高中数学 第二章 平面向量单元质量评估 新人教A版必修4(2021年最新整理)

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2、全部内容。- 16 -第二章 平面向量(120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。如图，在四边形abcd中，下列各式中成立的是（)a。bcbd=cdb.cd+da=acc。cb+ad+ba=cdd。ab+ac=bd+dc【解析】选c。bc-bd=bc+db=dc，故a错误;cd+da=ca，故b错误；cb+ad+ba=cb+ba+ad=ca+ad=cd，故c正确；bd+dc=bcab+ac，故d错误.2。若向量a=（1,1),b=（1，-1),c=(-1，2），则c等于（）a.12a-32bb。12a+32b

3、c.32a-12bd.32a+12b【解析】选a.设c=a+b，则(1，2）=（1，1）+(1，-1）=(+,-),所以-1=+,2=-,解得=12，=32。所以c=12a-32b.3。(2015泉州高一检测）在如图所示的平面图形中，e1，e2为互相垂直的单位向量,则向量a+b-c可表示为(）a.e1-2e2b。-e1+2e2c。3e1-2e2d.3e1+2e2【解析】选a。由平面图形知a=c，所以a+b-c=a-c+b=b=-e1+2e2。4.若a=（，2),b=(3，5)，且a与b的夹角是钝角，则的取值范围是（)a。103,+b.103,+c。-,103d。-,103【解析】选a。ab=-

4、3+100，所以103.当a与b共线时，-3=25，所以=-65。此时,a与b同向,所以103。5。在abc中，d是bc的中点，ad=3，点p在ad上且满足ad=3ap，则da（pb+pc）=（）a。6b.6c。12d.12【解题指南】解答本题要注意pb+pc=2pd。【解析】选c。因为点d是bc的中点，所以pb+pc=2pd，因为ad=3，ad=3ap，所以pd=23ad=2,所以da（pb+pc)=2dapd=2|dapd|cos=232（-1)=12.【补偿训练】在菱形abcd中，若ac=2，则caab等于（）a.2b。-2c.|ab|cosad.与菱形的边长有关【解析】选b.如图，设对

5、角线ac与bd交于点o，所以ab=ao+ob.caab=ca(ao+ob）=-2+0=2.6。(2015陕西高考）对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是（)a.ab|a|bb。|ab|a|bc.（a+b）2=a+b|2d.(a+b）(a-b)=a2b2【解析】选b.由，因为-1cos1，所以|ab|ab恒成立;由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得，故b选项不成立；根据向量数量积的运算律c，d选项恒成立。7。已知三个力f1=(-2，1)，f2=（3,2）,f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于（)a。(-1,-2）b。(1,-2）c。

6、（-1，2）d。(1，2）【解析】选d。根据力的平衡原理有f1+f2+f3+f4=0，所以f4=-（f1+f2+f3）=（1，2).8。设点a（2，0)，b（4，2)，若点p在直线ab上，且|ab=2ap，则点p的坐标为(）a。(3，1)b。(1，-1)c.（3，1)或（1，1)d.无数多个【解析】选c.设p（x，y),由|ab|=2ap得ab=2ap，或ab=2ap，ab=(2，2)，ap=（x2,y)，即（2，2）=2(x2，y），所以x=3，y=1，即p（3，1），（2，2）=2（x-2，y),所以x=1,y=-1，即p（1，-1），【误区警示】解答本题容易由|ab|=2ap，推出ab=

7、2ap漏掉ab=-2ap的情况，导致错误.9。向量ba=（4，3),向量bc=（2，4),则abc的形状为（)a.等腰非直角三角形b.等边三角形c。直角非等腰三角形d。等腰直角三角形【解析】选c.因为ba=（4，3)，bc=(2，-4），所以ac=bc-ba=(2,-1）,所以cacb=（2，1）(2,4)=0，所以c=90，且ca|=5，|cb=25,ca|cb.所以abc是直角非等腰三角形。10。（2015抚顺高一检测）已知平面向量a=（1,2），b=(2,1)，c=(-4,2),则下列结论中错误的是()a。向量c与向量b共线b.若c=1a+2b（1，2r），则1=0，2=-2c.对同一平

8、面内任意向量d,都存在实数k1，k2，使得d=k1b+k2cd.向量a在向量b方向上的投影为0【解析】选c.因为c=2b，所以向量c与向量b共线，所以选项a正确;由c=1a+2b可知，-4=1+22,-2=-21+2,解得1=0,2=-2,所以选项b正确；向量c与向量b共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，所以选项c错误;ab=0，所以ab，夹角是90,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos90=0.【补偿训练】(2015岳阳高一检测月考)设向量a=（1,0），b=12,12，则下列结论中正确的是（)a.|a|=|bb.ab=22c.a-b与b垂直

9、d。ab【解析】选c.因为|a|=1，|b|=22，ab=12,所以a，b错；因为112-0120，所以ab不成立；因为（a-b)b=12,-1212,12=14-14=0，所以ab与b垂直，c正确.11。若同一平面内向量a,b，c两两所成的角相等，且|a=1，|b=1，|c|=3,则|a+b+c等于()a.2b.5c.2或5d。2或5【解析】选c。因为同一平面内向量a,b，c两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120时，a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+9-13-3=4,即|a+b+c|=2,当三个向量所成的角都是0时，a+b+c|=1+1+3=5，故

10、a+b+c|=2或5.12.(2015泰安高一检测）在abc中,p是bc边的中点，若|abac+bc|pa+ |acpb=0，则abc的形状是()a。等边三角形b.直角三角形c。等腰直角三角形d。等腰三角形，但不一定是等边三角形【解析】选a.因为pa=ap，pb=ab-ap且ab|ac-bc|pa+acpb=0，所以|abacbcap+|ac（abap）=0，即|abac+|acab-（|bc|+|ac）ap=0因为p是bc边中点,所以ap=12（ab+ac)，所以abac+acab（|bc+ac）12(ab+ac)=0，所以ab|12（|bc|+ac|）=0,且ac|-12（|bc|+ac）

11、=0，所以|ab|=|bc|=|ac，所以abc是等边三角形.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.向量a,b,c在单位正方形网格中的位置如图所示，则a(b+c）=_。【解析】如图建立平面直角坐标系，则a=(1，3)，b=(3,1）-(1，1）=（2，2），c=（3,2）(5，-1）=（-2,3），所以b+c=（0,1)，所以a(b+c)=(1，3)（0,1）=3.答案：3【补偿训练】 (2014石家庄高一检测)向量a，b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=a+b（，r）,则+=(）a。-72b.52c。-92d.52【解析】选b。选择单位正交

12、基底i，j,如图所示，则a=i+j，b=6i+2j,c=i-3j，由c=a+b得i3j=(-i+j）+(6i+2j),即-i-3j=（-+6）i+(+2）j，所以-+6=-1,+2=-3,解得=-2,=-12,所以+=52.14.(2015忻州高一检测）已知m，n是夹角为120的单位向量，向量a=tm+（1t）n，若na，则实数t=_。【解析】因为m，n是夹角为120的单位向量，向量a=tm+（1-t)n,na，所以na=ntm+（1-t）n=tmn+(1-t）n2=tcos120+1-t=1-32t=0，所以t=23。答案:2315.(2015福州高一检测）已知向量a与向量b的夹角为120，

13、若(a+b）（a2b）且a=2，则b在a上的投影为_.【解析】ab=|a|bcos120=b|,因为(a+b)(a-2b），所以(a+b）（a2b）=0，所以2b2-b|-4=0，所以b=33+14，所以b在a上的投影为=33+18。答案:33+1816.如图，abc中，ad=2db，ae=12ec,be与cd相交于点p，若ap=xab+yac（x,yr)，则x+y=_.【解析】由题可知ap=ad+dp=ad+dc=ad+(bc-bd)=23ab+(acab13ba)=23-23ab+ac，又ap=ae+ep=ae+eb=ae+（cbce）=13ac+ab-ac-23ca=ab+13-13ac

14、,所以可得23(1-)=,13(1-)=,解得=17，故ap=47ab+17ac，所以x+y=57.答案：57【补偿训练】如图所示，半圆的直径ab=2，o为圆心，c是半圆上不同于a，b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则（pa+pb）pc的最小值是_。【解析】因为点o是a，b的中点,所以pa+pb=2po,设|pc|=x,则|po|=1x（0x1）.所以（pa+pb）pc=2popc=2x（1-x)=2x-12212。所以当x=12时,(pa+pb）pc取到最小值-12.答案:-12三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10分)已知|a

15、|=4，b|=3，（2a3b）(2a+b)=61.(1）求a与b的夹角.(2)求|a+b和|ab|。【解析】(1)因为(2a3b）（2a+b)=61，所以4a24ab3b2=61，即644ab-27=61。所以ab=6。所以cos=-643=-12,所以=120。(2)|a+b=16+2(-6)+9=13，a-b=16-2(-6)+9=37。18。(12分）(2015温州高一检测)已知o，a，b是平面上不共线的三点，直线ab上有一点c，满足2ac+cb=0，(1）用oa,ob表示oc。(2)若点d是ob的中点，证明四边形ocad是梯形.【解析】(1）因为2ac+cb=0，所以2（ocoa）+（

16、ob-oc）=0,2oc-2oa+oboc=0，所以oc=2oa-ob.(2)如图,da=do+oa=-12ob+oa=12(2oaob）。故da=12oc.即daoc，且daoc，故四边形ocad为梯形.【拓展延伸】利用基向量方法解决平面几何问题选择已知向量或基向量的原则(1)不共线.(2）基向量的模最好是确定的.（3）基向量的夹角最好是确定的。(4）尽量使基向量和所涉及的向量共线或构成三角形或平行四边形.【补偿训练】（2015皖南八校联考)如图,aob=3，动点a1,a2与b1,b2分别在射线oa，ob上，且线段a1a2的长为1，线段b1b2的长为2,点m,n分别是线段a1b1，a2b2的

17、中点.(1）用向量a1a2与b1b2表示向量mn。(2)求向量mn的模.【解析】(1)mn=ma1+a1a2+a2n,mn=mb1+b1b2+b2n,两式相加，并注意到点m，n分别是线段a1b1,a2b2的中点，得mn=12(a1a2+b1b2)。（2)由已知可得向量a1a2与b1b2的模分别为1与2，夹角为3,所以a1a2b1b2=1,由mn=12（a1a2+b1b2）得,mn=14(a1a2+b1b2)2=12a1a22+b1b22+2a1a2b1b2=72.19。（12分)已知a,b，c在同一平面内，且a=(1，2).(1)若|c|=25，且ca,求c.(2）若|b|=52，且(a+2b

18、）（2a-b)，求a与b的夹角。【解析】（1）因为ca,所以设c=a，则c=（，2)。又c=25,所以=2，所以c=(2，4）或(2,-4）。（2)因为（a+2b）(2ab）,所以(a+2b)（2ab）=0。因为a=5，|b=52，所以ab=52。设a与b的夹角为,cos=1，所以=180。20。（12分）已知正方形abcd，e，f分别是cd，ad的中点，be，cf交于点p.求证：（1)becf。(2）ap=ab.【证明】如图建立直角坐标系xoy，其中a为原点，不妨设ab=2，则a（0，0),b(2，0)，c（2，2），e(1，2），f（0，1)。（1）be=oe-ob=（1，2)-（2，0）

19、=（-1，2）,cf=of-oc=（0，1)-(2,2)=（2，-1)，因为becf=1（-2）+2（-1)=0，所以becf，即becf.(2)设p（x，y)，则fp=（x，y1），cf=(-2，1），因为fpcf，所以-x=2（y1）,即x=2y-2。同理由bpbe，得y=-2x+4,代入x=2y-2.解得x=65，所以y=85，即p65,85.所以ap2=652+852=4=ab2，所以ap=ab，即ap=ab.21.（12分）如图，ab=(6,1）,bc=(x，y)，cd=(-2,-3）.（1）若bcda，求x与y之间的关系式。（2）若在(1）的条件下，又有acbd，求x，y的值及四边形abcd的面积.【解析】（1)因为ad=ab+bc+cd=（6,1）+(x，y）+（-2,3）=(x+4,y2),所以da=-ad=（-x4，2-y）.又因为bcda，bc=(x，y)，所以x（2-y)y(-x4)=0，即x+2y=0.(2）因为ac=ab+bc=(6，1）+（x，y）=(x+6，y+1)，bd=bc+cd=（x，y）+（2,3）=(x-2，y3)，且acbd,所以acbd=0,即(x+6）(x-2）+(y+1)(