新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系2 30°45°60°角的三角函数值》教案_4

1、1.2 30，45，60角的三角函数值一、教材分析 本节课是在学生已有的直角三角形有关知识的基础上，根据三角函数的定义，探究30，45，60三个特殊角的三角函数值，要求能利用特殊角的三角函数值进行基本的运算，并能根据三角函数特殊值求出特殊角；能根据生活中一些较简单的实际问题抽象出一定的几何模型，并由抽象出来的几何模型进行分析和计算，得出实际问题中需要的结果，在教学中要进一步渗透三角函数中量与量之间的相互联系、以及相互转化的观点，培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力对已学习能力较高的学生要求很理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系和正切之间的关系，并能利用这一性质进行简单的三角变换

2、或相应计算二、教学目标 1知识与技能目标：能够掌握30、45、60角的函数值及其计 算，并能够解决简单的实际问题。 2过程与方法目标：经历探索30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义。 3情感、态度与价值观目标：培养学生合作交流，勇于探索的精神。三、学情分析 初三的学生已经积累了一定的探究问题的经验，能够在老师设置的问题的引导下，通过自己主动探究总结结论，获得知识。同时，含有30、45、60角的直角三角形，对学生来说非常熟悉。因此本节课的内容比较好掌握。但是，个别学生基础较差，可能难以掌握，教师要讲解，引导，使他们不要掉队。特别是对函数值的记忆要加以引

3、导，使学生掌握好。四、重点难点 一重点：探索30、45、60角的三角函数值及其计算。 二难点： 1函数值的记忆及推导。 2解决含有30、45、60角的简单的实际问题。五、教学准备1、教师准备：多媒体课件.2、学生准备：一副三角板，三角函数的概念.六、过程复习回顾新课引入1要求学生观察自己手中的一副三角尺。指出三角尺都有哪些 特征。2指出手中的一副三角尺各个锐角的度数。3说出与含30，45，60角的直角三角形有关的定理。4探索30，45，60特殊角的三角函数值。【活动】记忆三角函数值1填课本上的特殊三角函数值表。2寻找特殊三角函数值的规律。3寻找记忆特殊三角函数值的方法。4借助图形记忆。可以借助

4、手中的一副三角尺来记忆。【引入】前面我们已经学会了用锐角三角函数表示直角三角形的边角关系,这节课我们将利用我们常用的三角板的两个特殊的三角形探讨30,45,60角的三角函数值.设计意图利用三角板组成的松树图形创设情境,引导学生发现三角板中的特殊锐角,使他们对本节课的学习目标和学习任务一目了然.导入二:课件出示:动手做一做:请测量出你们手中的三角板中30角的对边和斜边的长度.【问题】1.你能利用你测量的边长求出sin 30的值吗?cos 30和tan 30呢?2.类比上面的做法,你们能得出45角和60角的三角函数值吗?设计意图通过动手操作,既引入了课题,又初步掌握了30,45,60角的三角函数值

5、的探究方法,一举两得.过渡语三角板我们经常用,但是你们知道这两个三角板的边和角之间存在什么样特殊的关系吗?探究活动(一)30角的三角函数值课件出示:一副三角板图片有关这副三角板的边角关系的知识,你已经了解哪些?生回忆后得出结论:(1)直角三角形中,30角所对的直角边是斜边的一半;(2)45角所在的直角三角形的两直角边相等.师出示:除了利用测量的方法外,你能利用上面的性质得出sin 30等于多少吗?你是怎样得到的?生很容易得出:sin 30=.【教师强调】sin 30表示在直角三角形中,30角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.【师生活动】我们不妨设30角所对的边为a(如图所示),根据“

6、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半”的性质,可得斜边等于2a,所以sin 30=.【思考】类似地,你能计算出cos 30等于多少吗?tan 30呢?学生思考后,独立解答,代表展示:根据勾股定理得较长的直角边长为a,所以cos 30=,tan 30=.设计意图因为三角板是学生非常熟悉的学习用具,所以学生在探究30角的三角函数值时就会有一种亲切感,为60角和45角的三角函数值的探究做好准备.探究活动(二)45,60角的三角函数值过渡语类比30角的三角函数值,我们同样可以得出45,60角的三角函数值.课件出示:【做一做】(1)60角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?【学生活动】生先独

7、立思考,然后小组交流.代表发言:求60角的三角函数值可以利用求30角三角函数值的三角形.因为30角的对边和邻边分别是60角的邻边和对边.所以很容易求得:sin 60=,cos 60=,tan 60=.(2)45角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?【学生活动】生稍加思考,代表板演:如图所示,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,根据勾股定理可得斜边为a.由此可求得:sin 45=,cos 45=,tan 45=1.(3)完成下表.【学生活动】学生独立完成上表,可能会有学生出现三角函数值混淆的情况.【教师强调】这个表格中的30,45,60角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30,

8、45,60角的三角函数值说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆,我们来一起观察总结表格中三角函数值的特点.先看第一列30,45,60角的正弦值,你能发现什么规律呢?生观察后发现:30,45,60角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.再来看第二列函数值,有什么特点呢?生观察后发现:第二列是30,45,60角的余弦值,它们的分母也都是2,分子从大到小分别为,余弦值随角度的增大而减小.第三列呢?生观察后发现:第三列是30,45,60角的正切值,函数值依次扩大倍,并且随着角度的增大,正切值在逐渐增大.【教师点拨】第三列的函数值可以变为,.所以第三列的规律可以总结为

9、它们的分母都是3,而分子从小到大分别为,.由于30,45,60三个特殊角的三角函数值的分母都可以变化成一样的,只是分子不同,所以30,45,60角的三角函数值可以利用口诀“一二三,三二一,三九二十七”进行记忆.设计意图运用三角函数之间的关系,引导学生推导出了9个特殊值,并利用口诀记忆三个特殊角的三角函数值,帮助学生把枯燥无味的记忆变得生动有趣,节约了学生的时间.(三)例题解析过渡语通过探究我们已经掌握了特殊角的三角函数值,下面我们就利用这些特殊角的三角函数值解决一些相关的问题,以检验我们对新知的理解能力.课件出示:计算:(1)sin 30+cos 45;(2)sin260+cos260-tan

10、 45.【教师提示】sin260表示(sin 60)2,cos260表示(cos 60)2。【学生活动】生独立解答,两名学生板演,展示解题步骤:解:(1)sin 30+cos 45=+=.(2)sin260+cos260-tan 45=+-1=0.设计意图通过不同类型题目的练习,帮助学生巩固特殊角的三角函数值,让学生能更加熟练地进行三角函数值的计算.知识拓展计算含三角函数值的代数式的步骤:(1)求出特殊角的三角函数值;(2)根据实数的运算顺序进行计算.如图(1)所示,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60,且两边的摆动角相同,求它摆至最高位置时与其摆至最

11、低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m).解析让学生探讨解决实际应用问题的关键,并结合图形说出题目的已知条件和未知条件.【学生活动】学生以抢答的形式回答:解决实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题,如图(2)所示,已知OB=OA=OD=2.5,BOD=60,OABD,求AC的长.而AC=OA-OC,所以求出OC是解此题的关键.【师生活动】要求学生先独立解答,有困难的和同伴交流或向老师求助.代表展示,师出示解题步骤:解:如图(2)所示,根据题意可知:AOD=60=30,OD=2.5 m,OC=ODcos 30=2.52.165(m) ,AC2.5-2.1650.34(m).最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.设计意图通过对实际问题的解决,进一步帮助学生巩固特殊角的三角函数值,并培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.七、