线性代数教学（清华大学）向量与方程组综合例题

1、1,第十七讲 向量与方程组综合例题,例1 由第14讲定理2: 向量组 1, 2, n 可由向量组 1, 2, , n 线性表出 存在 n 阶方阵 C 使得 A = BC, 其中 A = (1, 2, n), B = (1, 2, n) . (1) 如果 1, 2, n 线性无关, 则 1, 2, n 也线性无关且 C 必然可逆. 证明 由 n = r(A) r(B), r(C) n 可知 r(B) = r(C) = n C 可 逆且 1, 2, n 也线性无关.,(2) 如果向量组 1, 2, n 线性无关, 那么 1, 2, n 线性 无关 C 可逆 |C| 0 证明 ) 如果 1, 2,

2、n 线性无关, 由(1)可知 C 可逆. ) 如果 C 可逆, 由 B = AC-1 得到两个向量组等价, 故 r(A) = n, 所以 1, 2, n 线性无关.,2,例2 设 1, 2, n 线性无关, 讨论向量组 1+2, 2+3,n+1 的线性相关性. 解 因为 1, 2, n 线性无关, 且,由例1(2)可知向量组 1+2, 2+3, n+1 线性无关 C 可逆 |C| 0, 这里,n 为奇数.,也可用待定系数法讨论 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1) = 0 有非零解的情况, 最后也是化为系数矩阵 C 的讨论.,3,例3 设有两个秩为 r 的向量组,则( ). (A)

3、向量组 A 和 B 等价；,(B) 若 s = t = r, 则向量组 A 和 B 等价；,(D) 若向量组 A 可由 B 线性表出, 则向量组 A 和 B 等价.,4,例4 设 A 是 mn 矩阵, 且 m n, 则下列结论中成立的是 ( ) (A) AX = O 没有非零解； (B) AX = O 必有非零解； (C) AX = b 必有唯一解； (D) AX = b 必有无穷解； (E) AX = b 必无解.,5,例5,设有两个 n 维向量组,若 r(A1) = p, r(A) = q, 则下列条件中不能判定 A1 是 A 的极大 线性无关组的是 ( ) (1) p = q, 且向量组

4、 A1 线性无关； (2) p = q = s；,(3) s = q, 且向量组 A 和 A1 等价； (4) p = q, 且向量组 A 可由 A1 线性表出；,6,例6 设 A 是 mn 矩阵, 则下列结论中成立的是( ): (A) 若 r(A) = n, 则 AX = 0 有非零解. (B) 若 r(A) = n, 则 AX = 0 仅有零解. (C) 若 r(A) = n, 则 AX = b 无解. (D) 若 r(A) = n, 则 AX = b 有解. (E) 若 r(A) = n, 则 AX = b 有唯一解. (F) 若 r(A) = n, 则 AX = b 有无穷多解.,例7

5、 设 A 是 mn 矩阵, 则下列结论中成立的是( ): 若 AX = 0 仅有零解, 则 AX = b 有唯一解; (B) 若 AX = 0 有非零解, 则 AX = b 有无穷多解; (C) 若 AX = b 有无穷多解, 则 AX = 0 仅有零解; 若 AX = b 有无穷多解; 则 AX = 0 有非零解.,7,例8 设 A 是 mn 矩阵, 则下列结论中成立的是( ): (A) 若 r(A) = m, 则 AX = 0 有非零解. (B) 若 r(A) = m, 则 AX = 0 仅有零解. (C) 若 r(A) = m, 则 AX = b 无解. (D) 若 r(A) = m,

6、则 AX = b 有解. (E) 若 r(A) = m, 则 AX = b 有唯一解. (F) 若 r(A) = m, 则 AX = b 有无穷多解.,例9 若 A 为 mn 实矩阵, r(A) = n m, 则 ( ) 成立. (A) ATA = 0; (B) AAT 0; (C) 秩(AAT) = m ; (D) 秩(ATA) = n.,8,例10 设 n 阶方阵 A 的行列式 A 0, 记 A 的前 n1 列形 成的矩阵为 A1, A 的第 n 列为 b. 问线性方程组 A1X = b 有解否? 为什么? 答 无解, 因为 r(A1) n1, r(A1, b) = r(A) = n, 系数矩阵 与增广矩阵的秩不等. ,例11 设 A 是34矩阵, 已知 r(A) = 2, 且 X1 = ( 1, 1, 1, 1)T, X2 = ( 1,-1, -1, 1)T, X3 = (-1, -1, 1, 1)T 是非齐次线性方程组 AX = b 的三个解, 求 AX = b 的通解.,解 因为 = X1-X2= (0, 2, 2, 0)T, = X1-X3= (2, 2, 0, 0)T 是 AX = 0 的两个线性无关解, 又 4-r(A) = 2, 所以 , 是齐,次线性方程组 AX