工程力学简谐荷载下斜拉索的超谐波共振分析

1、 毕 业 设 计（ 论 文 ）题目简谐荷载下斜拉索的超谐波共振分析作者 学院土木工程学院专业工程力学学号 指导教师 二一五 年 五 月 廿七 日湖 南 科 技 大 学毕业设计（论文）任务书 土木工程学院 院 工程力学 系（教研室）系（教研室）主任: （签名） 年 月 日学生姓名: 学号: 专业: 工程力学 1 设计（论文）题目及专题： 简谐荷载作用下斜拉索的3次超谐波共振分析2 学生设计（论文）时间：自 2014 年 12 月 30 日开始至 2015 年 5 月 30 日止3 设计（论文）所用资源和参考资料：相关专业的教材和专著；中文专业期刊上的相关论文；网上电子资源，例如外文资源库 Spr

2、ingerLink全文数据库。4 设计（论文）应完成的主要内容：1)查阅非线性振动理论中摄动法的相关文献，通过毕业论文的整个过程学会获取文献与追踪文献；2)应用文献中的摄动法求解简谐荷载作用下斜拉索的3次超谐波共振的近似周期解与平均化方程；3)算例分析，根据具体参数进行算例分析、讨论，得出论文的主要结论。 5 提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求：1）毕业论文要求在5月30日以前间完成并提交； 2）按照学校规定撰写毕业论文，包括论文总体格式、字体与字体大小、参考文献的书写格式、论文装订格式等。6 发题时间： 2014 年 12 月 30 日指导教师： （签名）学 生： （签名）

3、湖 南 科 技 大 学毕业设计（论文）指导人评语指导人： （签名）年 月 日湖 南 科 技 大 学毕业设计（论文）评阅人评语评阅人： （签名）年 月 日湖 南 科 技 大 学毕业设计（论文）答辩记录日期： 学生： 学号： 班级： 题目： 提交毕业设计（论文）答辩委员会下列材料：1 设计（论文）说明书共页2 设计（论文）图 纸共页3 指导人、评阅人评语共页毕业设计（论文）答辩委员会评语：答辩委员会主任： （签名）委员： （签名）（签名）（签名）（签名） 成绩： 摘 要采用哈密顿变分原理，根据拟静态假设，建立斜拉索面内非线性运动方程，同时采用Galerkin方法对斜拉索面内非线性运动微分方程进行离

4、散，利用多尺度法分别对所得到的方程进行摄动分析，以引入新的时间尺度，将其代入非线性运动方程中消去久期项，设立新的方程，利用欧拉公式化简再经过分离实部虚部求解在稳态运动下方程的解，进而得到的斜拉索超谐波共振响应前三阶模态的的近似解。最后，利用Matlab和Mathmatic对近似解进行数值计算，得到斜拉索面内非线性运动的相图曲线、时程曲线等并对其进行分析。关键词：斜拉索；多尺度法； 的超谐波共振；幅频响应曲线；时程响应曲线ABSTRACTBy using the Hamiltons variational principle, according to the quasi static assu

5、mption, the establishment of cable surface in nonlinear equations of motion. At the same time, the Galerkin method of cable plane nonlinear motion differential equations are discretized, respectively of the obtained equation perturbation analysis using the method of multiple scales, by introducing a

6、 new time scale will be substituted into the nonlinear equations of motion for the elimination of secular terms, the establishment of the new equation and Eulers formula was used to simplify again after separation real part of the imaginary part of the solution in steady motion equation solution, a

7、cable and the super harmonic resonance response an approximate solution for the third order modes. At last, the phase diagram curves and time history curves of the nonlinear motion of the cable plane are analyzed by using MATLAB and Mathmatic.Keywords: suspension cable;Multi-scale method;The super h

8、armonic resonance;The amplitude-frequency response curve;Time history response curve目 录第一章 前 言1第二章 斜拉索的运动微分方程32.1 数学模型32.2 离散化方程6第三章 方程求解83.1 多尺度法83.2 代入方程求方程的通解93.3在稳态条件下求解方程123. 4得到方程的近似解12第四章 数值计算分析134.1 基本数据134.2 幅频响应曲线144.3 时程曲线和相图曲线16第五章 结论19参 考 文 献20致 谢21第一章 前 言本文对简谐荷载作用下斜拉索面内单自由度非线性超谐波共振进行了研

9、究，利用哈密顿变分原理得到斜拉索面内单自由度位移振动微分方程，并采用多尺度法进行求解计算，通过数值分析，得到了斜拉索非线性超谐波共振下的多组曲线，包括相图，时程曲线，频率响应曲线等，在此基础上讨论简谐荷载下斜拉索超谐波共振振动的机制，利用这些图像数据相互补充说明，证明了本文所采用数据的合理性和精确性，并在此基础上得出相应结论。近年来，科学技术的进步以及实际施工（斜拉桥方面）的需要，促进了对斜拉索这种大幅振动的一系列实验和理论的研究，吴晓1在斜拉索非线性振动固有特性方面做了细致的研究，将斜拉索静平衡时索曲线纳入考虑范围,并在此基础上推导斜拉桥索大幅振动的非线性动力方程 ,利用傅立叶级数法研究与求

10、解了斜拉索非线性运动的固有振动方程;王连华2研究了斜拉索倾斜角对拉索周期运动的影响。对拉索位移离散空间动力学模型进行过深入研究，利用打靶法研究拉索的空间运动，探讨斜拉索在支撑运动作用下斜拉索大幅运动的原因，与此同时，在其论文中得出给出了相应结论，倍周期失稳和1：l 内共振强烈激发的模态非线性作用可能导致拉索的非平面运动。此外，倾角对斜拉索大幅振动有较大影响，小倾角斜拉索，竖向运动的惯性力是引起斜拉索大幅振动的主要因素；相反倾斜角较大时，拉索的大幅振动受轴向运动惯性力导致的参数激励控制。刘圣波3建立了拉索面内非线性振动模型，在充分考虑斜拉索重力现象分力垂度曲线的基础上，同时承受塔梁端部激励作用，

11、并对其进行了分析研究。讨论了影响斜拉索非线性振动的诸多因素，其中主要包括初始拉力、激励幅值，并与按传统的结果进行了对比；熊蓉4在名为斜拉索非线性振动分析的论文中分析了斜拉索非线性振动的影响因素，讨论了非线性的振动机理，并且探讨了什么影响了斜拉索非线性振动，怎样影响的振动，做出了相当有意义的总结；袁从森5对斜拉索振动进行了研究，讨论了考虑索力变化对斜拉索振动的影响，解决了考虑弦向分布的重力分量时，计算以往计算精度不足问题；张剑6在九江长江公路大桥斜拉索振动特性研究中，基于实际的条件上，得出这样的结论：阻尼比是否合适是是否能避免斜拉索在超谐波共振区产生大幅振动的关键因素，虽然此项研究得到的各斜拉索

12、内共振和参数共振的共振区是基于九江长江大桥主梁形成的端部位移，但任具有一定普遍性，具有非凡意义；彭然7研究了桥面激励下斜拉索非线性耦合振动，他所建立的桥索塔振动模型模拟了桥面激励下斜拉索非线性振动，研究斜拉索在桥面激励下的非线性振动特性，采用伽辽金法离散控制方程，将理想条件下的系统频率比、桥面激励幅值、桥塔初始扰动、拉索初始索力、倾角等因素纳入考虑范围，探索它们对斜拉索面内振动的影响，在考虑阻尼的非理想条件下研究拉索面内振动特性；基于对斜拉桥全桥前 30阶振动频率与全桥各拉索自振基频进行匹配的数据基础上，对可能发生共振的拉索及系统的振动特性进行分析。相应的，在国外，也有大量学者对斜拉索非线性做

13、过大量研究，当然，由于斜拉索和斜拉索有很多的相似性，国内外对斜拉索的研究也从另一方面促进了斜拉索的发展，在此不一一列出。第二章 斜拉索的运动微分方程2.1 数学模型建立如图坐标系，分为直角坐标系，曲坐标系，分别用和来表示，在这里我们可以把弹性斜拉索的变形分多个阶段进行描述，如下：(1) 自然无限伸长位置；(2)在重力作用下初始形变位置；(3)在外荷载和重力作用下的动变形位置。在计算过程中，我们有以下基本假定，即忽略斜拉索刚抗弯抗扭及抗剪刚度，同时仅考虑斜拉索的轴向刚度；计算的后面部分不考虑斜拉索的面外运动，只考虑面内运动；不考虑斜拉索材料本身的非线性。斜拉索的振动模型如下：图2.1斜拉索的振动

14、模型根据图像，我们的描述对象为质点P,其两次位移分别为初始变形和动变形，于是我们有动位移：由拉格朗日应变:将式（2.1）代入（2.2）有：其中是拉格朗日初始应变，是动应变。同时根据由哈密顿原理其中，、分别为动能、势能，为由重力、外力阻尼所做的功。并有因为，有根据斜拉索的静力平衡方程有：将（2.9）、（2.10）、（2.11）和（2.12）式代入（2.5），可以得到不考虑弯曲刚度的斜拉索非线性方程： 由于表述的习惯，经常的，用表示，用，用替换，用替换。同时，假定斜拉索的初始重力平衡曲线是以d为垂度，以方程为的抛物线。同时有:，H为斜拉索的初始弦向拉力，。忽略高阶小量后，式（2.10）成为：在我们

15、的计算中，由于不考虑面外运动，因此，上式只考虑前面两个方程，从式（2.14）的第一式考虑初始条件有：将式(2.15)式代入（2.14）式中的第二式有此方程即斜拉索振动微分方程。 以上推导过程中，参数分别表示斜拉索弹性模量，截面面积，单位长度质量，曲线长度，初始切向拉力。2.2 离散化方程B静态构形动态构形水平线重力加速度XYq0Af(x,t)Lu(x,t)v(x,t)图2.2 斜拉索的构型及特性方程（2.16）可以表示为 (2.17)外激励，其中是外激励的频率，而是外激励分布函数。将简谐荷载下斜拉索超谐波共振微分方程无量纲化，其参量分别为(b为垂度)：经过无量纲化，方程成为以下形式： (2.1

16、8)注意，式中无量纲化后的字母上标由于书写的方便性已经省略。接下来分离变量，假设无量纲化后的位移 (2.19)将式(2.19)代入式(2.18)有： (2.10)式中 (2.11a) (2.11b) (2.11c)其中第三章 方程求解3.1 多尺度法考虑形式为 (3.1)的方程所描述的系统。对于超谐波共振。我们需要去指定阻、非线性以及激励的阶数来分析问题，目的使得它们同时出现在摄动方案中。如果我们设，那么非线性将产生一个正比于的O()阶的项。所以如果我们设，我们需要规定的阶数为，的阶数为，运动微分方程变为 (3.2)由于一般的系统牵涉复杂的数学运算在这里我们只考虑基本思想的简单系统，即在方程

17、(3.3)中研究斜拉索的超谐波共振 (3.4)对于超谐波的特解和齐次解在中会相互影响，因此我们引入下面定义的解谐参数我们来找(3.3)的近似解，引用多尺度法的基本思想，按照 (3.5)引进一些新的自变量，因此关于t的导数变成为关于偏导数的展开式，即 (3.6)关于t的二阶偏导数：(3.7)将(3.5) (3.6) (3.7)的结果代入(3.3)式得 (3.8)令两段，的系数分别相等得 (3.9) (3.10) (3.11)3.2 代入方程求方程的通解式(3.8)为非其次线性方程，其通解为他所对应的一个特解和他所对应得齐次方程的通解的和是一个二阶齐次微分方程它关于的特征方程求解如下: 有共轭复根

18、 所以其通解为 (3.12)其中是关于的任意函数。假定某复数使得则齐次方程的通解可以写成： (3.13)求特解 所以可以设特解 将特解代入方程可得 (3.14)解得 则特解 则通解为 (3.15)整理变化后得 (3.16)其中 将代入(3.10)得 (3.17) 其中cc指前面各项的共轭复数(3.15)的解为消去久期项后各特解的叠加，先求的特解 令 代入上式可得 (3.18)令 代入上式可得 (3.19)令 代入上式可得 (3.20)令 代入上式可得 (3.21)令 代入上式可得 (3.22)令 代入上式可得 (3.23)令 代入上式可得将各特解叠加可得(3.24)将代入（3.11）消去中的久

19、期项得 (3.25)其中 (3.26) （3.16）式中我们设 (3.27)（这里的，都是实数,且根据欧拉公式;）代入后 (3.28)令化简并将实部和虚部分开我们得到 (3.29)3.3在稳态条件下求解方程 当时得到将(3.29)两式平方后再相加可得化简得 (3.30)3. 4得到方程的近似解 所以作为一次近似解 (3.31)式中 (3.32)第四章 数值计算分析4.1 基本数据在这里，我们把研究对象取为湖南省洞庭湖大桥中的斜拉索之一作为研究对象进行数值分析。这个斜拉索的几何物理参数为：索跨： 直径：初始张力： 弹性模量：倾斜角： 单位长度质量： 重力加速度： 外部荷载振幅： 激励频率：根据资

20、料，斜拉索的阻尼由粘性阻尼和气动阻尼，其中气动阻尼由于其受风速和方向影响，难于测量，所以不考虑它，且由于此斜拉索实测十阶模态阻尼比量级小，大约，所以为方便研究，本文阻尼比取值为0.0126；同时在此说明，本文中的不稳定解不给出。与此同时王连华博士也曾测试与计算过这座桥的自振频率(其结果是无量纲化后的结果)，如下表所示：表4.1 斜拉索面内模态固有频率（摘自王连华博士的论文）面内模态摘录论文Irvine理论实测值本文(无量纲化前数据)11.01571.01571.07Pi22.02292.02292.142Pi33.03463.03463203Pi44.04594.04594.234Pi无量纲化

21、后，本文各阶自振频率数值分别为1、2、3、4，可以看出，本文所用数据和理论计算出的数据是基本吻合的，而且与实测数据极为接近，同时，本文只研究一阶模态，故可取固有频率值为Pi。根据第二章节的介绍及以上介绍的数据，利用Mathmatic容易计算出运动微分方程中的关键参数：二次项系数： 三次项系数：4.2 幅频响应曲线根据式(3,52)，并利用Mathmatic计算数据后，通过软件Oringin画图, 在这个频率响应曲线中，我们可以明显的看到，简谐荷载下斜拉索超谐波共振表现出硬弹簧性质，曲线向右弯曲，最终两条曲线会趋于一致。图4.1超谐波共振幅频响应曲线（k=0.001） 图4.2超谐波共振幅频响应

22、曲线（k=0.0008）图4.3超谐波共振幅频响应曲线（k=0.002）下面两幅图k的值依次是0.0008和0.002这两幅图是改变k的大小后得出的图，可以看出，外激励幅值并未改变其模态响应曲线的外形，所以外激励并非引起非线性的因素。与此同时，值得注意的是，外激励幅值却在一定程度上改变了调谐参数和振幅的数值关系，具体表现为：随着k值得不断增大，左右两条曲线会在越来越远的地方交汇，偏转程度也有着一定程度的减缓，从而使得图像的偏转越来越集中调谐参数趋于零的区域，图像的跳跃显然在逐渐增加。所以，外激励幅值虽然不引起非线性，但外激励幅值确实影响非线性因素的重要因素。4.3 时程曲线和相图曲线我们可以通

23、过Matlab轻松获得斜拉索面内单自由度的时程曲线和相图曲线，它们分别代表时间位移关系和速度位移曲线。图4.4超谐波共振时程响应曲线（k=0.005）图4.5超谐波共振时程响应曲线（k=0.002）图4.6超谐波共振时程响应曲线（k=0.001）图4.7超谐波共振时程响应曲线（k=0.003）以上四幅图的k值分别是0.005,0.002,0.001,0.003，从这连续的四幅图中可以看出外激励幅值对斜拉索大幅振动的影响。从时程曲线看，尽管外激励幅值不断变化，振动趋向稳定的时间基本保持不变，或者说，变化幅度小，只是稳定阶段的振幅大小随着外激励的增加而增加；然而不稳定阶段的变化却很明显，随着外激励

24、幅值的逐渐增大，不稳定阶段的振幅颠簸程度逐渐趋于缓和。从相图曲线看，变化也很明显，当外激励幅值上升时，相图曲线的收敛趋于逐渐外延，这是和时程曲线一致的，说明稳定阶段振幅逐渐增大了；同时曲线的外围逐渐紧凑，而内部逐渐变得系数，成向外扩散的环状，而且环形间距随着外激励幅值大而增大，这就表示，图像的收敛速度随着外激励幅值增大不断上升，这就给时程曲线做了个补充说明。第五章 结论本文利用哈密顿变分原理，引入拟静态假设，建立了斜拉索面内振动微分方程接着利用Galertkin法对其进行离散；然后，利用多尺度法计算第一阶模态超谐波共振响应的近似解以及图像，通过数学分析和所对应的图像观察，通过计算分析可以到得出引起非线性振动的原因不是外激励荷载，调谐参数可以在一定的范围内对斜拉索的超谐波共振产生影响，其振动过程可以分为不稳定阶段和稳定阶段，而且外激励越大到达稳定阶段的时间就越长，在荷载作用下斜拉索的超谐波共振的响应振幅在一定的范围内不会因为初始条件的不同而发生