导数的解题技巧

1、专题三导数的解题技巧第_课时共_4课【考点聚焦】1了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一 点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求 某些简单函数的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.【命题趋向】导数命题趋势：综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：(1)多项式求导(结合不等式求参数

2、取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题(2)求极值，函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合.分值在12-17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.【重点难点热点】考点1：导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念1 3【问题1】(2007年北京卷)f(X)是f(x)X32X 1的导函数，贝0 (-1)的值是_考查目的本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力2 2解答过程,f(x)=x2+2; f (1) = (1)+2 =3.故填3.演练例2. ( 2006年湖南卷)设函数f (x=a，集合M=x|f

3、(x) ：0,P=x| f(x) 0,若M二P,则实数a的 x 1取值范围是()A.(- g ,1)B.(0,1)C.(1,+ g) D. 1,+ g)考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力解答过程由-_- ：0” 当a1 时,1 ：x :a;当a1 时,a ：x ：1.x1综上可得MWP时，二a *1.思路:f(1)r 2xax by = f (x) = * 2xax bx乞1x 1x -1x 1在x =1处可导，则a =在x =1处可导，必连续lim f (x) = 1x 1 一I i $ f (x)二 a b例2 .已知f(x)在x=a处可导，且f (a)=b，求下列极

4、限:f(a 3h) - f (a -h)；(2)2hlim f(a h2)f(a)分析：在导数定义中，增量x的形式是多种多样，但不论厶x选择哪种形式， y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在x = a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。moH hf(a 3h) - f (a - h)lim f(a 3h) 一 f(a) f(a)- f(a-h)hmO2hmo HH h _722f (a h ) - f (a)hf(a h2)-f (a)hh 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式 转化为导数定义的结构形式

5、。例3观察(xn) = nxn , (sinx=cosx , (cosx)-sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若 f(x)为偶函数f(-x)二 f(x) 令 lim 出 x) - f (x) = f(X)Z氐x可导的偶函数的导函数是奇函数另证：f = f ( -X)= f ( X)( -X)- - f(X)可导的偶函数的导函数是奇函数考点一：考小题，重在基础.有关函数与导数的小题，其考查的重点在于基础知识，如：导数的定义、导数的几何意义、函数解析式、图像、定义域、值域、性质等仍是高考的重点例1.(福建11)如果函数y=f(x)的图象如图1,那

6、么导函数 y = f/(x)的图象可能是()解析：利用函数与导数的关系：函数递增则导数大于0,函数递减则导数小于0,从图1可以看岀，函数先递增再递减又递增再递减，故导函数的图像应该是先大于0再小于0又大于0再小于0,符合条件的只有 A答案，故选A评注：利用函数的图像求导函数的图像，应注意函数的单调性与导函数的正、负的关系。1 2例2.(湖北卷7)若f(x)x2，bln (x，2)在(-1,+ -)上是减函数，则 b的取值范围是()2A. T, ：) B. (T,二) C.(一 心，1D.(一 ，1)1 2解析：由条件，函数f ( x)x b n (x 在)-1 , +：:上是减函数，贝0 f，

7、(x ) 0,即2f(x)= -x 切对任意的x年(-1,+吒)恒成立，二b兰x(x + 2)对任意的x(-1,+旳)恒成立，x +2而x(x 2)在x(-1,+ ：)上的最小值为-1，故b_T，选C例3.(北京卷12)如图，函数f (X)的图象是折线段 ABC，其中A, B, C的坐标分别为(0,4), (2 0) (6 4)，贝U f (f (0) =4321厂/AO 124 5 6 x衍 f(1，x)-f(1).J0.X(用数字作答)解析：由图易知f(f(O)=f 4=2；严+ 4(2)lx2(2cxE6)，由导数的定义知lim f (1 x) - f-0评注：用定义解题必须准确把握导数

8、的定义f Oo)=怛 f(Xo+x)- f(Xo)，另外还注意 f，1)是先求f，(x)还是将X=1代入。1例4.(江苏卷8)直线y X - b是曲线2y = lnx x 0的一条切线，则实数 b=解析：由导数的几何意义,1工1 = x = 2，切点为2,1 n 2，把切点代入切线方程得x 2b =1 n2 -1评注：用导数的几何意义求切线方程一直是高考的热点，但难度不是很大。考点二：利用导数求函数的单调性32例5.(全国一 19).已知函数 f(x)=x ax x 1，a R .(I)讨论函数 f (X)的单调区间;(n)设函数f(x)在区间 2，-I 33 .丿内是减函数，求 a的取值范围

9、.322解析：(1) f (x)二 x ax x 1 求导：f (x)二 3x2ax 1当a2 0 - f (x)在R上递增f (x) - 0求得两根为-a - a2 33即f(x)在(亠，土琶三 上递增，在j -，土至耳 上递减,I 3丿 I 33丿1 _a + Ja2 _3再，+凶上递增3_a_Ja2 _3 W _2由(1)得*3 3，且a2 a 3解得:_a +Ja2 _3 1f (x) 0 是.33评注：利用导数处理函数的单调性，简洁明快，但要注意导数与可导函数单调性的关系,f (x)为增函数的充分不必要条件；f (X)_ 0是f (x)为增函数的必要不充分条件。考点三：利用导数求函数

10、的极值kx +1例6.(陕西卷21).已知函数f (x)2-( c 0且c = 1, k R )恰有一个极大值点和一个极小值点,X +c其中一个是X - -C .(I)求函数 f (x)的另一个极值点；(n)求函数 f (x)的极大值 M和极小值 m，并求 M -m 1时k的取值范围.解析：(I) fk(x2晳警严守，由题意知f(_c)=0,(X2+c)2(x2+c)2即得 c2k-2c-ck = 0 ,( *) * c=0, . k = 0 .2由 f (x) = 0得-kx -2x ck = 0 ,2由韦达定理知另一个极值点为X =1 (或X = C ).k2 2)由(*)式得 k，即 c

11、 =1 .c1k当 c 1 时，k 0 ；当 0 ：c ：1 时，k 1 及 k 0 ,解得 k A、2 .k-m -2(ii )当k ： -2时，f (x)在(-：-,-c)和(1, ：-)内是增函数，在(-c,1)内是减函数.f (-c)=-k22(k 2)km 二 f(1)=k 02-k2k, (k+1)2+1-m1 一-2(k 2)2k 2综上可知，所求k的取值范围为(-：，- 2)U.2=).评注：利用导数求函数的极值，先求f(x)，再令f(x) = 0求得根X0，然后检验极值点 X0左右f(x)的符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，对于含参数问题，注意分类讨论。 考点四：利用

12、导数求函数的最值例7.(江苏卷17).某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且 A,B与等距离的一点 0处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为 ykm.(I)按下列要求写岀函数关系式：设/ BAO= (rad)，将y表示成v的函数关系式;设OP = x(km)，将y表示成xx的函数关系式.(H)请你选用(I)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.AQ10解析：(I)由条件知 PQ垂直平分AB,若/ BAO书

13、(rad)，贝U OA =,故COS日 cos日10OB，又 op= 10 -10tan j 10 10ta v，cos日10 10所以 y =OA OB OP10 -10 tan v，cos日 cos日20 -10sin v.二所求函数关系式为 y10 I 0 :cos日I4丿若 OP=x(km)，贝U 0Q= 10 x，所以 OA =OB0 -x $ +102 = Jx2 -20x + 200所求函数关系式为 y = x 2、. x2 -20x 200 0 :x ： 10(H)选择函数模型，y二-10cosrLcosr - 20-10sin：- sin 10 2sin)-1cos2 rco

14、s2 d令y =0得sin - = 1，因为20肓，所以二=6，当0,-I 6丿，y ： 0 ，(31 JIy是二的减函数；当-6；时，y0，y是r的增函数，所以当亠 Ji6 时，ymin=10 10 3这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离 AB3 km 处。32x例4.( 1)求曲线目二一2在点(1，1)处的切线方程;x +1一t -12(2)运动曲线方程为 S 2t2，求t=3时的速度。t2分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在x0处的导数就是曲线y=f(x)在点, 2解：( 1) y/X 小2-2X/ 2 2(x 1)z 2 2 ，(X 1)22k=0ylxj

15、0，即曲线在点（1，1）处的切线斜率-42Xy=1因此曲线y二二 在（1, 1）处的切线方程为x +1(2) S=(2t2) J 2t(t -1)t44tt2r4t12空-92727求下列函数单调区间(1) y-2x 5X2 -1(3) ykix(k.0)(4)y 二 2x2 - In :解：（1）x -2=(3x 2)(x -1) x (-:-2,)(1,：)时 y 03x V，1)0).2、Jx x+a当 a 0, x 0 时 f (x)0 ：= x2(2a - 4)x a20.(i) 当 a 1 时，对所有 x 0，有 x2(2a -4) a20.即f (x) O 此时f (x)在(0：

16、)内单调递增.(ii) 当 a =1 时，对 x = 1，有 x2 (24)x a20，即f (x)0,此时f (x)在(0，1)内单调递增，又知函数f (x)在x=1处连续，因此，函数f (x)在(o, + ：)内单调递增(iii )当 0 ： a : 1 时，令 f(X)0，即 x2(2a 4)x a20.解得 x : 2a2、1a，或x 2a 2.1a .因此，函数f(x)在区间(0,2 -a -2 .1-a)内单调递增，在区间 (2 -a - 2 J -a,=：)内也单调递增.令 f (x) ： 0,即 x2(2a 4)x a2 ： 0，解得 2 - a - 2.1 - a ： x ：

17、 2 - a 2.1 - a .因此，函数f (x)在区间(2 a-2. 1 a,2 a 2、. 1 _a)内单调递减.考点2:曲线的切线(1) 关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P( x,y )的切线，即求岀函数 y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率(2) 关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线1 2【问题2】(1) (2006湖南卷)曲线y 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积x 是.1 2 、一 、解析：曲线y和y=x2在它们的交点坐标是(1 , 1)，两条切线方程分别是y= x+2和y=2x 1，它们与x轴

18、x3所围成的三角形的面积是41 3 1 2(2)( 2007年湖南文)已知函数 f(x) x ax bx在区间-1,1)，(1,3内各有一个极值点.3 2(I) 求a2 -4b的最大值；(II) 当a2-4b =8时，设函数y=f(x)在点A(1, f (1)处的切线为I，若I在点A处穿过函数y=f(x)的 图象(即动点在点 A附近沿曲线y = f (x)运动，经过点 A时，从I的一侧进入另一侧)，求函数 f (x)的表 达式.思路启迪：用求导来求得切线斜率1 3 1 2解答过程：(I)因为函数f(x) x ax bx在区间-1,1)， (1,3内分别有一个极值点，所以322f(x)=x ax

19、 b -0 在-1,1) , (1,3内分别有一个实根，设两实根为 为，x2 (为：x2),则x2 -为=.a2 -4b，且0 ： x2 -捲 4 于是0 ：、a2 -4b 4 , 0 ： a2 -4b g(x) ( x 0). 考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解：(i)设y=f(x)与y=g(x)(x . 0)在公共点(x, y)处的切线相同.gl，x由题意(X。)= g(xo)， f(X。)= g(X。).1 22x0 2ax0 =3a In x0 b,2Xo3a22a 二x由a空得:x。x0 = a，或 x0 - -3a (舍去)

20、即有b2 22a -3a I n a5 22a -3a In a .25 22令 h(t) t -3t In t(t 0)，则 h (t) = 2t(1 3In t).于是 21当 t(1 3In t) 0，即 0 ：t : e3 时，h(t) 0 ；1当 t(1 3ln t) : 0，即 t e3 时，h (t) : 0 ./ 1、故h(t)在0, e3为增函数，在e3,为减函数,于是h(t)在(0,)的最大值为广1、h e3I j1 2 2(n)设 F (x) = f (x) - g(x) x 2ax -3a In x -b(x 0),22则 F (x) =x 2a-亘= (x-a)(x

21、3a)(x ).xx故F (x)在(0, a)为减函数，在(a, )为增函数，于是函数 F(x)在(0,0)上的最小值是 F(a) = F(x0) = f (x0)-g(x0) =0 . 故当 x 0 时，有 f (x) -g(x) 0 ,即当 x 0时，f (x) g (x)例9.已知抛物线 y =x2 -4与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为 h和J(1) 求A、B两点的坐标；(2)求直线l1与12的夹角分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。解 (1)由方程组 2 .y = x -4,丿解得 A(-2 , 0), B(3 , 5)y =x +2,(2) 由y =2

22、x，则y| = -4 , y|x = 6。设两直线的夹角为0，根据两直线的夹角公式,tanr-46丙_4)；623所以 v - arctan1023说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝 对值符号。考点3:导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特 别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题：1.求函数的解

23、析式；2.求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值(最值)；5.构造函数证明不等式。【问题3】(2006年天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(X)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A. 1个B . 2个C . 3个D .4个考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力解答过程由图象可见，在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点.故选A.演练1(江西卷)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x 1) f ：(x) ：0，则必有()A.f(0) + f(2) 2f(1) B. f(0) + f(2)

24、2f(1) C. f(0) + f(2) 2f(1) D. f(0) + f(2) 2f(1)解：依题意，当x：1时，f ：(x) 0,函数f(x)在(1,+ )上是增函数；当 x：1时，f ；(x)：0，f(x)在(一:,1)上是减函数，故f(x)当x= 1时取得最小值，即有f(0) f(1)，f(2) f(1)，故选CK演练2若f/(x)是f (x)的导数函数,y3函数K演练0f ：(x) 0的解集为(-3,1山2,3)y= fg在定0A )C. -3，山1,2)2 26求证下列不等式(1)(2)(3)证:f/(x)的图像如图所示，贝Uf (x)的图象可能是下面各图中的(D )JyA丿k

25、3义域：($.3)内可导 a 2 x 01 , , 4 8-1,U,2 3 33| | 1 4 | | 8(-c,-1U , U;,3)22 332 2xxxIn(1 x) ： x -22x兀sin xx (0 ,-2x -sin x tanx -x x2(1 x)兀(0,2)(1) f(x) =1 n(1 x) -(x2x-)2：y= f(x)的导函数为 y= f?(x)，则不等式 yab0y = f (x)Oa b xI i，其图象如图所示.记f(0)=0 f (X)二J。x (0.：) f(x) 0 恒成立In(1 x) x -2g(x)x=X 2(1 +x)-In( x) g(0) =

26、0 g(x)在(0 ,：)上x (0,：)2xxIn(1 x) 0恒成立2(1 - x) f (x)原式=叱xcosx(x - tan x)f(x)=sinx/x x (0,) cosx 0 x-tarx ：O2x (0,3)f (x) : 0Tl .(0,2 八 sin x2x令 f (x)二 tan x _ 2x sin x f (0) = 0X (0 ,) f (X) -0 (02)tan xx xsinx(3)JlK【问题4】(2007年全国1)设函数f(x)=2x3 3ax2 3bx 8c在X = 1及X = 2时取得极值.(I)求a、b的值；2(H)若对于任意的 X 0 ,，都有f

27、 (x) ：c成立，求c的取值范围.思路启迪：利用函数f (x2x3 3ax2 3bx 8c在X =1及X = 2时取得极值构造方程组求a、b的值.解答过程：(I) f (x) = 6x2 6ax 3b ,因为函数f(x)在x=1及x=2取得极值，则有 f(1)=0,f(2)=0 .6 6a 3b = 0,”即解得a = 3, b=4 .24 12a 3b =0.)由(i)可知， f (x) =2x3 -9x2 12x 8c ,f (x) 0 ； f (x) : 0 ；f (x) =6x2 -18x 12 =6(x -1)(x -2).当x (01)时，当 x (1,2)时，当 x (2,3)

28、时，f (x)0.所以，当x =1时，f(x)取得极大值f(1)=58c，又f(0) =8c ,f(3)=98c.则当0,3耐，f (x)的最大值为f (39 8c .因为对于任意的x0,31,有f (x) : c2恒成立,所以 9 8c : c2,解得 c ： 一1或c 9 , 因此c的取值范围为(，-1)U(9,：).K演练1(2006年北京卷)已知函数f (x) =ax3 bx2 cx在点X0处取得极大最值， 析问5，其导函数y=：f(x)的图象经过点(1,0) , (2,0)，如图所示求：(I) x0的值；(H) a,b,c 的值.考查目的本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区

29、间上二次函数的函数与方程的转化等基础知识的综合应用，考查了应用数形结合的数学思想分题解决问题的能力解答过程解法一：(1)由图像可知，在，1上f x 0，在1,2上f X 0(n)在题设下，0 ： x1 ： 1 ： x2 : 2 等价于 f (1) ： 0f 0x - x2 ： ： 0 得 a 0 2-b 0a - 2b 2 - b ： 0 4a -4b 2 - b 02-b 0化简得 a3b+20 4a-5b 2 0此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线:所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为:2_b =0,呛6 ,a-3b 2 = 0,4a-5b 2 = 0 B(2,2) C(4,2)

30、z在这三点的值依次为,6,8 7 M6所以z的取值范围为,17丿小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合.【问题5】(2006年山东卷股函数f(x)=ax (a+1)ln(x+1)，其中a_-1，求f(x)的单调区间.考查目的本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题O24a的能力解答过程由已知得函数f(X)的定义域为(_1,七C)，且f(x)仝7(a畠二)X +1(1 )当1兰a 0时，f (x) 0时，由 f(x)=0,解得 xaf(x)、f(x)随x的变化情况如下表0+极小值从上表可知当x(_1,丄)时，f (x) 0, g(x

31、) x.若存在 引， E b,4】使得f(d)c1成立，求a的取值范围.1 4 /考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解答过程(I) f(x) =- x2+ (a - 2)x + b a e3x, 由 f(3)=0，得 一32 + (a - 2)3 + b-a e3-3 = 0 ,即得 b = - 3-2a，23 - x则 f(x) = X + (a - 2)x - 3 - 2a - a e -=x? + (a 2)x 3 3a x = (x 3)(x + a+1)e3 x.令f(x) = 0，得X1 = 3或X2= a- 1，由于x = 3

32、是极值点，所以x+a+ 1工0，那么a工4.当 a3 = X1，贝9在区间(一X， 3) 上, f (x) 0，f (x)为增函数；在区间(一a1，+上，f (x) - 4 时，x23 = x1，贝U在区间( X， a 1)上，f (x) 0，f (x)为增函数；在区间(3,+ x) 上, f (x) 0时，f (x)在区间(0, 3) 上的单调递增，在区间(3, 4)上单调递减，那么f (x)在区间0 , 4上的值域是min(f (0) , f)，f (3),而 f (0) =-( 2a + 3) e 0 , f =a+ 6,那么f (x)在区间0 , 4上的值域是(2a+ 3) e3, a

33、 + 6.又g(X) =(a2 .空在区间0 , 4上是增函数，4且它在区间0, 4上的值域是a2 + 25 , ( a2 + 25 ) e4,44由于(a2+ 25 )-( a + 6)= a2- a+ 1 =( a ) 20,所以只须仅须442(a2+ 25 ) ( a+ 6) 0，解得 0aa,其中a是方程f(x)=x的实数根；a”1=f(an) (n :N*)； f(x)的导函数 f (x) ( 0, 1)；证明：an a； (n N*)；判断an与an+1的大小，并证明你的结论。解答：(1)证明：用数学归纳法 n=1时，ai a成立 假设n=k时，ak a成立，则n=k+1时，由于f (x)0，二f(x)在定义域内递增二 f(ajf (a)，即 ak i a n=k+1时，命题成立由知，对任意 n三N*，均an a(2)解：令 F (x) = f (x) _x，则 f (x) ： 1， F (x) ： 0 F(x)递减，- a1 a 时，F (aj ： F (a) = 0，即 f (印)：a1， a2 ： a1 猜测 an - an 1，下证之 n=1时，a1a2成立 假设n=k时，ak - ak q成立则 n=k+1 时，由于 f (x)递增， f (ak)f (ak .J，即 ak d - ak ,2 n=k+1时，命题成立，由知，对任意 n三