2021届高三数学二轮复习 专题二第三讲函数与方程及函数的应用 北师大版

1、本资料为共享资料 来自网络 如有相似概不负责第三讲 函数与方程及函数的应用主干知识回扣主干网络要点强化1连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号一定改变吗？提示可能不变如f(x)(x2)2.2函数的零点与其对应方程根、对应函数图象与x轴交点有什么关系？这一关系有何作用？提示函数yf(x)有零点方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点；这一关系可以将我们要研究的不易解决的问题转化为另一易解决的问题处理，如零点问题可转化为其对应函数图象与x轴交点问题处理还可进一步推广，函数H(x)f(x)g(x)的零点，即yf(x)与yg(x)图象交点横坐标等 3二次函数、一元二次方程及一元二次不等式

2、之间的关系如何？提示(1)0f(x)ax2bxc的图象与x轴无交点ax2bxc0无实根ax2bxc0(0)的解集为(R)；(2)0f(x)ax2bxc的图象与x轴相切ax2bxc0有两个相等的实根；(3)0f(x)ax2bxc的图象与x轴有两个不同的交点ax2bxc0有两个不等的实根4函数yax(a1)，ylogax(a1)，yxn(n0)的增长速度各有什么特点？提示函数yax(a1)增长速度越来越快，ylogax(a1)增长速度越来越慢，而yxn(n0)则相对平稳高频点突破考点一 函数的零点1函数零点(方程的根)的确定问题，常见的类型有(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(

3、3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解2函数零点(方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解例1(2020天津)设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点【独立解答】解法一因为ln 10，f(1)ln 10

4、，f(e)ln e10，f(1)0，f(1)f(e)0，故yf(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解法二在同一坐标系中分别画出yx与yln x的图象如图所示由图象知零点存在，在区间(1，e)内【答案】D变式训练1(2020天津)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)【解析】f(1)213(1)30，f(0)203010.y2x、y3x均为单调增函数，f(x)在(1,0)内有一零点【答案】B考点二 函数与方程的综合应用1此类问题常与一元二次方程根的存在性及根的分布问题相结合考查，特别是求方程中含参数的取值范围问题，考查题型多为解答题

5、，难度偏大2解决此类问题主要依据判别式、对称轴、特殊点的函数值这三方面的特征，列出有关参数的不等式(或等式)，然后利用三个二次之间的关系并借助数形结合的思想解决例2 (2020广东)已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得极小值m1(m0)设f(x).(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2)k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点【独立解答】设二次函数为g(x)ax2bxc(a0)，y2axb的图象与直线y2x平行，a1.又yg(x)在x1处取得极小值m1，1，g(1)a(1)2b(1)cm1，所

6、以b2，cm.故f(x)x2.(1)已知m0，设曲线yf(x)上点P的坐标为P(x，y)，则点P到点Q(0,2)的距离为|PQ| ，当且仅当2x2x 时等号成立|PQ|的最小值为，|m|m1.当m0时，解得m1.当m0时，解得m1.故m1或m1.(2)yf(x)kx的零点，即方程(1k)x20的解，m0，(1k)x20与(k1)x22xm0有相同的解若k1，(k1)x22xm0x0，所以函数yf(x)kx有零点x.若k1，(k1)x22xm0的判别式41m(k1)若0k1，此时函数yf(x)kx有一个零点xm.若01m(k1)0，当m0，k1，或m0，k1时，方程(k1)x22xm0有两个解x

7、1，x2.此时函数yf(x)kx有两个零点x1与x2.若01m(k1)0，当m0，k1，或m0，k1时，方程(k1)x22xm0无实数解，此时函数yf(x)kx没有零点考点三 函数模型及应用解决函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础：1阅读理解，审清题意：读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题2根据所给模型，列出函数关系式：根据问题中的已知条件和数量关系建立函数关系式，在此基础

8、上将实际问题转化为函数问题3利用数学方法将得到的常规函数(即数学模型)予以解答，求得结果4将所得结果转译成具体问题的解答例3 ( 12分)(2020枣庄模拟)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7 x，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量(1)若年销售量增加的比例为0.4 x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？(2)年销售量关于

9、x的函数为y3 240(x22x)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？【标准解答】(1)由题意得：上年度的利润为(1310)5 00015 000(万元)；本年度每辆车的投入成本为10(1x)万元；本年度每辆车的出厂价为13(10.7x)万元；本年度年销售量为5 000(10.4x)辆(2分)因此本年度的利润为y13(10.7x)10(1x)5 000(10.4x)(30.9x)5 000(10.4x)1 800x21 500x15 000(0x1)(3分)由1 800x21 500x15 00015 000，解得0x.所以，为使本年度的年利润比上年度有所增加，(4分)则0x

10、.(5分)(2)本年度的利润为f(x)13(10.7x)10(1x)3 2403 240(0.9x34.8x24.5x5)(7分)则3 240(2.7x29.6x4.5)972(9x5)(x3) 令0，解得x或x3(舍去)(9分)当x时，f(x)0，f(x)是增函数；当x时，f(x)0，f(x)是减函数；(10分)当x时，f(x)取得最大值，f(x)max20 000.(11分)所以当x时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元(12分)变式训练2(2020北京丰台模拟)某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的奖励公式为f(n)k(n)(n10)，n10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学