2019年四川省凉山州高考数学一诊试卷(文科)

1、2019 年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（ 5 分）设集合 A x|2x10 ，集合 B 1，0，1，2 ，则 A B（）A 1，0B0 ，1C1，2D1，12（5 分）下列函数中，既是奇函数又在区间（ 0，1）上递减的函数是（）A ycosxByC ytanxD yx 33（5 分）已知双曲线E：（ a 0， b 0）的渐近线方程是y 2x，则 E 的离心率为（）A5BCD4（5 分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1 中， E、 F 分别是 AB1，BC1 的中点，下

2、列结论正确的是（）AEFBB1BEF平面 ACC A11CEF平面 D1BCD EF平面 BCC1B15（5分）设 ABC 是边长为 2 的正三角形， E 是 BC 的中点， F 是 AE 的中点，则的值是（）A 3B2C 4D6（5分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）第1页（共 20页）ABCD7（5 分）已知 x，yR，则 x2+（ y 2） 28 是 xy+60 的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8（5 分）函数的最小正周期为（）A 2BCD9（5 分）数列 an 满足 a10，an+12an（n1），Sn 表示 an 的前 n 项和，且S

3、n，则 n（）A 6B7C 8D 910（5 分）在 ABC 中， a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 b2c，a，cosA ，则 ABC 的面积等于（）A BCD 311（5 分）十七世纪法国数学家费马提出猜想： “当整数 n2 时，关于 x、y、z的方程 xn+ynzn 没有正整数解”历经三百多年， 于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁 ?怀尔斯证明了费马猜想， 使它终成费马大定理 则有（）A 存在至少一组正整数组渊（ x、y、 z）使方程 x3 +y3z3 有解B关于 x、y 的方程 x3+y3 1 有正有理数解第2页（共 20页）C关于 x 与 y 的方程 x3 +y3 1

4、 没有正有理数解D当整数n3时，关于、 、的方程n+ynzn没有正实数解x y zx12（5 分）若 0x1x2 a 都有 x2lnx1 x1lnx2x1 x2 成立，则 a 的最大值为（）A B1C eD 2e二、填空题： 20 分13（ 5分） i 是虚数单位，复数14（ 5分）函数的值域是15（ 5 分）设 F1，F2 是椭圆 E：的左右焦点， P 是椭圆 E 上的点，则|PF1|?|PF2|的最小值是16（ 5 分）定义函数 f（x） max x， x ，xR，其中 0，符号 max a，b 表示数 a， b 中的较大者，给出以下命题： f（ x）是奇函数； 若不等式 f（x1）+f（

5、x2） 1 对一切实数 x 恒成立，则 11 时，F（x）f（x）+f（x1）+f（x 2）+f（x100）最小值是 2450 “xy 0”是“ f（x） +f（y） f（x+y）”成立的充要条件以上正确命题是（写出所有正确命题的序号）三、解答题：解答过程应写出必要的文字说明、解答步骤共70 分17（12 分）从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100 份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图（ 1）求这 100 份数学试卷成绩的中位数（ 2）从总分在 55，65）和 135，145）的试卷中随机抽取 2 份试卷，求抽取的 2 份试卷中至少有一份总分少于 65

6、 分的概率第3页（共 20页）18（ 12 分）如图，直三棱柱1 1 1 中 CC14，AB2，AC2，ABCA B CBAC 45点 M 是棱 AA1 上不同于 A，A1 的动点（ 1）证明： BC B1M；（ 2）若 M 是 AA1 的中点，求四面体 MB1BC 的体积19（12 分）设有三点 A，B，P，其中点 A，P 在椭圆 C：上，A （0，2），B （2，0），且（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）若过椭圆 C 的右焦点的直线 l 倾斜角为 45，直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F，求三角形 OEF 的面积20（12 分）设数列 an 中 a11，a22，且数列 a2 a1，a3

7、a2， ，an+1 an， ，是以 2 为公比的等比数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）求数列 an 的前 n 项和 Sn21（ 12 分）设函数 f（ x） 3x2 +alnx（ 1）当 a 1 时，求函数 f（x）的单调减区间；第4页（共 20页）（ 2）若 F（x）（ f（ x）3 f（x）有三个不同的零点，求a 的值请考生在第 22 和 23 两题中选一题作答 .注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分 .作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 .（10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（ 10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标

8、原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 2sin，直线 l 的极坐标方程为 0 （R），曲线 C 与直线 l 相交于 A，B 两点（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）当时，求 |AB|选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x） |2x+a|+|x+1|（ 1）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x） 2；（ 2）当 a 1 时，求 f（x）的最小值第5页（共 20页）2019 年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

9、1（ 5 分）设集合 A x|2x10 ，集合 B 1，0，1，2 ，则 A B（）A 1，0B0 ，1C1，2D1，1【分析】 求解一元一次不等式化简集合A，然后直接利用交集运算得答案【解答】 解： A x|x ， AB1 ，2 故选： C【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5 分）下列函数中，既是奇函数又在区间（ 0，1）上递减的函数是（）A ycosxByC ytanxD yx 3【分析】 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】 解：根据题意，依次分析选项：对于 A，ycosx，为余弦函数，不是奇函数，不符合题意；对于 B，

10、y（）|x|，是偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于 C，ytanx，是奇函数，但在（ 0，1）上单调递增，不符合题意；对于 D，yx 30，1）上递减，符合题意；，既是奇函数又在区间（故选： D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题3（5 分）已知双曲线E：（ a 0， b 0）的渐近线方程是y 2x，则 E 的离心率为（）A5BCD【分析】 根据双曲线渐近线的方程，确定a，b 的关系，进而利用离心率公式求第6页（共 20页）解【解答】 解：双曲线 1（ a 0， b0）的渐近线方程为yx，即 b2a，离心率 e故选： D【点评】本题主要考

11、查双曲线的性质， 要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式4（5 分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1 中， E、 F 分别是 AB1，BC1 的中点，下列结论正确的是（）AEFBB1BEF平面 ACC1A 1CEF平面 DBCD EF平面 BCC B111【分析】 利用中点联想到中位线，连接A1，易证EF面1 1，确定选项BACC A【解答】 解：连接 A1B，在 BA1 C1 中， EF 为中位线，第7页（共 20页） EFA1 C1， EF平面 ACC1A1，结合正确选项的唯一性，故选： B【点评】 此题考查了线面平行的证明，属容易题5（5 分）设 ABC 是边长为 2 的正三角

12、形， E 是 BC 的中点， F 是 AE 的中点，则的值是（）A3B2C4D【分析】 由向量加法的平行四边形法则可知， 2，然后结合向量数量积的基本运算即可求解【解答】 解： ABC 是边长为 2 的正三角形， E 是 BC 的中点， F 是 AE 的中点，由向量加法的平行四边形法则可知，23，故选： A【点评】本题主要考查了平面向量加法的平行四边形法则及向量数量积的基本运算性质的简单应用，属于基础试题6（5 分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）第8页（共 20页）ABCD【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当 k 5 时满足条件 k 4，计算并输出S 的值

13、为【解答】 解：模拟执行程序框图，可得k1k2不满足条件 k4，k3不满足条件 k4，k4不满足条件 k4，k5满足条件 k 4， S sin ，输出 S的值为 故选： D【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题（分）已知，则 22）28 是 xy+60 的（）7 5x y Rx +（ yA 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】分别取 x 2，y 4，则满足 x2 （ ）2 8，但不满足 xy+60，+ y2即 x2+（ y2）28 是 xy+6 0 不充分条件，取 x10，y10，满足 x y+6 0，但不满足 x2+（y 2）28，即 x2+

14、（y2）2 8 是 xy+60 不必要条件，即 x2+（y 2）28 是 xy+6 0 既不充分也不必要条件，【解答】解：取 x 2，y 4，则满足 x2+（y2）2 8，但不满足 xy+60，即 x2+（y2）2 8 是 xy+60 不充分条件，取 x10，y10，满足 xy+60，但不满足 x2+（ y 2） 28，即 x2+（y2）2 8 是 xy+60 不必要条件，即 x2+（y2）2 8 是 xy+60 既不充分也不必要条件，故选： D【点评】 本题考查了充分条件，必要条件，充要条件，属简单题8（5 分）函数的最小正周期为（）第9页（共 20页）A 2BCD【分析】首先利用三角函数关

15、系式的恒等变变换，进一步利用正弦型函数的性质求出结果【解答】 解：，由于 ysin（x+）的周期为 2，所以：的周期减半，故：函数的周期为故选： B【点评】本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型n10，an+12an（n1），Sn 表示 an的前n项和，且9（5 分）数列 a 满足 aSn，则 n（）A 6B7C 8D 9【分析】根据题意，由 an+1 2an 分析可得数列 an 为等比数列， 且公比 q2，由等比数列的前n 项和公式可得Sn ，即 a12，解可得 n 的值，即可得答案【解答】 解：根据题意，数列

16、an 满足 a1 0，an+12an，则数列 an 为等比数列，且公比q2，又由 Sn，则a1 2，解可得 n 7；故选： B【点评】本题考查等比数列的性质， 注意分析数列 an 为等比数列，属于基础题10（5 分）在 ABC 中， a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 b2c，a，第 10 页（共 20 页）cosA，则 ABC 的面积等于（）A BCD 3【分析】由 b2c， a与余弦定理可得c 2，b 4，由平方关系可得sinA，由 S ABCbcsinA 可得结果【解答】 解：由余弦定理得： 6b2+c2 bc，又 b 2c，消 b 得 c24， c2，b4； cosA， si

17、nA， S ABCbcsinA42故选： C【点评】 本题考查余弦定理及三角形面积公式，考查运算能力，属于基础题11（5 分）十七世纪法国数学家费马提出猜想： “当整数 n2 时，关于 x、y、z的方程 xn+ynzn 没有正整数解”历经三百多年， 于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁 ?怀尔斯证明了费马猜想， 使它终成费马大定理 则有（）A 存在至少一组正整数组渊（ x、y、 z）使方程 x3 +y3z3 有解B关于 x、y 的方程 x3+y3 1 有正有理数解C关于 x 与 y 的方程x3 +y3 1 没有正有理数解D当整数 n3 时，关于x、 y、z 的方程 xn+ynzn 没有正实数

18、解【分析 】根 据已知中 费马 大定理可 得： 故p3+q3 z3 ，无正整 数解 ，即无正整数解，进而利用整体代换思想，得到答案【解答】 解：“当整数 n 2 时，关于 x、y、z 的方程 xn+ynzn 没有正整数解” 32，故 p3+q3z3，无正整数解，即无正整数解，即关于 x 与 y 的方程 x3+y31 没有正有理数解，故选： C【点评】 本题考查的知识点是转化思想，演绎推理，难度不大，属于中档题12（5 分）若 0x1x2 a 都有 x21 x1lnx2x1 x2 成立，则 a 的最大值为（）lnx第 11 页（共 20 页）A B1C eD 2e【分析】根据题意，分析可得 x2

19、lnx1 x1lnx2x1x2 ，设?0f（ x），（ x 0），则在（ 0， a），函数 f（x）为增函数；求出函数 f（x）的导数，分析可得函数f（x）的递增区间，分析可得答案【解答】 解：根据题意，若0x1 x2a，x2lnx1 x1lnx2x1x2? ?0，设 f（ x），（x0），则在（ 0，a），函数 f（x）为增函数，对于 f（x），其导数 f（ x），若 f（ x） 0，解可得 0x1，即函数 f（x）的递增区间为（ 0，1）；若 0x1x2 a 都有 x2lnx1x1lnx2 x1x2 成立，即在（ 0，a），函数 f（x）为增函数，则 a 的最大值为 1；故选： B【点评】

20、本题考查函数的单调性的应用， 关键是构造新函数， 并分析函数的单调性，属于基础题二、填空题： 20 分13（ 5 分） i 是虚数单位，复数【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】 解：故答案为：第 12 页（共 20 页）【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题14（ 5 分）函数的值域是【分析】 变形函数，由x 0 得到 x 0 ，从而得出，从而可求出 y 的范围，即得出原函数的值域【解答】 解：； x0，则 x0；原函数的值域为故答案为：【点评】 考查函数的值域及求法，基本不等式求函数值域的方法15（ 5 分）设 F1，F2 是椭圆 E：的左右焦点， P

21、 是椭圆 E 上的点，则|PF1|?|PF2|的最小值是16【分析】 由已知椭圆方程求得 a， c 的值，可得 |PF2|的取值范围，结合椭圆定义把|PF1 |?|PF2|转化为关于 |PF2|的二次函数求最值【解答】 解：由椭圆 E：，得 a2 25，b2 16，则 a5，c， P 是椭圆 E 上的点， |PF1 |+|PF2| 2a10，且 5 3 2 |PF2|5+38， |PF12（2 ）2，|?|PF |10 |PF | ?|PF|当 |PF2 或8时，12的最小值是|2|PF |?|PF|16故答案为： 16【点评】 本题考查椭圆的简单性质，训练了利用二次函数求最值，是中档题16（

22、 5 分）定义函数 f（x） max x， x ，xR，其中 0，符号 max a，b 表示数 a， b 中的较大者，给出以下命题：第 13 页（共 20 页） f（ x）是奇函数； 若不等式 f（x1）+f（x2） 1 对一切实数 x 恒成立，则 11 时，F（x）f（x）+f（x1）+f（x 2）+ +f（x100）最小值是 2450 “xy 0”是“ f（x） +f（y） f（x+y）”成立的充要条件以上正确命题是（写出所有正确命题的序号）【分析】 依题意可得 f（x） |x| f（ x）是偶函数；? |x|+|x2| 1； F（x）f（ x） +f（x1）+f（x2）+ +f（ x10

23、0） |x|+|x1|+|x2|+ |x 100|由绝对值的意义可得 x 50 时， F（ x）有最小值； “xy 0”是“ f（x） +f（y） f（x+y）”成立的充分不必要条件【解答】 解：依题意可得 f（ x） |x| f（ x）是偶函数，故错； 若不等式 f（x1）+f（x2）1 对一切实数 x 恒成立 ? |x|+|x 2| | 1，故正确；1 时， F（x） f（x）+f（x1）+f（ x2）+f（ x 100） |x|+|x1|+|x 2|+ |x100|由绝对值的意义可得x50 时， F（ x）有最小值是 2500，故错； “f（x） +f（y） f（x+y）”成立 ? |x

24、|+|y|x+y|成立，“ xy0”是“ f（x）+f（ y） f（ x+y）”成立的充分不必要条件，故错，故答案为： 【点评】 本题考查了命题真假判定，涉及到了绝对值的性质，属于中档题三、解答题：解答过程应写出必要的文字说明、解答步骤共70 分17（12 分）从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100 份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图（ 1）求这 100 份数学试卷成绩的中位数（ 2）从总分在 55，65）和 135，145）的试卷中随机抽取 2 份试卷，求抽取的 2 份试卷中至少有一份总分少于 65 分的概率第 14 页（共 20 页）【分析】（1

25、）利用频率分布直方图能求出这100 份数学试卷成绩的中位数（ 2）总分在 55， 65）的试卷共有 2 份，记为 A， B，总分在 135，145）的试卷共有 4 份，记为 a， b， c，d，利用列举法能求出抽取的 2 份试卷中至少有一份总分少于 65 分的概率【解答】 解：（1）记这 100 份数学试卷成绩的中位数为x （ 95x105），则 0.00210+0.00810+0.01310+0.01510+（ x95） 0.024 0.5，解得 x100，这 100 份数学试卷成绩的中位数为 100（ 2）总分在 55， 65）的试卷共有 0.002101002 份，记为 A，B，总分在

26、135，145）的试卷共有 0.004101004 份，记为 a， b， c， d，则从上述 6 份试卷中随机抽取 2 份的抽取结果为： A，B ， A，a ， A，b ， A，c ， A，d ， B，a ， B，b ， B，c ， B，d ， a，b ， a，c ， a，d ， b，c ， b，d ， c， d ，共 15 种结果，至少一份总分少于 65 分的有： A，B ， A，a ， A，b ， A，c ， A，d ， B，a ， B，b ， B，c ， B， d ，共 9 种结果，抽取的 2 份试卷中至少有一份总分少于65 分的概率为： p【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列

27、组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18（ 12 分）如图，直三棱柱1 1 1 中 CC14，AB2，AC2，ABCA B CBAC 45点 M 是棱 AA1 上不同于 A，A1 的动点第 15 页（共 20 页）（ 1）证明： BC B1M；（ 2）若 M 是 AA1 的中点，求四面体 MB1BC 的体积【分析】（1）由已知求解三角形可得ABBC，再由直棱柱的结构特征可得则AA1BC，则 BC平面 AA1 1 ，从而得到BC 1；B BB M（ 2）由（ 1）可得 BC2 且 AB平面 BB11，由棱锥体积公式求解C C【解答】（1）证明：在 ABC 中，由 AB

28、2， AC 2 ， BAC45，可得： BC2 AB2+AC22AB?AC?cosBAC AB2 +BC2AC2，即 AB BC，又三棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱， AA1底面 ABC，则 AA1BC， ABAA1 A， BC平面 AA1B1B，而 B1M? 平面 AA1B1B， BCB1M；（ 2）解：由（ 1）知， BC2，又 CC14，可得，由（ 1）知， AB平面 BB1 1C，且 ，CAB 2【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定， 考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题第 16 页（共 20 页）19（12 分）设有三点 A，B，P，其中点

29、A，P 在椭圆 C：上，A （0，2），B （2，0），且（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）若过椭圆 C 的右焦点的直线 l 倾斜角为 45，直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F，求三角形 OEF 的面积【分析】（1）由已知求得 b，设 P（ x，y），由向量等式求得P，再设椭圆方程为，把 P 的坐标代入椭圆方程求得a，则椭圆方程可求；（ 2）求出直线 l 的方程，与椭圆方程联立求得交点坐标， 进一步求得 EF 的长度，再由点到直线距离公式求出 O 到直线 l 的距离，则三角形 OEF 的面积可求【解答】 解：（1）由题意知， b2，设 P（x，y），A（ 0， 2），B（2，0），由，得（

30、 2，2），则，设椭圆方程为，可得，即 a28椭圆方程为；（ 2） c直线 l 的方程为 y x 2，代入椭圆方程，整理得： 3x2 8x0，则 x 0 或 x交点坐标为（ 0， 2）和（）， |EF|， O 到直线 l 的距离 d【点评】本题考查椭圆的简单性质， 考查直线与椭圆位置关系的应用， 考查计算能力，是中档题第 17 页（共 20 页）20（12 分）设数列 an 中 a11，a22，且数列 a2 a1，a3a2， ，an+1 an， ，是以 2 为公比的等比数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）求数列 an 的前 n 项和 Sn【分析】（1）由题意可得 an+1an2n1，

31、由数列恒等式： ana1+（a2 a1）+（ a3a2）+（ anan 1），结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式；（ 2）由题意可得数列 an 为首项为 1，2 为公比的等比数列，由等比数列的求和公式计算可得所求和【解答】解：（ 1）数列 a2a1， a3 a2， ， an+1an， ，是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，可得 an+1 an2n 1，可得 an a1+（ a2a1） +（ a3a2）+（ anan 1） 1+1+2+2n 21+2n 1；（ 2）由 an 2n1，可得数列 an 为首项为 1，2 为公比的等比数列，可得前 n 项和 Sn2n1【点评】本题考查数

32、列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式， 考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于中档题21（ 12 分）设函数 f（ x） 3x2 +alnx（ 1）当 a 1 时，求函数 f（x）的单调减区间；（ 2）若 F（x）（ f（ x）3 f（x）有三个不同的零点，求a 的值【分析】（1）代入 a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（ 2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，结合函数的零点的个数求出 a 的值即可【解答】 解：（1）a 1 时， f（x） 3x2 lnx，f（ x） 6x（ x 0），令 f（ x） 0，解得： x，令 f（ x） 0，解得： x，第 18 页（共 20 页）故函数 f（x）在（ 0，）递减，在（， +）递增；（ 2）设 f（x） t，则 F（ x） t3t 0，解得： t1 或 t 1 或 t0，f（ x）（ x 0），（ i）当 a0 时， f（ x） 0 恒成立