=，可得：S EPC=| ?| ?sinEPC=2 2=2， VPECD=VDEPC，设

22、三棱锥 D PEC的高为 h，则可得： S ECD?OP= SEPC?h，可得：=2h，解得：三棱锥DPEC的高 h=1第 15 页（共 21 页）19（ 12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系， 现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次（）完成下面的 22 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对

23、服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（）若针对商品的好评率， 采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求至少有一次好评的概率附：P（K2 k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中 n=a+b+c+d）【解答】 解：（）根据题意，对商品好评次数为2000.6=120，对服务好评次数为2000.75=150，填写 22 列联表如下；对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200计算

24、K2=，11.116.635有 99%的把握认为商品好评与服务好评有关；（）根据分层抽样原理，从这200 次交易中取出 5 次交易，第 16 页（共 21 页）抽取商品好评次数为120=3，不满意次数为2，分别记为 a、b、 c、 D、 E，从中选择两次交易，基本事件为ab、ac、aD、aE、 bc、bD、bE、 cD、cE、DE共 10 种，至少有一次好评的事件为ab、ac、aD、aE、 bc、bD、bE、 cD、cE 共 9 种，故所求的概率为P=20（12 分）给定椭圆 C：+=1（ab 0），称圆心在原点 O，半径为的圆是椭圆 C 的 “准圆 ”已知椭圆 C 的离心率，其 “准圆 ”的

25、方程为 x2+y2=4（ I）求椭圆 C 的方程；（ II）点 P 是椭圆 C 的 “准圆 ”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1 ，l2 交“准圆 ”于点M，N（ 1）当点 P 为“准圆 ”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l1，l2 的方程，并证明 l1 l2；（ 2）求证：线段 MN 的长为定值【 解答 】 解：（ I ） 由准 圆 方 程为x2 +y2=4 ， 则a2+b2=4 ， 椭圆 的离 心率e=，解得： a=，b=1，椭圆的标准方程：；（）证明：（1）准圆 x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 P（ 0， 2），设过点 P（ 0， 2）且与椭圆相切的直线为 y=kx+2，

26、联立，整理得（ 1+3k2）x2+12kx+9=0直线 y=kx+2 与椭圆相切， =144k249（1+3k2）=0，解得 k= 1， l1， l2 方程为 y=x+2，y=x+2=1，=1，第 17 页（共 21 页） ? =1，则 l1l2（ 2）当直线 l1， l2 中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1 斜率不存在，则 l1：x=，当 l1：x=时， l1 与准圆交于点（， 1）（， 1），此时 l2 为 y=1（或 y=1），显然直线 l1， l2 垂直；同理可证当 l1：x=时，直线 l1， l2 垂直当 l1，l2 斜率存在时，设点P（x0，y0），其中 x02+y02=4设经过

27、点 P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（ x x0）+y0，由得 （ 1+3t2 ）x2+6t （y0 tx0）x+3（y0 tx0）23=0由 =0 化简整理得（3x02） t 2+2x0y0t+1y02=0， x02+y02=4，有（ 3x02）t 2+2x0y0t+（x02 3） =0设 l1，l2 的斜率分别为 t 1，t 2， l1， l2 与椭圆相切， t1，t2 满足上述方程（ 3x02）t2 +2x0y0t+（ x023）=0， t1?t2=1，即 l1， l2 垂直综合知： l1， l2 经过点 P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且 l1，l2垂直线段 MN

28、为准圆 x2+y2=4的直径，| MN| =4线段 MN 的长为定值第 18 页（共 21 页）21（ 12 分）已知函数 f （x）=（t 1） xex， g（x）=tx+1 ex（）当 t 1 时，讨论 f （x）的单调性；（） f（x） g（x）在 0，+）上恒成立，求t 的取值范围【解答】 解：（）由 f （x） =（ t 1）xex，得 f （x） =（ t1）（x+1）ex，若 t 1，则 x 1 时， f （x） 0，f （x）递减， x 1 时， f （ x） 0， f（x）递增，若 t 1，则 x 1 时， f （x） 0，f （x）递增， x 1 时， f （ x） 0， f（x）递减，故 t 1 时， f（x）在（， 1）递减，在（ 1， +）递增，t 1 时， f（x）在（， 1）递增，在（ 1，+）递减；（ 2） f（x） g（x）在 0，+）上恒成立，即（ t 1） xex tx1+ex0 对 ? x0 成立，设 h（x） =（ t 1） xextx 1+ex，h（0）=0，h（x）=（t 1）（x+1） ext+ex，h（ 0） =0，h（ x） =ex （t 1）x+2t 1 ，t=1 时， h（ x）=ex0，h（ x）在 0，+）递增， h（x） h（0）=0，故 h（ x）