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1、的零点个数，并说明理由；)x(g-)x(f=)x(x。 （）求函数h+x=)x(x3，g=)x(例1（2011 湖南理22） 已知函数f M. 解（）：，都有an*N，证明：存在常数M，使得对于任意的n)an(g=)1+an(，f)0a(a=满足a1)*Nn(an（）设数列的一个零点，)x(0为h=0， 则x=)0(，h)+0,知x+x-x3=)x(g-)x(f=)x(由h 0至少有两个零点。 解法1：=内有零点， 因此x)1,2(在)x(则h-6=)2(0，h2)x (2-1-3x=)x(h1-2x2，21-1-3x=)x(j记1-2x+6x=)x(j2，则31+6x=)x(j时，)+0,(

2、32。 当x-214x0，-4x内至多只有一个零点。)+0,(在)x(j上单调递增， 则)+0,(在)x(j因此 内有且只有一个零点。)+0,(在)x(j所以33内有零点， ,1在)x(j0，则)1(j又因为 0；=)x1(j)x(j时，)+x1,(当x单调递增，)x(时，h)+x1,(内无零点； 当x0,x1(在x)x(0，则h=)0(而h内至多只有一个零点；)+x1,(在)x(则h有且只有两个零点。 解法2：)x(内至多只有一个零点。 综上所述，h)+0,(在x)x(从而h， )x2-1-xx=2x-1(3+x-x=)x(h13-2x1-x2-1-x=)x(j2记。+2x=)x(j2，则内

3、至多只有一个零点。)+0,(在)x(j上单调递增， 则)+0,(在)x(j0， 因此)x(j时，)+0,(当x 有且只有两个零点。 解（II）：)x(内也至多只有一个零点， 综上所述，h)+0,(在)x(因此h3x0。+x0=的正零点为x0，即x0)x(记hx0，x0， 3因此a2=x0+x03x1+x1=x0。 而x2a，即a1=x0时，由a1（1）当ax0。由此猜测：an下面用数学归纳法证明x0显然成立；1时，a1=当n1时，由+k=x0成立， 则当n时，有ak)1k(k=假设当nx03=+x03+ak=1+akx0，1+知akx0成立。1+1时，ak+k=因此，当nx0成立。，an*N故对任意的nx0时，（2）当a上单调递增。)+x0,(在)x(由（1）知，ha，a+a=3a1+a1=3a。 3从而a2+a，即a)x0(h)x(则ha。a，由此猜测：an即a2下面用数学归纳法证明：a显然成立；1时，a1=当na成立，时，有ak)1k(k=假设当n1时，由+k=则当na3+a3+ak=1+aka，1+知aka成立。1+1时，ak+k

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