2019高考数学常考题型专题05导数压轴题的零点及恒成立、有解问题理

1、专题 05 导数压轴题的零点及恒成立、有解问题1（2018 新课标全国理科）已知函数x 2f (x) e ax （1）若 a 1 ，证明：当 x 0 时， f (x) 1 ；（2）若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a 【解析】（ 1）当 a 1时， f (x) 1等价于 (x2 1)e x 1 0 设函数2 xg(x) ( x 1)e 1，则2 x 2 xg (x) (x 2x 1)e (x 1) e 当 x 1时， g( x) 0 ，所以 g( x) 在 (0, )单调递减而 g (0) 0，故当 x 0时， g( x) 0，即 f ( x) 1若 h (2) 0 ，即2ea

2、 ，h( x) 在 (0, )没有零点；4若 h (2) 0 ，即2ea ，h( x) 在 (0, )只有一个零点；4若 h (2) 0 ，即2ea ，由于 h(0) 1，所以 h(x) 在 (0, 2) 有一个零点，4由（1）知，当 x 0时，x x ，所以2e3 3 316a 16a 16a 1h(4 a) 1 1 1 1 04a 2a 2 4e (e ) (2a) a故 h(x) 在(2,4 a) 有一个零点，因此 h(x) 在 (0, ) 有两个零点综上， f (x) 在(0, )只有一个零点时，2ea 42（2017 新课标全国理科）已知函数2x xf (x) ae (a 2)e x

3、 .（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .【解析】（1） f (x) 的定义域为 ( , ) ， ( ) 2 e2 ( 2)e 1 ( e 1)(2e 1)x x x xf x a a a ，（）若 a 0，则 f (x) 0 ，所以 f (x) 在( , ) 单调递减 .（）若 a 0，则由 f (x) 0 得 x ln a .当 x ( , ln a) 时， f (x) 0；当 x ( ln a, ) 时， f (x) 0，所以 f (x) 在 ( , ln a) 单调递减，在 ( ln a, ) 单调递增 .又4 2 2f ( 2) a

4、e (a 2)e 2 2e 2 0 ，故 f (x) 在 ( , ln a) 有一个零点 .设正整数n 满足 n003ln( 1)a，则n n n nf (n ) e (ae a 2) n e n 2 n 0 .0 0 0 00 0 0 0由于3ln( 1) ln aa，因此 f (x) 在 ( ln a, ) 有一个零点 .2综上， a 的取值范围为 (0,1) .【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化 . 已知函数 f (x) 有 2 个零点求参数 a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断 y a 与其交点的个数，

5、 从而求出 a 的取值范围； 第二种方法是直接对含参函数进行研究， 研究其单调性、极值、最值，注意点是若 f (x) 有 2 个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于 0，且后面还需验证最小值两边存在大于 0 的点.3（2015 新课标全国理科）设函数mx 2f (x) e x mx （）证明： f (x) 在( ,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增；（）若对于任意x1, x2 1,1，都有 | f (x1) f (x2 ) | e 1，求 m的取值范围( ) 由( ) 知，对任意的 m ， f (x) 在 1,0 单调递减，在 0,1 单调递增，故 f (x) 在 x 0处取得最小值

6、所以对于任意x1, x2 1,1， | f (x1) f (x2) | e 1的充要条件是f (1) f (0) e 1,f ( 1) f (0) e 1,即me m e 1,t t，设函数 g(t ) e t e 1，则 g (t) e 1当 t 0时， g (t ) 0 ；当 t 0时，me +m e 1，g (t) 0 故 g (t) 在 ( ,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增又 g (1) 0，1g( 1) e 2 e 0 ，故当t 1,1时，g (t) 0当 m 1,1时， g(m) 0，g( m) 0 ，即式成立； 当 m 1时，由 g (t)的单调性， g (m) 0，即

7、 em m e 1；当 m 1时， g( m) 0 ，即e m +m e 1综上可知， m的取值范围是 1,1mx【名师点睛】 ( ) 先求导函数 f ( x) m(e 1) 2x ，根据 m 的取值范围讨论导函数在 ( ,0) 和(0, ) 的符号即可； ( ) f ( x1 ) f ( x2) e 1恒成立，等价于 f ( x1) f (x2) e 1由 x1,x2 是max3两个独立的变量，可研究 f (x) 的值域，由 ( ) 可得最小值为 f (0) 1，最大值可能是 f ( 1) 或 f (1)，故只需f (1) f (0) e 1,f ( 1) f (0) e 1,，从而得关于

8、m 的不等式， 因不易解出， 故利用导数研究其单调性和符号，从而得解1利用导数研究函数的零点问题，一般出现在解答题的压轴题中，难度较大，这类零点一般都不能直接求出数值，而是利用数形结合、分类讨论、转化思想和分离变量等求零点的个数或根据零点的个数求参数的取值范围 .2利用导数解决函数恒成立问题或有解问题是近年来高考的热点问题，这类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质，如单调性、极值、最值，综合性强，很好地考查了考生的分析问题和解决问题的能力，解决这类问题的关键是运用等价转化的数学思想及整体构造法和参数分离法 .指点 1：利用导数研究函数的零点问

9、题对于含参数的函数零点的个数问题，由函数 y f (x) 有n 个零点 方程 f (x) 0有 n 个实数根 函数y f (x) 与 x 轴有 n 个交点可转化为方程解的个数问题，若能分离参数，可将参数分离出来，再作出函数的图象，根据函数的图象特征从而求出参数的取值范围 . 也可以根据函数的最值或极值的符号，即利用函数的性质去确定函数零点的个数，此方法主要是通过数形结合的方法确定存在零点的条件 .【例 1】设函数x 1f (x) e aln x , 其中 e为自然对数的底数（1）若 a 1, 求 f (x) 的单调区间 ;（2）若 0 a e, 求证: f (x) 无零点【解析】（ 1）若 ,

10、 则 , 令 , 则 ,当 时, , 即 单调递增 , 又 ,4当 时, 单调递减 ,当 时, 单调递增 的单调递减区间为 , 单调递增区间为 （2）当 时, ，显然 无零点当 时,(i) 当 时, ，显然 无零点(ii) 当 时，易证 ， , 令 ，则x 1g x e e，令 g x 0，得 x 2，当 1 x 2时， g (x) 0；当 x 2时， g ( x) 0，故g( x) g (2) 0，从而 ，显然 无零点 .min综上 , 无零点指点 2：利用导数解决函数恒成立、有解问题利用导数研究恒成立问题、有解问题，通常采用分类讨论思想或分离参变量的方法，通过函数的单调性研究函数的最值，

11、利用最值去研究恒成立问题、 有解问题， 此类问题最后都化归为与函数最值有关的问题 . 一般地，若 f (x) a 恒成立，只需f x a 即可；若 f (x) a 恒成立，只需 f ( x)max a 即可. 若存在 x ，( )min使得 f (x) a 成立，只需f x a 即可；若存在 x ，使得 f (x) a 成立，只需( )maxf (x) a 即可.min【例 2】已知函数 ， .（1）若曲线 与曲线 在它们的交点处的公共切线为 ，求 ， ， 的值；（2）当 时，若 ， ，求 的取值范围 .【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为 ，则 .，则 ， ；，则 ， .由得 ，由得 .

12、5将 ， 代入 得 ， ， .（2）由 ，得 ，即 在 上恒成立，令 ，则 ，其中 在 上恒成立， 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ， .故 的取值范围是 .1设函数3 2f (x) x bx cx 1的单调递减区间是 (1,2) .（1）求 f (x) 的解析式；（2）若对任意的 m (0,2 ，关于 x 的不等式 ( ) 1 3 ln 3 f x m m m mt 在 x 2, )时有解，求实2数 t 的取值范围.【解析】（1）2f ( x) 3x 2bx c . f (x) 的单调递减区间是 (1,2) ，f (1) 3 2b c 0f (2) 12 4b c 0，解得9b ,c 6

13、.23 9 2f (x) x x 6x 1.2（2）由（ 1）得2f ( x) 3x 9x 6 3(x 1)( x 2) ，当 x 2, )时， f (x) 0， f (x) 在 2, ) 上单调递增，f (x) f (2) 3 .min要使关于 x 的不等式 ( ) 1 3 ln 3 f x m m m mt 在 x 2, )时有解，2即123m mlnm mt 3 f (x) 3，即min13mt m mln m对任意 m (0,2 恒成立 ,26只需12t m lnm 在 m (0,2 上恒成立 .2设12h( m) m lnm ，m (0,2 ，则2h (m) m1 (m 1)( m

14、1)m m，当m (0,2 时， h( m) 在 0,1 上单调递减，在 1, 2 上单调递增，1h(m) h(1) .min2要使12t m lnm 在 m (0,2 上恒成立，只需 t h(m)min ，则21t .21故t 的取值范围是 ( , ). 2x2已知函数 ( ) ( 1)e f x x （1）证明：当 x 0, )时，2xf (x) 1；2（2）当 k 0时，讨论关于 x 的方程22 f (x) kx 0 的根的个数（2）当 x 0时，易得关于 x 的方程22 f ( x) kx 0 不成立；当 x 0时，由22 f (x) kx 0 可得k2 f (x)2xx2(x 1)e

15、，即 2kx，令x2(x 1)eg(x) , x 02x，则问题可转化为讨论直线 y k 与函数 g( x) 的图象的交点个数 .由x2x2(x 1)e2( x 2x 2)eg( x) g ( x)，可得 ，易知 2x3x2 x(x 2x 2)e 0 恒成立，所以当 x 0时， g (x) 0 ， g( x) 单调递减；当 x 0时， g (x) 0， g(x) 单调递增，又易知当 x 0时， g( x) 0恒成立，且 g (1) 0 ，所以当 k 0时，直线 y k 与函数 g( x) 的图象有且只有一个交点，即关于 x 的方程22 f (x) kx 0有且只有一个实数根 .73设函数 .（1）讨论函数 的单调性；（2）若 ，且 在区间 上恒成立，求 的取值范围 .【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，当 时， ，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；当