高中数学第二章参数方程21直线的参数方程课件北师大版选修4 4022425

1、理解教 材新知 考点一 考点二 考点三 应用创 新演练 2 直 线 和 圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程 把握热 点考向 第 二 章 2.1 直 线 的 参 数 方 程 2直线和圆锥曲线的参数方程直线和圆锥曲线的参数方程 21 直线的参数方程 自主学习 1有向线段的数量 如果 P，M 是 l 上的两点，P 到 M 的方向与直线的正 方向一致，那么 PM 取 ，否则取 我们称这个数 值为有向线段PM的数量 正值 负值 2直线参数方程的两种形式直线参数方程的两种形式 (1)经过点 P(x0，y0)、倾斜角是 的直线的参数方程为： 其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意义 是 ，

2、 可以用 来表示 (2)经过两个定点 Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中 x1x2)的直 线的参数方程为 ? ? ? ? ? xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数) 从点 P 到 M 的位移 有向线段PM 的数量 ? ? ? ? ? ? ? xx 1x2 1 ， y y1y2 1 ( 为参数，1) 其中 M(x，y)为直线上的任意一点，参数 的几何意 义是： . 当 0 时，M 为 ； 当 0. 设这个二次方程的两个实根为 t1，t2. 由根与系数的关系得：t1t22 5，t1t2 4 5， 由 M 为 AB 的中点，根据 t 的几何意义， 得|PM|t1t2 2 |1 5.

3、 (2)|AB|t2t1| ?t1t2? 24t 1t2 84 25 2 21 5 . 1在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若 涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参 数方程中参数 t 的几何意义求解，比利用直线 l 的普通 方程来解决更为方便 2在求直线 l 与曲线 C：f(x，y)0 的交点间的距离 时， 把直线 l 的参数方程 ? ? ? ? ? xx0tcos ， yy0tsin 代入 f(x， y)0， 可以得到一个关于 t 的方程 f(x0tcos ，y0tsin )0. 假设该方程的解为 t1， t2， 对应的直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，那么由参数 t

4、的几何意义可得 |AB|t1t2|. (1)弦 AB 的长|AB|t1t2|. (2)线段 AB 的中点 M 对应的参数 tt1t2 2 (解题时可 以作为基本结论使用 ) 3(江苏高考江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参 数方程为 ? ? ? ? ? ? ? x1 2 2 t， y2 2 2 t (t 为参数)，直线 l 与抛物线 y 2 4x 相交于 A，B 两点，求线段 AB的长 解：将直线 l 的参数方程 ? ? ? ? ? ? ? x1 2 2 t， y2 2 2 t (t 为参 数)代入抛物线方程 y24x， 得 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 t

5、 24 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 t ，解得 t10，t28 2. 所以 AB|t1t2|8 2. 本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运 算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲 线的参数方程交汇命题 (湖南高考 )在平面直角坐标系xOy 中，若直线l1： ? ? ? ? ? x2s1， ys (s 为参数)和直线 l2： ? ? ? ? ? xat， y2t1 (t 为参数)平行， 则常数 a 的值为_ 考题印证 命题立意命题立意 本题主要考查对参数方程的理解、两直线 的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系 确定参数值的方法 自主尝试 先

6、把两直线的参数方程化成普通方程直 线 l1：x2y10，直线 l2：2xaya0.因为两直线平 行，所以 1(a)22，故 a4，经检验，符合题意 答案 4 一、选择题一、选择题 1已知直线 l 过点 A(1,5)，倾斜角为 3，P 是 l 上一动点， 若以PAt 为参数，则直线 l 的参数方程是 ( ) A. ? ? ? ? ? x11 2t， y5 3 2 t B. ? ? ? ? ? x11 2t， y5 3 2 t C. ? ? ? ? ? x11 2t， y5 3 2 t D. ? ? ? ? ? x11 2t， y5 3 2 t 解析：解析：PAt，APt. 则参数方程为 ? ?

7、? ? ? x1?t?cos 3， y5?t?sin 3， 即 ? ? ? ? ? x11 2t， y5 3 2 t. 故选 D. 答案：D 2直线 ? ? ? ? ? x3tsin 20 ， ytcos 20 (t 为参数)的倾斜角是 ( ) A20 B70 C110 D160 解析：法一：将原方程改写成 ? ? ? ? ? x3tsin 20 ， ytcos 20 ， 消去 t，得 ytan 110 (x3)， 所以直线的倾斜角为 110 . 法二：将原参数方程化为 ? ? ? ? ? x3?t?cos 110 ， y?t?sin 110 ， 令tt，则 ? ? ? ? ? x3tcos

8、110 ， ytsin 110 ， 所以直线的倾斜角为 110 . 答案：C 3直线 ? ? ? ? ? x2 2t， y3 2t (t 为参数)上与点 P(2,3)的距离等于 2的点的坐标是 ( ) A(4,5) B(3,4) C(3,4)或(1,2) D(4,5)或(0,1) 解析：设直线上的点 Q(2 2t,3 2t)与点 P(2,3) 的距离等于2， 即 d?2 2t2? 2?3 2t3?2 2. 解得 t 2 2 . 当 t 2 2 时， ? ? ? ? ? ? ? x2 2 2 2 3， y3 2 2 2 4， Q(3,4) 当 t 2 2 时， ? ? ? ? ? ? ? x2

9、2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1， y3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2， Q(1,2) 综上，符合题意的点的坐标为 (3,4)或(1,2) 答案：C 4直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为 3，且交直线 xy20 于 点 M，则|MM0|等于 ( ) A. 31 B6( 31) C6 3 D6 31 答案：B 解析：由题意可得直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? ? x11 2t， y5 3 2 t (t 为 参数)，代入直线方程 xy20，得 11 2t? ? ? ? ? ? ? ? 5 3 2 t 2 0，解得 t6( 31) 根据参数 t 的几何意

10、义可知 |MM0|6( 31) 二、填空题 5过 P(4,0)，倾斜角为，倾斜角为 5 6 的直线的参数方程为 _ 解析：直线 l 通过 P(4,0)，倾斜角 5 6 ， 所以直线的参数方程为 ? ? ? ? ? x4tcos 5 6 ， y0tsin 5 6 ， 即 ? ? ? ? ? x4 3 2 t， y t 2. 答案： ? ? ? ? ? x4 3 2 t， y 1 2t 6若直线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x12t， y23t (t 为参数)与直线 4xky1 垂直，则常数 k_. 解析：直线 ? ? ? ? ? x12t， y23t 的斜率为 3 2， 4 k? ?

11、 ? ? ? ? 3 2 1，k6. 答案：6 7已知直线 l 的参数方程是 ? ? ? ? ? x1tsin ， y2tcos (t 为参数)，其 中角 的范围是 ? ? ? ? ? ? 2， ，则直线 l 的倾斜角是_ 解析：将原参数方程改写成 ? ? ? ? ? x1tsin ， y2tcos ， 消去参数 t， 得 y2(x1)tan ? ? ? ? ? ? 3 2 ，由 ? ? ? ? ? ? 2， 和倾斜角的范围 可知直线 l 的倾斜角为 3 2 . 答案： 3 2 8 直线 ? ? ? ? ? x21 2t， y11 2t (t 为参数)与圆 x2y 21有两个交点 A， B，若

12、点 P 的坐标为(2，1)，则|PA|PB|_. 解析：把直线的参数方程代入圆的方程， 得? ? ? ? ? 21 2t 2 ? ? ? ? ? ? 11 2t 21， 即 t26t80，解得 t12，t24， A(1,0)，B(0,1) |PA| 1212 2，|PB| 22222 2. |PA|PB| 22 24. 答案：4 三、解答题三、解答题 9已知 P 为半圆 C：x2y 21(0y1)上的点，点 A 的坐 标为(1,0)，O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 3. (1)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点 M 的极坐

13、标； (2)求直线 AM 的参数方程 解：解：(1)由已知，M 点的极角为 3，且 M 点的极径等于 3， 故点故点 M 的极坐标为 ? ? ? ? ? ? 3， 3 . (2)M 点的直角坐标为 ? ? ? ? ? ? ? ? 6， 3 6 ，A(1,0)，故直线 AM 的 参数方程为 ? ? ? ? ? x1? ? ? ? ? ? 61 t， y 3 6 t (t 为参数) 10已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 6. (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 x2y 24 相交于点 A 和点 B，求点 P 到 A， B 两点的距离之积 解：(1)因为直线 l 过 P(

14、1,1)，且倾斜角 6，所以直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? ? x1 3 2 t， y11 2t (t 为参数) (2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数 分别为 t1， t2.将直线 l的参数方程代入圆的方程 x2y24， 得 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 2 t 2 ? ? ? ? ? ? 11 2t 24， 整理，得 t2( 31)t20. 因为 t1，t2是方程 t2( 31)t20 的根， 所以 t1t22.故|PA|PB|t1t2|2. 所以点 P 到 A，B 两点的距离之积为 2. 11 已知圆锥曲线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

15、 x2cos ， y 3sin ( 是参数)和定点 A(0， 3)， F 1，F2 是圆锥曲线的左、右焦点 (1)求经过点 F 1 垂直于直线 AF 2 的直线 l 的参数方程； (2)以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，求直线 AF2的极坐标方程 解：(1)圆锥曲线 ? ? ? ? ? x2cos ， y 3sin 化为普通方程是 x2 4 y 2 3 1， 所以 F 1(1,0)，F2(1,0)，则直线 AF2 的斜率 k0 3 10 3，于是经过点 F 1 垂直于直线 AF 2 的直线 l 的斜率 k 3 3 ，直线 l 的倾斜角是30 ，所以直线l 的参数方程是 ? ? ? ? ? x1tcos30 ， y0tsin30 (t 为参数)， 即 ? ? ? ? ? x 3 2 t1， y1 2t (t 为参数) (2)法一：