2020届高考数学(理)课标版二轮复习训练习题：重难考点专题五第2讲圆锥曲线的方程与性质

1、第 2 讲圆锥曲线的方程与性质一、选择题221.(2019 湖南五市十校联考 )已知双曲线 C:?2-?3=1(m0)的离心率为 2,则 C 的焦点坐标为()A.( 2,0)B.( ,0)2C.(0,2)D.(0, 2)?232答案 A由题意知?2=2,又双曲,离心率 e= =1 + 2=1 +2=2,解得 m=1,所以 c= ?+ 3?线 C 的焦点在 x 轴上 ,所以双曲线 C 的焦点坐标为 ( 2,0),故选 A.2.(2019 河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点 (2,1),且渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 相切的双曲线的标准方程为 ()222A. 11?-11?=1B.?2-y

2、2=132222C.11?-11?=1D.11?- 11? =133答案 A设双曲线的渐近线方程为 y=kx,即 kx-y=0, 由渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 相切可得圆心 (0,2)到渐近线的距离等于半径 ,由点到直线的距离公式可得|? 0-2|解得k=3.2=1,?+122又双曲线经过点 (2,1),所以双曲线的焦点在 x 轴上 ,可设双曲线的方程为?=1(a0,b0),22?-?将(2,1)代入可得42- 12=1,由 42- 12 = 1,21122?解得 ? =3 , 故所求双曲线的标准方程为11?-?=1.故? ?211?= 3? = 11,3选 A.23.(2019 皖北

3、名校联考 ,7)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 ?4+y2 =1 相交于 A,B 两点 ,则|AB|的最大值为 ()A. 455B.4510C.8510D.855答案 B设 A,B 两点的坐标分别为 (x1 122 直线的方程为y=x+m, 由?= ?+ ?, ?2,y ),(x ,y ),l24 + ? = 1消去 y 得 5x22则1 28? 12=4(?2 -1).+8mx+4(m -1)=0,x +x =-5 ,xx5|AB|=1+ ?121+ ?(?1+ ?2) -4?1?22|x-x |=228216(?2-1)422=2 ( - 5 m) -5=-?,5 5当 m=0 时,|AB

4、|取得最大值 4510,故选 B.22? ?4.(2019 广东汕尾一模 ,11)已知双曲线 C: 2 - 2=1(a0,b0),F 是双曲线 C 的右焦点 ,A 是双? ?曲线 C 的右顶点 ,过 F 作 x 轴的垂线 ,交双曲线于 M,N 两点 .若 tanMAN=- 34 ,则双曲线 C的离心率为 ()A.3 B.2C.43 D.232tan ?答案B由题意可知 tanMAN=- 4=1- tan 2MAF,解得 tanMAF=3,2?可得 ?-?=3,即 c2+2a2-3ac=0,e2+2-3e=0,因为 e1,所以解得 e=2.故选 B.5.(2019 湖南五市十校联考 )在平面直角

5、坐标系xOy 中 ,抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为 C 上一点 ,PQ 垂直 l 于点 Q,M,N 分别为 PQ,PF 的中点 ,直线 MN 与 x 轴交于点R,若 NFR=60,则|NR|=()A.2B.3C.23D.3答案 A 如图 ,连接 MF,QF,设准线 l 与 x 轴交于点 H,y2 =4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为 C 上一点 ,|FH|=2,|PF|=|PQ|.M,N 分别为 PQ,PF 的中点 ,MN QF.PQ 垂直 l 于点 Q, PQ OR,又 NFR=60,QPF=60, QPF=60, PQF为等边三角形 ,MFPQ, F 为 HR

6、 的中点 ,|FR|=|FH|=2,|NR|=2.故选 A.6.(2019 安徽合肥模拟 )已知 A,B,C 是双曲线22?2-?2=1(a0,b0)上的三个点 ,直线 AB 经过原?点 O,AC 经过右焦点 F,若 BFAC, 且 3|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率为 ()A. 210B.25C. 310D.32答案A 如图 ,设双曲线的左焦点为 E,连接 AE,CE,BE,由题意知 |BF|=|AE|,|BE|=|AF|,四边形 AEBF 为矩形 ,令 |BF|=|AE|=m,|AF|=n,由双曲线的定义 ,得|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,在直角三角形 EAC 中,m

7、2+(3n+n)2=(3n+2a)2,将 2a=m-n 代入 ,化简 ,可得 m=3n,所以 n=a,m=3a,在直角三角形 EAF 中,m2+n2=(2c)2,即 9a2+a2=4c2,? 10可得 e= =.故选 A.?2二、填空题7.(2019 江西七校第一次联考 )点 M(2,1) 到抛物线 y=ax2 准线的距离为 2,则 a 的值为.答案14或-121解析易知 a0,抛物线方程化为标准形式为x2=1?y,因为点 M(2,1) 到抛物线的准线的? 11? 11.故 a 的值为11距离为2,所以当 a0 时 ,2=4?=1,解得 a=4;当 ab0)上的一点 ,A 为左顶点 ,F 为右

8、焦点 ,PFx 轴 ,若 tan PAF=1?2椭圆的离心率 e 为.答案12解析如图 ,不妨设点 P 在第一象限 ,因为 PF x 轴 ,所以 xP=c,将 xP=c 代入椭圆方程得222?|?|1yP= ,即|PF|= ,则 tanPAF= ? = ,结合 b2=a2-c2,整理得 2c2+ac-a2=0,两边同时除以 a2?|?| ?+? 2得 2e2 +e-1=0,解得 e=12或 e=-1(舍去 ).10.已知直线 y=k(x+2)(k0) 与抛物线 C:y2=8x 交于 A,B 两点 ,F 为 C 的焦点 .若|FA|=2|FB|,则 k=.答案223解析 设抛物线 C:y2=8x

9、 的准线为 l, 易知 l:x=-2, 直线 y=k(x+2) 恒过定点 P(-2,0).如图 ,过 A,B 分别作 AM l 于点 M,BN l 于点 N,由 |FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,点 B 为线段 AP 的中点 ,连接 OB,则 |OB|=12|AF|, |OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1. k0,点 B 的坐标为 (1,22), k=21-(2-2)0=232.三、解答题211.设 O 为坐标原点 ,动点 M 在椭圆 C:?2+y2=1(a1,a R)上,过 O 的直线交椭圆 C 于 A,B?两点 ,F 为椭圆 C 的左焦点 .(1)若 FAB 的面积的最大

10、值为 1,求 a 的值 ;(2)若直线 MA,MB的斜率乘积等于 -31,求椭圆 C 的离心率 .解析12(1)因为 SFAB =2|OF| |yA-yB|OF|= ?-1=1,所以 a=2.(2)由题意可设 A(x 0,y0),B(-x 0,-y0),M(x,y), 则22-( 1-?122222 21-?0 )?-?+?22-(?-?)11?2?2?-?200000=?=-2 =-,2+y =1,2 +? =1,kMA kMB = 2 22 22 2?0?-?0?+?0?-?-?- ?30002所以3222所以 a?-?,=3,a=,所以 c=? 26所以椭圆的离心率e= =.=? 331

11、2.设椭圆22=1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 B.已知椭圆的短轴长为 4,离心率为5.?2+?2?5(1)求椭圆的方程 ;(2)设点 P 在椭圆上 ,且异于椭圆的上、下顶点 ,点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点 ,点 N 在 y 轴的负半轴上 .若|ON|=|OF|(O为原点 ),且 OPMN, 求直线 PB 的斜率 .解析设椭圆的半焦距为?5(1)=5,又 a2=b2+c2,可得 a=5,b=2,c=1.c,依题意 ,2b=4,?22所以 ,椭圆的方程为 ?5+?4=1.(2)由题意 ,设 P(x ,y)(x0),M(xM,0).设直线 PB 的斜率为 k(k 0),又 B(0,

12、2),则直线 PBP PP的方程为 y=kx+2,与椭圆方程联立?=?+2,(4+5k2220?22整理得?)x +20kx=0,可得 xP=-2,代5 +4 = 1,4+5?入 y=kx+2 得 yP2进而直线?2得M8-10?2OP 的斜率?4- 5?2=4+5?,?=-10?.在 y=kx+2 中 ,令 y=0,x=-?.由题意?2?2 24得 N(0,-1),所以直线 MN 的斜率为4 -5?- 由OPMN, 得)2.- 10?( -2 =-1,化简得 k = 5 ,从而230k= 5 .所以 ,直线 PB 的斜率为 2530 或 -2530 .22?13.设椭圆 2+ 2 =1(ab

13、0)的左焦点为 F,左顶点为 A, 上顶点为 B.已知 3|OA|=2|OB|(O 为原?点 ).(1)求椭圆的离心率 ;(2)设经过点 F 且斜率为 34的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P,圆 C 同时与 x 轴和直线l 相切 ,圆心 C 在直线 x=4 上,且 OCAP.求椭圆的方程 . 解析 (1)设椭圆的半焦距为 c,由已知有 3a=2b.又由 a2 =b2+c2,消去 b 得 a2=( 322? 1.a) +c2,解得 =? 2所以 ,椭圆的离心率为 12.22(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为 ?2+ ?2 =1.4?3?由题意 ,F(-c,0),则直线 l 的方程为 y=34(x+c).22?2 +2 = 1,点 P 的坐标满足 4? 33?= 4(x + c),消去 y 并化简 ,得到 7x2+6cx-13c2=0,解得 x1 =c,x2=-13?7.代入到 l 的方程 ,解得 y1=32c,y2=-14