全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何含答案

1、2013 年全国高考理科数学试题分类汇编年全国高考理科数学试题分类汇编 7：立体几何：立体几何 一、选择题 1. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如 果不计容器的厚度,则球的体积为 （） A 3 500 3 cm B 3 866 3 cm C 3 1372 3 cm D 3 2048 3 cm 【答案】A 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）设 ,m n 是两条 不同的直线, , 是两个不同的平面,下列命

2、题中正确的是（） A若 ,m ,n ,则m n B若 / ,m ,n ,则 /mn C若m n ,m ,n ,则 D若m , /mn, /n ,则 【答案】D 3. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个 球的体积之比为（） A1:2B1:4C1:8D1:16 【答案】C 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知正 四棱柱 1111 ABCDABC D中 1 2AAAB,则CD与平面 1 BDC所成角的正弦值等于（） A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 【答案】A 5. （201

3、3 年高考新课标 1（理） ）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （） A168B88C16 16D8 16 【答案】A 6. （2013 年高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简 单几何体组成,其体积分别记为 1 V, 2 V, 3 V, 4 V,上面两个简单几何体均为旋转体,下面 两个简单几何体均为多面体,则有（） A 1243 VVVVB 1324 VVVVC 2134 VVVVD 2314 VVVV 【答案】C 7. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的正视图的面积不可能

4、等于（） A1 B2C 2-1 2 D 2+1 2 【答案】C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）某四棱台的三 视图如图所示,则该四棱台的体积是 （） 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第第 5 5 题图题图 A4B 14 3 C 16 3 D6 【答案】B 9. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）已知 nm,为异面直线,m平面,n平面.直线l满足,lm ln ll,则（） A/,且/lB,且l C与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l 【答案】D 10. （2013 年

5、普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面垂直,体积为 9 4,底面是边长为 3 的正三角形.若P为底 面 111 ABC 的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（） A 5 12 B3 C4 D6 【答案】B 11. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）某几何体的三视图 如题 5图所示,则该几何体的体积为（） A 560 3 B 580 3 C200D240 【答案】C 12. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）已知三棱柱 111 ABCABC的 6 个顶

6、点都在球O的球面上,若34ABAC，,ABAC, 1 12AA ,则球O的半径为（） A 3 17 2 B2 10C 13 2 D3 10 【答案】C 13. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且 AB CDA,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n,那 么mn （） A8B9C10D11 【答案】A 14. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）一个四 面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0

7、),画该四面 体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 （） ABCD 【答案】A 15. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在下列命题中, 不是公理的是（） A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在空间中,过点 A作平面的垂线,垂足为B

8、,记)(AfB .设,是两个不同的平面,对空间任意一 点P,)(),( 21 PffQPffQ ,恒有 21 PQPQ ,则（） A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为 0 45 C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为 0 60 【答案】A 17. （2013 年高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 【答案】D 二、填空题 18. （2013 年高考上海卷（理） ）在xOy平面上,将两个半圆弧 22 (1)1(1)xyx和 22 (3)1(3)xyx、两条直线1y 和1y 围成的封闭图形记为 D,如图中阴 影部分.记 D 绕 y 轴旋转一

9、周而成的几何体为,过(0, )(| 1)yy 作的水平截面,所 得截面面积为 2 418y,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 的体积值为_ 【答案】 2 216. 19. （2013 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_ 3 _. 11 2 1 【答案】 3 20. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知圆 O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径, 3 2 OK ,且圆O与圆 K所在的平面所成的一个二面角为60,则球O的表面积等于_. 【答案】16 21. （2013 年高考北京卷（理）

10、 ）如图,在棱长为 2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点 P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_. 1 D 1 B P A D 1 C C E B A 1 A 【答案】 2 5 5 22. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）如图,在三棱柱ABCCBA 111 中,FED，分别是 1 AAACAB，的中点,设三 棱锥ADEF 的体积为 1 V,三棱柱ABCCBA 111 的体积为 2 V,则 21:V V_. A B C 1 A D E F 1 B 1 C 【答案】1:24 23. （2013

11、 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）若某几何体的 三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_ 2 cm. 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 （第 12 题图） 【答案】24 24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 1 CC上的动点,过点 A,P,Q 的 平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_(写出所有正确 命题的编号). 当 1 0 2 CQ时,S 为四边形;当 1 2 CQ 时,S 为等

12、腰梯形;当 3 4 CQ 时,S 与 11 C D的交点 R 满足 11 1 3 C R ;当 3 1 4 CQ时,S 为六边形;当1CQ 时,S 的面 积为 6 2 . 【答案】 25. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）某几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积是_. 【答案】1616 26. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知某一多面 体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中 的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_ 【答案】12 27. （201

13、3 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体 1111 ABCDABC D中,异面直线 1 AB与 1 BC所成角的大小为_ D1 C1 B1 A1 D C AB 【答案】 3 三、解答题 28. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）如图,AB 是圆的直 径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PACPBC平面平面； (II)2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值 【答案】 29. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）如图,四棱锥 PABCD中,PAABCD 底面,2,4

14、, 3 BCCDACACBACD , F为PC的中点,AFPB. (1)求PA的长; (2)求二面角BAFD的正弦值. 【答案】 30. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,圆锥顶点 为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为 22.5.AB和CD是底面圆O上的两 条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为 60. ()证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面; ()求cosCOD. 【答案】解: () PABP D,/ / /CmABCDCDPCDABPCD设面面直线且面面 / /ABm直线 ABCDmABCDAB面直线面/. 所以,ABC

15、DDPPAB的公共交线平行底面与面面C. () r PO OPFFCDr 5 . 22tan.60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. 5 . 22tan1 5 . 22tan2 45tan, 2 cos 5 . 22tan60tan60tan, 2 COD r OF PO OF . )223(3), 1-2(3 2 1cos , 1-2 5 . 22tan1 2 cos2cos 22 CODCOD COD 212-17cos. 212-17cosCODCOD所以. 法二: 31. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四面体 BCDA中,A

16、D平面BCD,22, 2,BDADCDBC.M是AD的中点,P 是BM的中点,点Q在线段AC上,且QCAQ3. (1)证明:/PQ平面BCD;(2)若二面角DBMC的大小为 0 60,求BDC的大小. A B C D P Q M （第 20 题图） 【答案】解:证明()方法一:如图 6,取MD的中点F,且M是AD中点,所以 3AFFD.因为P是BM中点,所以/ /PFBD;又因为()3AQQC且 3AFFD,所以/ /QFBD,所以面/ /PQF面BDC,且PQ 面BDC,所以 / /PQ面BDC; 方法二:如图 7 所示,取BD中点O,且P是BM中点,所以 1 / / 2 POMD;取CD的

17、三 等分点H,使3DHCH,且3AQQC,所以 11 / / / 42 QHADMD,所以 / / /POQHPQOH,且OHBCD,所以/ /PQ面BDC; ()如图 8 所示,由已知得到面ADB 面BDC,过C作CGBD于G,所以 CGBMD,过G作GHBM于H,连接CH,所以CHG就是CBMD的 二面角;由已知得到813BM ,设BDC,所以 cos ,sin2 2cos ,2 2cossin,2 2sin, CDCGCB CDCGBC BDCDBD , 在RT BCG中, 2 sin2 2sin BG BCGBG BC ,所以在 RT BHG中, 2 2 12 2sin 33 2 2s

18、in HG HG ,所以在RT CHG中 2 2 2cossin tantan603 2 2sin 3 CG CHG HG tan3(0,90 )6060BDC ; 32. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥 111 ABCABC中, 1 6AA ,异面直线 1 BC与 1 AA所成角的大小为 6 ,求该三棱柱的体积. B1 A1 C1 AC B 【答案】解因为 1 CC 1 AA. 所以 1 BC C为异面直线 1 BC与 1 AA.所成的角,即 1 BC C= 6 . 在 Rt 1 BC C中, 11 3 tan62 3 3 BCCCBC C, 从而 2 3

19、3 3 4 ABC SBC , 因此该三棱柱的体积为 1 3 3 618 3 ABC VSAA . 33. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 14 分. 如图,在三棱锥ABCS 中,平面SAB平面SBC,BCAB ,ABAS ,过A作 SBAF ,垂足为F,点GE，分别是棱SCSA，的中点. 求证:(1)平面/EFG平面ABC; (2)SABC . A B C S G F E 【答案】证明:(1)ABAS ,SBAF F 分别是 SB 的中点 E.F 分别是 SA.SB 的中点 EFAB 又EF平面 ABC, AB平

20、面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EFFG=F, EF.FG平面 ABC平面/EFG平面ABC (2)平面SAB平面SBC 平面SAB平面SBC=BC AF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又BCAB , ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面 SABBCSA 34. （2013 年高考上海卷（理） ）如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直 线 BC1平行于平面 DA1C,并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离. D1 C1 B1 A1 D C B A 【答

21、案】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体,故 1111 /,ABC D ABC D, 故 ABC1D1为平行四边形,故 11 /BCAD,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1平行于 平面 DA1C; 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为h 考虑三棱锥 ABCD1的体积,以 ABC 为底面,可得 111 (1 2) 1 323 V 而 1 ADC中, 11 5,2ACDCAD,故 1 3 2 AD C S 所以, 1312 3233 Vhh,即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为 2 3 . 35. （2013 年高考湖北卷（理） ）如

22、图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于,A B的点,直 线PC 平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点. (I)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加 以证明; (II)设(I)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足 1 2 DQCP .记直线 PQ与平面ABC所成的角为,异面直线PQ与EF所成的角为,二面角 ElC 的大小为,求证:sinsinsin. 第 19 题图 【答案】解:(I)EFACA,ACABC 平面,EFABC 平面 EFABCA平面 又EFBEF 平面 EFlA lPAC A平面 (II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证

23、.(这一题用几何方法较快,向量的方法很 麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的 处理方向有很大的偏差.) 36. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）如图 1,在等腰 直角三角形ABC中,90A,6BC ,D E分别是,AC AB上的点,2CDBE, O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图 2 所示的四棱锥ABCDE ,其中 3A O. () 证明:A O平面BCDE; () 求二面角ACDB 的平面角的余弦值. . C O B DE A C D O B E A 图 1图 2 【答案】() 在图 1 中,易

24、得3,3 2,2 2OCACAD C D O x E A 向量法图向量法图 y z B C D O B E A H 连结,OD OE,在OCD中,由余弦定理可得 22 2cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知2 2A D, 所以 222 A OODA D,所以A OOD, 理可证A OOE, 又ODOEO,所以A O平面BCDE. () 传统法:过O作OHCD交CD的延长线于H,连结A H, 因为A O平面BCDE,所以A HCD, 所以A HO为二面角ACDB 的平面角. 结合图 1 可知,H为AC中点,故 3 2 2 OH ,从而 22 30 2 A HOHOA 所以 15

25、cos 5 OH A HO A H ,所以二面角ACDB 的平面角的余弦值为 15 5 . 向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz如图所示, 则 0,0, 3 A ,0, 3,0C,1, 2,0D 所以 0,3, 3CA , 1,2, 3DA 设, ,nx y z 为平面A CD的法向量,则 0 0 n CA n DA ,即 330 230 yz xyz ,解得 3 yx zx ,令1x ,得 1, 1, 3n 由() 知, 0,0, 3OA 为平面CDB的一个法向量, 所以 315 cos, 535 n OA n OA n OA ,即二面角ACDB 的平面角的余弦 值为 15 5

26、. 37. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 2 6 , 求线段 AM的长. 【答案】 38. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60. ()证明 ABA1C;

27、()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 【答案】()取 AB 中点 E,连结 CE, 1 AB, 1 AE, AB= 1 AA, 1 BAA= 0 60, 1 BAA是正三角形, 1 AEAB, CA=CB, CEAB, 1 CEAE=E,AB面 1 CEA, AB 1 AC; ()由()知 ECAB, 1 EAAB, 又面 ABC面 11 ABB A,面 ABC面 11 ABB A=AB,EC面 11 ABB A,EC 1 EA, EA,EC, 1 EA两两相互垂直,以 E 为坐标原点,EA 的方向为x轴正方向,|EA |

28、为单位 长度,建立如图所示空间直角坐标系Oxyz, 有题设知 A(1,0,0), 1 A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),则BC =(1,0,3), 1 BB = 1 AA =(-1,0,3), 1 AC =(0,-3,3), 设n=( , , )x y z是平面 11 CBBC的法向量, 则 1 0 0 BC BB n n ,即 30 30 xz xy ,可取n=(3,1,-1), 1 cos, AC n= 1 1 | AC AC n |n| 10 5 , 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 39. （2013 年高考陕西卷（理） ）如图, 四

29、棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底 面中心, A1O平面ABCD, 1 2ABAA. () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. O D1 B1 C1 D A C B A1 【答案】解:() BDOAABCDBDABCDOA 11 ,面且面;又因为,在正 方形 AB CD 中, BDCAACACAACABDAACOABDAC 11111 ,，故面且面所以；且. 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . 1 11 OAOAART中，在 OECAOCEAEDB 1111111 为正方形，所以，则四边形的中点为设.

30、，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD 111111 E.E, DDBBCA 111 面.(证毕) () 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y 轴正方向.则 ) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0 111 CABACB，）（. 由()知, 平面BB1D1D的一个法向量.0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 ( 111 ）（OCOBCAn 设平面OCB1的法向量为 ，则0, 0, 2122 OCnOBnn ).1- , 1 , 0(向

31、向向 2 n为解得其中一个 2 1 22 1 | | |,cos|cos 21 21 11 nn nn nn. O D1 B1 C1 D A C B A1 所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 3 40. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,四棱锥PABCD中,PA ,ABCD EBD 平面为的中点,GPD为的中点， 3 ,1 2 DABDCB EAEBABPA ，,连接CE并延长交AD于F. (1) 求证:ADCFG 平面; (2) 求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值. 【答案】解:(1)在ABD中,因为E是BD的中点,所以1EAEBEDAB, 故, 23 BADABEAEB

32、 , 因为DABDCB ,所以EABECB , 从而有FEDFEA , 故,EFAD AFFD,又因为,PGGD所以FGPA. 又PA平面ABCD, 所以,GFAD故AD 平面CFG. (3) 以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则 33 (0,0,0), (1,0,0),( ,0),(0, 3,0) 22 ABCD, (4) 3 (0,0, ) 2 P,故 1333 333 (0),(, ),(,0) 2222222 BCCPCD ， 设平面BCP的法向量 111 (1,)ny z ,则 1 11 13 0 22 333 0 222 y yz , 解得 1 1 3 3 2 3 y z ,即

33、 1 3 2 (1, ) 33 n . 设平面DCP的法向量 222 (1,)nyz ,则 2 22 33 0 22 333 0 222 y yz ,解得 2 2 3 2 y z , 即 2 (1, 3,2)n .从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为 12 12 4 2 3 cos 416 8 9 n n n n . 41. （2013 年高考四川卷（理） ）如图,在三棱柱 11 ABCABC中,侧棱 1 AA 底面ABC, 1 2ABACAA,120BAC , 1 ,D D分别是线段 11 ,BC BC的中点,P是线段 AD的中点. ()在平面ABC内,试作出过点P与平面 1 ABC平

34、行的直线l,说明理由,并证明直线 l 平面 11 ADD A; ()设()中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角 1 AAMN的余弦 值. D1 D C B A1 B1 C1 A P 【答案】解: 如图,在平面ABC内,过点P做直线l/BC,因为l在平面 1 ABC外, BC在平面 1 ABC内,由直线与平面平行的判定定理可知, l/平面 1 ABC. 由已知,ABAC,D是BC的中点,所以,BCAD,则直线lAD. 因为 1 AA 平面ABC,所以 1 AA 直线l.又因为 1 ,AD AA在平面 11 ADD A内,且 AD与 1 AA相交,所以直线平面 11 ADD A 解法一:

35、 连接 1 AP,过A作 1 AEAP于E,过E作 1 EFAM于F,连接AF. 由 知,MN 平面 1 AEA,所以平面 1 AEA平面 1 AMN. 所以AE 平面 1 AMN,则 1 AMAE. 所以 1 AM 平面AEF,则 1 AM AF. 故AFE为二面角 1 AAMN的平面角(设为). 设 1 1AA ,则由 1 2ABACAA,120BAC ,有60BAD ,2,1ABAD. 又P为AD的中点,所以M为AB的中点,且 1 ,1 2 APAM, 在 1 Rt AAPA中, 1 5 2 AP ;在 1 Rt A AMA中, 1 2AM . 从而, 1 1 1 5 AAAP AE A

36、P , 1 1 1 2 AAAM AF AM , 所以 2 sin 5 AE AF . 所以 2 2 215 cos1 sin1 55 . 故二面角 1 AAMN的余弦值为 15 5 解法二: 设 1 1AA .如图,过 1 A作 1 AE平行于 11 BC,以 1 A为坐标原点,分别以 111 ,AE AD , 1 AA 的 方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点 1 A重合). 则 1 0,0,0A,0,0,1A. 因为P为AD的中点,所以,M N分别为,AB AC的中点, 故 3 13 1 ,1 ,1 2222 MN , 所以 1 3 1 ,1 22 AM

37、, 1 0,0,1A A , 3,0,0NM . 设平面 1 AAM的一个法向量为 1111 ,nx y z,则 11 11 , , nAM nA A 即 11 11 0, 0, nAM nA A 故有 111 111 3 1 ,10, 22 ,0,0,10, x y z x y z 从而 111 1 31 0, 22 0. xyz z 取 1 1x ,则 1 3y ,所以 1 1,3,0n . 设平面 1 AMN的一个法向量为 2222 ,nxy z,则 21 2 , , nAM nNM 即 21 2 0, 0, nAM nNM 故有 222 222 3 1 ,10, 22 ,3,0,00,

38、 xy z xy z 从而 222 2 31 0, 22 30. xyz x 取 2 2y ,则 2 1z ,所以 2 0,2, 1n . 设二面角 1 AAMN的平面角为,又为锐角, 则 12 12 1,3,00,2, 1 15 cos 525 nn nn . 故二面角 1 AAMN的余弦值为 15 5 42. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 10 分. 如图,在直三棱柱 111 ABCABC中,ACAB ,2 ACAB,4 1 AA,点D是 BC的中点 (1)求异面直线BA1与DC1所成角的余弦值 (2)求平面

39、 1 ADC与 1 ABA所成二面角的正弦值. 【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用 空间向量解决问题的能力. 解:(1)以 1 ,AAACAB为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyzA, 则)0 , 0 , 0(A)0 , 0 , 2(B,)0 , 2 , 0(C,)4 , 0 , 0( 1 A,)0 , 1 , 1 (D,)4 , 2 , 0( 1 C )4, 0 , 2( 1 BA,)4, 1, 1 ( 1 BA 10 103 1820 18 ,cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 异面直线BA1与DC1所成角的余弦值为 10

40、103 (2)0 , 2 , 0(AC 是平面 1 ABA的的一个法向量 设平面 1 ADC的法向量为),(zyxm ,)0 , 1 , 1 (AD,)4 , 2 , 0( 1 AC 由 1 ,ACmADm 042 0 zy yx 取1z,得2, 2xy,平面 1 ADC的法向量为) 1 , 2, 2( m 设平面 1 ADC与 1 ABA所成二面角为 3 2 32 4 ,coscos mAC mAC mAC, 得 3 5 sin 平面 1 ADC与 1 ABA所成二面角的正弦值为 3 5 43. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）如图, 四

41、棱锥PABCD中,902,ABCBADBCADPAB ， 与PAD都是等边 三角形. (I)证明:;PBCD (II)求二面角APDC的大小. 【答案】 44. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）如图所示,在三棱 锥 PABQ 中,PB 平面 ABQ , BABPBQ , ,D C E F 分别是 ,AQ BQ AP BP 的中点, 2AQBD ,PD与 EQ交于点G ,PC与 FQ交于点H , 连接GH. ()求证: AB GHA ; ()求二面角D GHE 的余弦值. 【答案】解:()证明:因为 ,D C E F 分别是 ,AQ BQ AP BP 的中点

42、, 所以EFAB,DCAB,所以EFDC, 又EF 平面PCD,DC 平面PCD, 所以EF平面PCD, 又EF 平面 EFQ ,平面 EFQ平面PCD GH , 所以EFGH, 又EFAB, 所以ABGH. ()解法一:在 ABQ 中, 2AQBD , ADDQ , 所以 =90ABQ ,即 ABBQ ,因为PB 平面 ABQ ,所以AB PB , 又 BPBQB ,所以AB 平面 PBQ ,由()知ABGH, 所以GH 平面 PBQ ,又FH 平面 PBQ ,所以GH FH ,同理可得GH HC , 所以 FHC 为二面角D GHE 的平面角,设 2BABQBP ,连接PC, 在 tR F

43、BC中,由勾股定理得, 2FC , 在 tR PBC中,由勾股定理得, 5PC , 又H为 PBQ 的重心,所以 15 33 HCPC 同理 5 3 FH , 在FHC中,由余弦定理得 55 2 4 99 cos 5 5 2 9 FHC , 即二面角D GHE 的余弦值为 4 5 . 解法二:在 ABQ 中, 2AQBD , ADDQ , 所以 90ABQ ,又PB 平面 ABQ ,所以 ,BA BQ BP 两两垂直, 以B为坐标原点,分别以 ,BA BQ BP 所在直线为x轴, y 轴,z轴,建立如图所示的空 间直角坐标系,设 2BABQBP ,则 (1,0,1)E , (0,0,1)F ,

44、 (0,2,0)Q , (1,1,0)D , (0,1,0)C(0,0,2)P ,所以 ( 1,2, 1)EQ , (0,2, 1)FQ , ( 1, 1,2)DP , (0, 1,2)CP , 设平面 EFQ 的一个法向量为 111 ( ,)mx y z , 由 0m EQ , 0m FQ , 得 111 11 20 20 xyz yz 取 1 1y ,得 (0,1,2)m . 设平面PDC的一个法向量为 222 (,)nxyz 由 0n DP , 0n CP , 得 222 22 20 20 xyz yz 取 2 1z ,得 (0,2,1)n .所以 4 cos, 5 m n m n m

45、n 因为二面角D GHE 为钝角,所以二面角D GHE 的余弦值为 4 5 . 45. （2013 年高考湖南卷（理） ）如图 5,在直棱柱 1 111 / /ABCDABC DADBC中，, 90 ,1BADACBD BC , 1 3ADAA. (I)证明: 1 ACB D; (II)求直线 111 BCACD与平面所成角的正弦值. 【答案】解: () ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD 111111 ,面且面是直棱柱 DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC 11111 ,，面。面且又. (证毕) () 。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线 111111 ,/ACDAD

46、ACDCBADBCCB 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA), 0 , , 3(), 0 , , 1 () 0 , , 1 (), 0 , , 0(),3 , 0 , 3(),0 , 0 , 3(,00 , 0 1 ，则，设 ).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 0030 1 2 ADACyyyBDAC ），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-. 0 0 , 1 1 1 ADnACD ADn ACn nACD 7 21 37 33 |,cos|sin003,313- 1

47、ADnADnACD），（），（的一个法向量平面 7 21 11 夹角的正弦值为与平面所以ACDBD. 46. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四棱柱 1111 ABCDABC D中,侧棱 1 AAABCD 底面,/ /ABDC, 1 1AA ,3ABk, 4ADk,5BCk,6DCk(0)k . (1)求证: 11; CDADD A 平面 (2)若直线 1 AA与平面 1 ABC所成角的正弦值为 6 7 ,求k的值; (3)现将与四棱柱 1111 ABCDABC D形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新 的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问: 共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为( )f k,写出 ( )f k的表达式(直接写出答案,不必要