[数学]浅谈矩阵的对角化问题

1、 苏州大学本科生毕业设计（论文） 苏州大学苏州大学 本科毕业论文 （2012 届） 浅谈矩阵的对角化问题浅谈矩阵的对角化问题 学学号号 0807402069 姓名姓名 马莉莹 院院系系 数学科学学院 专专业业 数学与应用数学（师范） 指导老师指导老师朱广俊 目录目录 苏州大学本科生毕业设计（论文） 中文中文摘要摘要.1 ABSTRACT.2 前前 言言.3 第一章第一章 矩阵相似对角化问题的引入矩阵相似对角化问题的引入.4 第二章第二章 矩阵相似对角化的条件矩阵相似对角化的条件.5 第三章第三章 矩阵对角化的若干方法矩阵对角化的若干方法.7 3.1 一般矩阵对角化的方法.7 3.2 实对称矩阵

2、对角化的方法.20 第四章第四章 特殊矩阵的对角化特殊矩阵的对角化.27 总总 结结.31 参考文献参考文献.32 致致 谢谢.33 苏州大学本科生毕业设计（论文） 0 中文摘要中文摘要 矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文利用高等代数的有关理论给出了 矩阵可对角化的若干条件；从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将 一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题， 如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等. 关键词：对角化，特征值，特征向量，相似变换，线性变换. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 1 Abstract Diagona

3、lization of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transforma

4、tion, system of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix，real symmetric matrix and hermite matrix. Keywords : diagonalization，eigenvalue，eigenvectors， similarity transformation，linear

5、 transformation. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 2 前前 言言 矩阵的对角化在国内外已有一定的研究.早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质 和计算时，提出了对角矩阵的概念.随着计算机的发展，矩阵对角化的应用前景也变得更 为广阔. 对角矩阵是一类最简单的矩阵，它在许多领域如量子力学、无线电、电子信息工程、 计算机等中起着重要的作用.由于通过相似变换，许多矩阵在相似意义下都与一个对角矩 阵等价，而对角矩阵的性质很容易从它自身元素的特点得出，所以对于可对角化的矩阵， 我们只要研究它的相似标准形即可. 本文主要简述了矩阵可对角化的若干条件；从初等变换,线性方程组,特征子空间等 不同角

6、度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩 阵的对角化问题，如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等. 符号说明符号说明 数域FF 复数域C 数域上的线性空间VF 的全体线性变换的集合( )L VV 数域上的维向量全体所组成的集合 n FFn 数域上的阶矩阵的集合 m n F Fm n 单位矩阵I 矩阵的逆 1 AA 矩阵的转置 T AA 矩阵的共轭转置 H AA 矩阵的秩( )rank AA 矩阵的迹( )tr AA 苏州大学本科生毕业设计（论文） 3 第一章第一章 矩阵相似对角化问题的引入矩阵相似对角化问题的引入 在高等代数中，对于有限维线性变换的

7、研究，主要有两种方法. 第一种：对某空间的全体线性变换的集合引进运算：加法、数量乘积.这样V( )L V 就构成了数域上的线性空间.我们可利用这些运算来研究线性变换.( )L VF 第二种：在空间中取定一组基，建立起线性变换与矩阵之间的一一对应关系，通过对线 性变换所对应的矩阵的线性性质的探索了解，来获得线性变换的线性性质的相关信息. 当利用矩阵这一工具来研究线性变换时，我们自然希望它所对应的矩阵较为简单， 最好为对角矩阵，以便容易了解它的性质.接下来我们自然会问： (1) 对一个线性空间中的线性变换而言，是否一定存在某个基，使得它对应的矩阵是对 角形的？ (2) 若存在，则需满足什么条件？将

8、矩阵变为对角矩阵又有哪些方法？ (3) 若不存在，那么我们能否退而求其次，使得线性变换在某一基下的矩阵是准对角矩 阵？ 事实上，对于第三个问题，在复数域上已得到了非常完美的解决，这就是矩阵的 Jordan 相似标准形问题.下面给出相关定义和定理. 定义定义 1 1：设矩阵,称为属于的一个 Jordann n 0000 1000 0100 0010 A 00 (, )()nJAI 0 块，其中是它的主对角元，是阶数.称主对角线上的小矩阵都是 Jordan 块的准对角矩 0 n 阵为 Jordan 形矩阵. 定理定理 1 1（4)：设是复数域上的阶方阵.则存在 Jordan 形矩阵，使得与相似.如

9、AnJAJ 果不计 Jordan 块的排列顺序，这样的 Jordan 形矩阵是唯一的. 一般情况下，Jordan 标准形不是对角矩阵，它的主对角线上的元素是 Jordan 块，但 当所有的 Jordan 块都是一阶时，Jordan 标准形变为对角矩阵，即对角矩阵是它的一种特 殊情况.那么，满足什么条件时，所有的 Jordan 块都是一阶的？这就是接下来要讨论的矩 阵可对角化的条件. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 4 第二章第二章 矩阵相似对角化的条件矩阵相似对角化的条件 随着矩阵的类型和其所在数域范围的不同，矩阵可对角化的条件也有所不同.下面分 别列出了矩阵在任意数域、复数域和实数域上所需满

10、足的条件. 1 1 任意数域上矩阵相似对角化的条件任意数域上矩阵相似对角化的条件 充要条件充要条件 设为阶方阵的个互异的特征值，且它们的重数分别为， 1, , m nAm 1, , m ss . 1,2,im 可对角化有个线性无关的特征向量AAn 对于的每个特征值,其代数重数等于其几何重数A i () ii rnsIA 的最小多项式无重根A 1 () m i i IA0 对于的每个特征值，都有A i 2 ()()rrIAIA 的初等因子都是 1 次的A 与某个循环矩阵相似A 充分条件充分条件 有个不同特征值可对角化AnA 的零化多项式（称满足的多项式为矩阵的零化多项式）无重根可A( )0gA(

11、 )g xAA 对角化（9） 2 2 复数域上复数域上 Hermite 矩阵相似对角化的条件矩阵相似对角化的条件 定义定义 2 2：满足的阶复矩阵称为酉矩阵. HH A AAAInA 定义定义 3 3：满足的阶复矩阵称为Hermite矩阵. H AAnA 定理定理 2 2（4)：设，并且是Hermite矩阵，则存在一个酉矩阵，使得 n n C AAP ,并且是实数，. 1 12 , H n diag P APP AP i 1,2,in 由定理 2 知Hermite矩阵必可对角化. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 5 3 3 实数域上对称矩阵相似对角化的条件实数域上对称矩阵相似对角化的条件 定义

12、定义 4 4：满足的阶实矩阵称为正交矩阵. TT A AAAInA 定义定义 5 5：满足的阶实矩阵称为实对称矩阵. T AAnA 定理定理 3 3(4)：设是一个阶的实对称矩阵，则存在一个正交矩阵,使得AnP ,并且是实数，. 1 12 , T n diag P APP AP i 1,2,in 由定理 3 知实对称矩阵既可相似对角化又可合同对角化. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 6 第三章第三章 矩阵对角化的若干方法矩阵对角化的若干方法 3.13.1 一般矩阵对角化的方法一般矩阵对角化的方法 本文介绍了将一般矩阵对角化的五种方法，分别是特征向量法、矩阵乘积运算法、 Jordan 标准形法、

13、矩阵标准形法和数字矩阵对角形法.下面我们一一加以讨论. 1.1.特征向量法特征向量法 设矩阵与相似，且，并设为可逆矩阵.AB 12 (,) n diag B 12 (,) n PP PP 由，得,即.由此可见，这里只 1 P APBAPPB 121122 (,)(,) nnn AP APAPPPP 要取的列为方阵的个特征向量.因为可逆，所以线性 12 (,) n PP PPAnP 12 , n P PP 无关.可见方阵的对角化问题最终归结为求其特征值以及求特征值所对应的齐次线性方A 程组的基础解系的问题. 如果阶方阵相似于对角矩阵,则的相似对角化的一般步骤如下: nAA (1)求出的全部特征值

14、.A 12 , n (2)对的每个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系,将所有这A i () i IA X0 样 的基础解系中的向量合在一起,假定这样的向量共有个,它们就是的个线性无关nAn 的特征向量，分别设它们为. 12 , n (3)令，则，其中是属于特征值的特征向 12 , n P 1 12 (,) n diag P AP i i 量.这里我们需要注意的是的列向量的排列次序应该与对角矩阵的主对角线元素的排列P 次序相一致. 例例 1 1：判定矩阵能否对角化，若能，求可逆矩阵，使得 为对角 460 350 361 AP 1 P AP 矩阵. 解：解：由，得的特征值， 2 (1) (2

15、)0IAA 12 1 3 2 当时，解齐次线性方程组，得基础解系，. 12 1()IA X0 1 2 1 0 P 2 0 0 1 P 苏州大学本科生毕业设计（论文） 7 当时，解齐次线性方程组，得基础解系. 3 2 ( 2)IA X0 3 1 1 1 P 令，则有. 201 101 011 P 1 1 1 2 P AP 此方法的原理简单易懂，是最常规的方法.但在解决问题时，需要去求矩阵的特征值， 并且对于求得的每个特征值都要逐一带入齐次线性方程组求出该特征值对应的特征向量， 过程繁琐且当矩阵的阶数越来越高时，求起来也越来越困难. 2.2.矩阵乘积运算法矩阵乘积运算法 设是在数域上的全部互不相同

16、的特征值.其重数分别为,且 12 , s AF 12 , s n nn ，记为的属于的特征子空间. 1 s i i nn i VA i 1,2,is 对于齐次线性方程组，有如下结论：() i IA X0 （1）若可对角化，则对于的每个特征值，都有个与其对应的线性无关的特征向AA i i n 量. （2）可对角化的充要条件是对于的每个特征值,其代数重数等于其几何重数，即AA i . i i dim Vn 类似地，我们有定理 4. 定理定理 4 4（3)：设是在数域上的全部互不相同的特征值，其重数分别为 12 , s AF ,且，记=. 12 , s n nn 1 s i i nn i W 1 s

17、 j j j i IA1,2,is 对于，有如下结论： 12s IAIAIA0 （1）若可对角化，则矩阵的列向量组中有对应于的个线性无关的特征向量.A i W i i n （2）可对角化的充要条件是.A ii ranknW1,2,is 苏州大学本科生毕业设计（论文） 8 定理 4 表明，要构造可对角化矩阵的相似变换矩阵,完全可以不像常规方法那AP 样解齐次线性方程组，而只需对每一特征值（） ，从矩阵乘积() i IA X0 i 1,2,is 中找出个与对应的线性无关的特征向量，以这样所得的个特征 1 s j j j i IA i n i i nn 向量为列作一个阶矩阵即可.n 下面我们利用此方

18、法来解决具体问题. 例例 2 2：判定矩阵能否对角化，若能，求可逆矩阵，使得 为对角矩 122 212 221 AP 1 P AP 阵. 解：解：由 ，得的特征值（二重)， 2 (1) (5)0IAA 1 1 2 5 因为，所以可对角化. 12 222422 222242 222224 IAIA0A 当（二重）时， 1 1 12 422 5242 224 WIAIA 取中的两个线性无关的向量， 1 W 1 4, 2, 2 T 2 2,4, 2 T 由定理 4 知，即为特征值-1 对应的两个线性无关的特征向量. 1 2 当时， 2 5 21 222 222 222 WIAIA 取中的向量. 2

19、W 3 2, 2, 2 T 由定理 4 知即为特征值 5 对应的特征向量. 3 故相似变换矩阵，且 123 422 ,242 222 P 1 ( 1, 1,5)diag P AP 苏州大学本科生毕业设计（论文） 9 例例 3 3：判定矩阵能否对角化，若能，求可逆矩阵，使得 为对 1220 2120 2210 0001 AP 1 P AP 角矩阵. 解：解：由，得 （二重） ， 2 (1) (5)(1)0IA 1 1 2 5 3 1 123 222042200220 222024202020 0 222022402200 000200000 (5 40 ) 0 因为 IAIAIA IAIAIA

20、所以矩阵可对角化.A 当（二重）时： 1 1 123 5WIAIAIAIA 422002208440 242020204840 224022004480 000400000000 取中的两个线性无关的向量. 1 W 12 844,04,8, 4,0 TT ， 由定理 4 知，即为特征值-1 对应的两个线性无关的特征向量. 1 2 当时： 2 5 213 WIAIAIAIA 222002208880 222020208880 222022008880 000200000000 取中的 2 W 3 8,8,8,0 T 由定理 4 知即为特征值 5 对应的特征向量. 3 当时： 3 1 苏州大学本科

21、生毕业设计（论文） 10 312 5 WIAIAIAIA 222042200000 222024200000 222022400000 000200040008 取中的. 3 W 4 0,0,0, 8 T 由定理 4 知即为特征值 1 对应的特征向量. 4 于是相似变换矩阵，且 1234 8480 4880 4480 0008 ，P 1 ( 1, 1,5,1)diag P AP 该方法区别于传统的特征向量法，把矩阵对角化问题归结为矩阵的乘法运算，不需 要解方程组就可以得到特征向量及相似变换矩阵. 3.3.Jordan标准形法标准形法 我们知道复数域上任意的阶矩阵都相似于一个 Jordan 矩阵

22、，即存在可逆矩CnAJ 阵，使得（定理 1）.在的 Jordan 标准形中，主对角线上的元素是在复P 1 P APJAA 数域上全部的特征值.如果为对角矩阵，则可对角化，否则，不可对角化.CJAA 一般情况下，我们采用初等因子法来确定一个矩阵的 Jordan 标准形.但在此过程中, 我们不能直接得到相似变换矩阵.下面，我们将从相似变换的角度来求一个矩阵的P Jordan 标准形，该方法可以同时求得矩阵的特征值，特征向量以及相似变换矩阵.AP 由于矩阵可逆，所以存在一系列的初等矩阵，使得:P 12 , t P PP ，. 12t PPPP 1111 21t PPPP 又因为，所以有： 1 P A

23、PJ . 111 2112tt PPPAPPPJ 在对施行初等变换时，我们可对先施行一次初等行变换后，接着再施行一次相应的AA 初等列变换，且上述两次初等变换所对应的初等矩阵是互逆的.用初等变换的语言表述为： 先将的第行乘以后加到第行，再将它的第列乘以后加到第列.我们称此Amknn()km 种初等变换为对施行了一次相似变换.显然，可对施行一系列的相似变换，将化为AAA Jordan 形矩阵.J 苏州大学本科生毕业设计（论文） 11 由于第一种初等变换和第二种初等变换均可由第三种初等变换得到，所以只需对 施行第三种初等变换即可.A 下面我们来看具体实例. 例例 4 4：判定矩阵能否对角化. 11

24、0 430 102 A 解：解：将矩阵化为 Jordan 标准形A 3121 1213 110110110 1( 2) 430010010 2( 1) 102102012 rrrr cccc A 32 23 110 1 010 ( 1) 002 rr cc 由的 Jordan 标准形可知，矩阵不可对角化且它的特征值为 1,1,2.AA 例例 5 5：判定矩阵能否对角化，若能，求可逆矩阵，使得 为对角 460 350 361 AP 1 P AP 矩阵. 解：解：将矩阵化为 Jordan 标准形A 3121 1213 460260260 11 350010010 ( 1)( 1) 36136100

25、1 rrrr cccc A 12 21 200 ( 2) 010 2 001 rr cc 由的 Jordan 标准形可知，矩阵可对角化，它的特征值为-2,1,1，且对共施行AAA 了三次相似变换，其中，三次初等列变换分别为： 123 100100120 110 ,010 ,010 001101001 PPP 苏州大学本科生毕业设计（论文） 12 所以，且 123 100100120120 110010010110 001101001121 PPP P . 1 2 1 1 P AP 由可知：特征值-2 对应的特征向量为，特征值 1（二重）对应的两P 1 1, 1, 1 T 个线性无关的特征向量分

26、别为，. 2 2, 1, 2 T 3 0,0,1 T 4.4. 矩阵标准形法矩阵标准形法 引理引理 1 1（5)：设是阶方阵，则必能用初等变换将 变为对角矩阵：AnIA 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n t t t T 并且多项式 的所有根恰好是的所有特征值.()(1,2, ) i tinA 定理定理 5 5（5）：设是阶方阵， 是对角形矩阵，An 12 ( )( ), ( ),( ) n diag tttT ，是可逆的矩阵，且满足.如果( )P( )Q( )() ( )( ) PIA QT . ( )()( ) (), )( ( ),( ) ( ) TTT TT T QIAP IA

27、ITQ QI 即用对作初等行变换，用对作初等列变换，使( ) T Q() T IA( ) T P() T IA 变为对角矩阵.随着行的变化而变为.则() T IA( )TI() T IA( ) T Q （1） 若的所有根都在内，则就是的所有特 12 ( ), ( ),( ) n ttt 12 , s F 12 , s A 征值. （2） 对于的特征值，设第行是的全部为零的行，则A 12 , s 12 , mi k kk() i T 的第行即构成的基.其中为特征值的特征子空间.() T i Q 12 , mi k kk i V i V i （3）可对角化，此处 是的重数.A,(1,2,) iii

28、 rm is i r i 根据定理根据定理 5 5 即可得到即可得到矩阵标准形法：矩阵标准形法： 苏州大学本科生毕业设计（论文） 13 （1） 对作初等变换，使之成为对角矩阵，随着行的变化而变() T IA( )TI() T IA 为.设，求出的所有解.( ) T Q 12 ( )( ), ( ),( ) n diag tttT 12 ( ), ( ),( )0 n ttt （2） 若的解都在内，并且对每个解都有中零行的数目 12 ( ), ( ),( )0 n tttF i () i T 等于的重数，则可对角化，转（3） ；否则不可对角化，结束. i AA （3） 对于的任一特征值，若的第行

29、都为零，则取出的第，A i () i T 12 , mi k kk() T i Q 1 k ,行构作: 2 k mi k 1 1 11 (),(),(),() msms TTTT kkksks TQQQQ 则 12 1 12 (,) s mmsm diag TATIII 下面利用上述步骤来解答具体问题. 例例 6 6：判定矩阵能否对角化，若能，则求出可逆矩阵，使得为 321 222 361 AT 1 TAT 对角矩阵. 解：解：作初等变换： 323100 ,226010 121001 T IAI 13 121001 226010 323100 rr 21 31 2 2 121001 (3) 0

30、224012 0242103 rr rr 21 31 32 100001 020012 2 02424103 (1) ( 2) cc cc cc 32 100001 ( 2) 020012 0024121 rr 苏州大学本科生毕业设计（论文） 14 按照上述方法： （1）记， 100 ( )0 024 0 0 2 T 001 ( )012 121 T Q 由和，得，20(2)(4)0 12 2 3 4 （2）当时，中零行的数目的重数 12 2 100 (2)000 000 T(2)T22 当时，中零行的数目的重数 3 4 100 ( 4)060 000 T( 4)T4 1 由定理 5 知可对角

31、化.A （3）当时， 12 2 100001 2 ,2000012 000123 T TQ 取中与中零行所对应的向量，(2) T Q(2)T 1 0,1,2 T 2 1, 2, 3 T 由定理 5 知即为属于特征值 2 的两个线性无关的特征向量. 12 , 当时， 3 4 100001 4 ,4060012 000123 T TQ 取中与中零行所对应的向量.( 4) T Q( 4)T 3 1, 2,3 T 由定理 5 知即为属于特征值-4 的特征向量. 3 令，则 123 011 ,122 233 T 1 2 2 4 TAT = 例例 7 7：判定矩阵能否对角化，若能，则求出可逆矩阵，使得为

32、132 132 264 AT 1 TAT 对角矩阵. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 15 解：解：作初等变换： 112100 ,336010 224001 T IAI 2 12 32 21 100100 322010 (1) 22001 2 cc cc cc 2 31 100100 ( 2) 322010 02201 rr 2 21 100100 (3) 022310 02201 rr 2 23 23 100100 022310 00201 cc cc 2 23 100100 ( 2) 020112 00201 rr 按照上述方法： （1）记， 2 100 00 2( )00 T 100 (

33、 )112 201 T Q 由和，得 2 200 123 0,2 （2）当时，中零行的数目的重数 12 0(0)T02 当时，中零行的数目的重数.由定理 5 知可对角化. 3 2(2)T21 A （3）当时， 12 0 100100 0 ,0000112 000201 T TQ 取中与中零行所对应的向量，(0) T Q(0)T 1 1,1, 2 T 2 2,0,1 T 由定理 5 知即为属于特征值 0 的两个线性无关的特征向量. 12 , 苏州大学本科生毕业设计（论文） 16 当时， 3 2 100100 2 ,2000112 002201 T TQ 取中与中零行所对应的向量.(2) T Q(

34、2)T 3 1,1, 2 T 由定理 5 知即为属于特征值 2 的特征向量. 3 令，则 123 121 ,101 212 T 1 0 0 2 TAT = 5.5. 数字矩阵对角形法数字矩阵对角形法 若矩阵在数域上可对角化，则存在上的可逆矩阵，使得为对角AFFT 1 TATB 矩阵，且的主对角线上的元素为的全体特征值.BA 由于矩阵可逆，所以存在一系列的初等矩阵，使得:T 12 , s T TT . 12s TTTT 于是，做初等变换： 1111 1112sss B =TAT =T TTATTT . AB IT 该变换形式表示：对施行一系列的初等行变换和初等列变换,使其变为对角矩阵，对AB 只

35、施行相应的初等列变换变为.在施行初等变换时,可施行若干次行（或列）变换后再IT 施行若干次相应的列（或行）变换，只要保持变换后，最后所得矩阵与相似即可.A 例例 8 8：判定矩阵 能否对角化，若能，则求出可逆矩阵，使得 1111 1111 1111 1111 AT 为对角矩阵. 1 TAT 苏州大学本科生毕业设计（论文） 17 解：解：作初等变换： 1111 1111 1111 1111 1000 0100 0010 0001 A I 1, 2,3,4 i rr i 1111 2200 2020 2002 1000 0100 0010 0001 1 ( 1),2,3,4 i cci 2111

36、0200 0020 0002 1000 1100 1010 1001 1 1 (),2,3,4 4 i rri 111 2 222 0200 0020 0002 1000 1100 1010 1001 . 1 1 ,2,3,4 4 i cci 2000 0200 0020 0002 111 1 444 311 1 444 131 1 444 113 1 444 所以可对角化.A 令，则有. 111 1 444 311 1 444 131 1 444 113 1 444 T 1 2000 0200 0020 0002 TAT 苏州大学本科生毕业设计（论文） 18 例例 9 9：判定矩阵 能否对角

37、化，若能，则求出可逆矩阵，使得 1200 3200 0023 0043 AT 为对角矩阵. 1 TAT 解：解：作初等变换： 1200 3200 0023 0043 1000 0100 0010 0001 A I 21 43 ( 1) ( 1) rr rr 1200 4400 0023 0066 1000 0100 0010 0001 12 34 cc cc 1200 0400 0013 0006 1000 1100 0010 0011 12 34 2 () 5 3 () 7 rr rr 2 100 5 0400 3 001 7 0006 1000 1100 0010 0011 21 43 2

38、 () 5 3 () 7 cc cc 1000 0400 0010 0006 2 100 5 3 100 5 3 001 7 4 001 7 所以可对角化.A 苏州大学本科生毕业设计（论文） 19 令，则有 2 100 5 3 100 5 3 001 7 4 001 7 T 1 1000 0400 0010 0006 TAT 利用初等变换将矩阵对角化时，不需要单独去求特征值与特征向量，只须通过对矩 阵进行适当的初等变换就可同时求出矩阵的特征值与特征向量，收到了判定求解一AA 体化的效果，它简单易操作，大大简化了求解过程，以至于判定求解都是从最终的矩阵 读出来的. 3.23.2 实对称矩阵对角化

39、的方法实对称矩阵对角化的方法 实对称矩阵是研究二次型，线性空间和线性变换等问题的有利工具，现在我们来研 究将实对称矩阵对角化的方法. 将一个实对称矩阵合同对角化的方法实际就是求二次型标准形的方法,即通过坐标变 换（或者配方）的方法来实现的；将一个实对称矩阵相似对角化的方法与一般矩阵的相 似对角化方法相同，在本章的第一节已给出了五种方法；下面我们重点研究将一个实对 称矩阵既合同又相似对角化的方法.这里主要介绍三种,分别是 Schmidt 正交法、直接正交 法和度量矩阵法. 1.1.Schmidt正交法正交法 该方法是在相似对角化的基础上将可逆矩阵化为正交矩阵.由于实对称矩阵不同特P 征值的特征向

40、量相互正交，因此将实对称矩阵相似对角化后，只需要将代数重数大于 1 的特征值所对应的特征向量先正交化，然后再将所有的特征向量单位化即可. 对于实对称矩阵, 求一个正交矩阵, 使得为对角矩阵的步骤如下:AP 1 P AP （1）求的特征值.A （2）求对应于每个特征值的特征向量.对于单特征值，只需将属于它的特征向量单位化； 对于 重特征值，先求出属于它的 个线性无关的特征向量, 然后对这 个特征向量进行rrr 正交单位化，这样就可得到个两两正交的单位特征向量.n （3）以正交单位化的特征向量为列组成矩阵, 它就是所需的正交矩阵,且满足P 苏州大学本科生毕业设计（论文） 20 为对角矩阵. 1 P

41、 AP 例例 1010：设 .求一正交矩阵, 使得为对角矩阵. 222 254 245 AP 1 P AP 解：解：由，得（二重），. 2 (1) (10)0IA 1 1 2 10 当时，解齐次线性方程组，得基础解系,. 1 1(1)IA X0 1 (2, 1,0)T 2 (2,0,1)T 将,正交化： ， 1 2 11 (2, 1,0)T 21 221 11 ,2 2 ( ,1) ,5 5 T 再将单位化: ， 12 , 1 1 (2, 1,0) 5 T 2 1 (2,4,5) 3 5 T 当时，解齐次线性方程组，得基础解系. 2 10(10)IA X0 3 (1,2, 2)T 将单位化:

42、3 3 1 (1,2, 2) 3 T 令,则. 123 (,)P 1 1 1 10 T P AP = P AP = 用Schmidt正交方法求正交特征向量时，必须牢记公式，且当特征值的重数较大时， 计算较为复杂. 2.2.直接正交法直接正交法 当实对称矩阵的某一特征根为重根时，我们可以求出属于的 个特征向A(1)t t t 量，要得到 个彼此正交的单位特征向量，可以直接从特征子空间中求出正交向量，然后t 单位化即可.且当特征根的重数较大时，能够大大减少计算量. 例例 1111：设 ，求一正交矩阵, 使得为对角矩阵. 1333 3133 3313 3331 AP 1 P AP 苏州大学本科生毕业

43、设计（论文） 21 解：解：由，得（三重），. 3 (4) (8)0IA 1 4 2 8 设 4 1234 ( ,)Tx xx xRX 当时，解齐次线性方程组，得. 1 4 ( 4)IA X0 1243 xxxx 先取一个特征向量. 设特征向量. 1 (1,1,0,0)T 22222 (,)Ta b c d 因与正交，从而有.又因为，所以可得. 2 1 22 0ab 2222 abdc 222 2adc 取.再设特征向量. 2 11 ( ,0,1) 22 T 33333 (,)Ta b c d 因与和都正交，从而有，.又因为， 3 1 2 33 0ab 333 11 0 22 abd 3333

44、 abdc 所以可得.取. 33 3ac 3 (2, 2, 6, 2)T 现将，都单位化： 1 2 3 ，. 1 22 ,0,0 22 T 2 666 ,0, 663 T 3 3333 , 6626 T 当时,可求得单位特征向量：. 2 8 4 11 11 , 22 22 T 令，则. 1234 (,)P 1 4, 4, 4,8 T diag P AP = P AP = 例例 1212：设，求一正交矩阵, 使得为对角矩阵. 0111 1011 1101 1110 AP 1 P AP 解：解：由，得（三重），. 3 (1) (3)0IA 1 1 2 3 设 4 1234 ( ,)Tx xx xRX 当时,解齐次线性方程组