第一章微分学

1、第一章微分学第一节.数数是数学面对的基本对象。我们从熟悉数开始。什么是数？我们现在来 构造它。定义：数轴是一条规定了起点、方向和单位长度的直线。起点称为0点，方向向右，单位长度称为1。如图：01于是，以0点为圆心，以1的长度为半径向右画弧，可得弧与直线的交点，记为 1点。又以 1点为心，1的长度为半径再画弧得交点，记为 2点。如此下去，记为 n点。于是，我们在 数轴上得到了无限多个点的集合 N,称此为自然数集。这个集合根据构造，有如下特点：（1）0,1 N，这是最基本的元素，是对事物质的规定。（2）nN n 1 N，称此为归纳原理。这是对事物量的发展。问题来了，这些数 N如何表示？它们有什么性

2、质?这是中国古代关于大数的表示:元代著名数学家朱世杰在他的经典著作算学启蒙大数之类”一段中记载： 凡数之大者，天莫能盖，地莫能载，其数不能极，故谓之大数也。” 一，十，百，千，万，十万，百万，千万，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤， 万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙，万万 恒河沙曰阿僧祗，万万阿僧祗曰那由他， 万万那由他曰不可思议， 万万不可思议曰无量数。先说集合，它比数更基本。集合是不定义名词，是关注对象全体的抽象。抽象表达的形 式是符号。符号就是一些表意的图形。集合尽管是符号，但对它的内涵还是有要求的。我们说给定

3、集合A指的是：A A中元素的规定。（注意，集合仅是规定它的元素，没有构造的意思。）规定必须做到：（1）A与非A可识别（2）A内元素可区别（3）A中元素是不可分割的最小单位（4）A自己不能作为A中的元素前3个要求是自然的，为什么要加入第 4个要求？罗素悖论：若集合放松第 4个要求，那么，把一切集合分成A，B两类，A ss S和B ss S。问A属于哪一类？若A A,则与A的定义矛盾，若 A B，则A A，这又与B的定义矛盾。所以，集合本 身不能属于自己。否则，会造成逻辑上层次的混淆。注：把单个元素x也可以看成是一个集合X , x与x有层次上的差别，x X。集合有全集、子集和空集，有基本的运算：并

4、、交和取余，运算有交换律、结合律和分 配律成立，等等性质。这里就不再详细展开。-自然数集合的十进制表示:令集合A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.是一些符号，称其为阿拉伯数字。(注：据考证此符 号最早来源于古印度。)我们用它来表示同类项中量的多少的规定。把所谓“数数”叫做 加法。用符号“ +”表示。(加法符号的由来查百度网，很方便。)加法是人类文明跨入抽象思维的第一步，在人对物的质的规定认识清楚后，加法是量的关系中最简单最直观的运算。其本质是同类东西的合并一一“合并同类项”。它与集合的并 是有本质区别的，2 5 2 5 7。这里的7不是2 5所具有的东西。这是加法 带来的内涵。定义：对

5、自然数集N (就是前面数轴上构造的那些点。)规定十进制加法表示如下：0 00，0 11，112，9 1 10，10 111 ,，19 120，：，1001101 ， 100011001 ，。(逢十进一)由此规定，a N，当a 0,那么，a玄代卄怙，其中a1 0， a A。并称为自然数集A的十进制表示。显然，由加法的定义得出， a,b N c a b N，abba，(a b) c a (b c)，即交换律和结合律成立，等等。加法的几何意义从数轴上看是明显的。以a点为圆心，b的长度为半径画弧得到的交点。结论：自然数集 N是一个有加法运算结构的特殊集合。注：自然数集除了我们熟知的十进制表示，还可有二

6、进制表示。故它的表示是不唯一的。不 管几进制，运算封闭，有零元，有单位元，交换律和结合律成立是本质的。自然数集的扩张：可以按构造自然数集的规则中把向 右画弧改成向左，(另一种规则！)所得交点的全体集 合记成 N。由此得，任何一个 N中的点a都有一个 N中对称的点 a与之对应，称它为 a的负元。把它们合并， Z N N 0, 1, 2,川，a,|，称Z为整数集。我们把再自然数集中的加法的概念推广到整数集中，规定：a 乙a ( a) 0。这样，(a)的对称点就是a，所以，(a) ( ( a) ( a) a 0。所以，(a) a，即负负得正。这是我们第一次通过规定得到的逻辑结果。为什么要这样做？从逻

7、辑的角度，我们常常会面对加法的反问题：a,b Z, a x b a x ( a) b ( a) x b a Z。这种在整数集中未知元 x的求解问题就可以由此来定义加法的逆运算一一减法。注意，5 x 3 x 3 52 N，所以，仅在自然数集 N中，求未知数加某一已知数使得等于另一已知数的运算是不封闭的。此外，所谓减法运算与负元的加法是一个问题的两个方面，从物理上看，加号是规定物体向右运动，减号是物体向左运动。我们看到，反问题可以加深我们对概念理解。进一步，在整数集合 Z中，如果遇到多个相同元素相加，即“连加”。可以再定义一种新的运算乘法。(这仅仅是乘法的一种含义！)且规定1a a。如：5 5 5

8、 3 5 15，a 川 ana它的含义是“提取公因子”，它可以简化加法运算。由定义知,a b b a， (ab)c a(bc) abc,( a) a， (a b)c ab be 等等运算性质。整数集有了加法和乘法运算，内容就丰富多了，最有意思的问题就是整数的因子分解。如至今还没有解决的问题一一哥德巴赫猜想：任何一个合数可以写成二个素数之和。注：乘法还有 复合运算的含义，它比“提取公因式”的内涵深刻得多。可以证明，整数Z中关于乘法运算仍是封闭的。但是关于乘法的逆运算一一除法，即 反问题：ax b ?的求解问题，在 Z中又不行了。我们又需要把整数集 Z扩张。规定：a Z,a 0, b, ab 1。

9、11称b为a的逆元，记b a 1 。含义是分割。即将1分成a等分中的一份，在数轴上点一 aa的位置可以通过a等分单位线段得到。它们是在数轴上生成的一些新的点集。定义：含有0和1两个元素，且对所有关于加法和乘法及其它们的逆运算(减和除)都封闭的点的集合称为有理数集，记成 Q。根据有理数集的构造，Q有形式：Q -P： p q 0 Z，我们把卫这样的数称为分数或称有理数。(其实称分割数或比q q例数更合适，几何意义更明显。但我们必须尊重历史，不能改变历史。)根据有理数的可分性， 有理数集有一个重要性质就是，它在数轴上是处处稠密的。 即任意两个有理数中间一定有另一个有理数。问题来了，是不是所有理数集Q

10、充满了整个数轴？请看数 和的作图，如图：斜边的长是所有有理数平方小于 2的一个上界。这个长度是无法通过有限次分割得到。 可以证明，数轴上有无穷多的点是无法通过有限次“等分分割”得到的。但是可以感觉到， 我们能用“等分分割”得到的点不断去 接近这些点。这就是利用了有理数集在数轴上的稠密性。我们可以找到一个有理数列an与该点无限接近。于是，我们为“无限接近”引入一个重要的基本概念一 请看如下数列:1数列的极限。XnXi1 ，那么有:X2Xnx4 11，X412 1211212294141，X599701.41428所以，我们可以构造一个有理数序列 an，使得它可以无限逼近数.2 。采用这种无限逼近

11、的方法，数轴上每一个点，我们可以用分割得到的点来得到。 这个事实很重要，我们把这一事实归纳陈述如下：一个数列an就是数轴上可以与自然数集对应的点的集合。这样的数列可以有无 限多，我们可以把所有这样的的数列分成两类，一类是能无限接近某点的数列，记成1nana,如，0,1,等等。另一类是不能无限接近某点的数列，女口，n2,( 1)n，n n 1把所有与第一类中有理数列an无限接近的点扩张到数集中:R Q a:ana，称其为实数集。且不是有理数的实数称为无理数。可见无理数是无限不循环小数。实数集R与数轴是对应的。即任何实数对应数轴上唯 个点，且数轴上任意点有唯一的实数与该点对应。这是一个很重要的假定

12、，数学上称为连续统假设。也称为实数集的完备性。我们还可以把ana改写成其他的极限运算的符号形式：lim an a和极限加上无穷n小的形式an a l()。:()称为无穷小，就是无限接近 0的任意数列。极限的严格专业术语陈述为：0, N,n N, an a 。(不去管它！)由此，我们可得出无穷小的性质：无穷小的加、减、乘运算是封闭的，且无穷小乘任意有限数仍为无穷小。(为什么除不行？)由此，可得出极限运算有性质：如果an a， bnb 0，那么，an bna b，an bnab，abn ab。即极限也可以方便的做加减乘除运算，并且在实数集 R上运算是封闭的。并且幕运算、指数运算、对数运算、三角运算

13、都是封闭的。利用极限的运算性质， 可以方便的求得实数数列的极限。但我们需要保证数列有极限才能做四则运算，没有极限的数列，极限的加减乘除运算性质是不一定成立的。具体举例：例如，an ( 1)n，bn ( 1)n1，an bn 0，务 bn ( 2。例 l.lim -n I 1例 2. |im( . n2 n . n2 1)n 2例3.充分性判断:limx 2 2x3x=a k2,a2,a有一类数列极限的存在性是通过分析得出来的，我们有二个重要定理。定理一：and ， bnd，且an Cn bn，则Cnd。称其为夹逼定理。定理二：数列an单调、有界，则ana。也称单调有界有极限。两个重要极限：1(

14、1)lim(1 -)n e n n证明：我们证明数列an(1n又因为,因为,所以,1-)n单调递增、有界，故有极限存在。n(1n器 12?(1 n11) 1n11n1A (1J1启(1J(n 1)n 1(n 1)n 1, 1nn1 ,1 - n1 (n 1)2(n 1)31(n 1)3。所以，an单调递增。这个极限是个无理数，把它记成1 1 1由于对任意正实数 x，有n使得，再由单调增性，n 1 x n(11)n(11)x(1丄)n1，再由夹逼定理，我们有极限公式：lim (11)xe。nxn 1x x又因为，lim (1)xXVmHxImImylim( E(厂)lim (1)y 1 lim

15、(1 -) e。yy 1 yy 1所以，不论x向左还是向右趋于正负无穷，都有lim(1X) e成立。x这是在网上下载的一个关于这个极限的有趣故事:最终经现场70余人投票，王尊(吉林大学汽车工程学院)凭借他别出心裁的以数学公 式为切入点的作品荣获冠军。I,王尊爱就像 lim (1 +-) =eX-iOO xj两个入如工相隔万里两赖心却如2无限接近 所以我们的ieff都左sin(x)sin (Xn) (2)lim1，此意味对任意趋于 0的实数列Xn0，都有lim - 1成立。x 0 Xxn 0Xn证明：因为当 x 0，有0 sinx x tan x。从图形上看这是明显的。2由，0sin xx si

16、n x / x 1再由，sin xx tan xx / sin x1/ cosx，倒过来，不等式反号，cosx sin x/x所以，cosxsin x/ x 1，因为 x0 cosx 1，再由夹逼定理，最后得，limsin (x)1。x 0X又因为当x 0,x0，lim皿 lim卫1。X 0 X ( X)0( x) 所以，不论x从左还是从右边趋于零极限公式都成立。这两个重要极限我们后面要用到。数的概念、运算、性质和极限的概念就讲这些，我们有些练习要做，只要求理解。关键 是要掌握数列极限的概念。下面讲数与数之间的关系，为此我们要引入重要的基本概念一一函数。第二节函数函数我们在高中就学过了。 这是

17、我们后面要面对的基本对象。这里我们换一种直观几何的叙述方式。首先，禾U用数轴建立直角坐标系。1 直角坐标把两个数轴在0点垂直相交就建立了一个平面上的直角坐标系。如图：R2这样，平面R2上的任何一点 P就与它的坐标一一二元数组(x, y)建立了一一对应关系。这种点与数的关系的建立，看似简单，有了坐标，它把许多几何上的直观概念用方程的形式联 系起来了。数和形的关系就得到了统一。平面上点集合的一些基本概念：图形：平面上任意点的子集。曲线与方程：曲线是平面上点的轨迹，方程是含未知数的等式。在直角坐标系上，曲线与方程可以建立一个对应关系，曲线可用方程f(x,y) 0表示，也可用参数方程x(t), y (

18、t)表示。女口，直线：y kx b。单位圆：x2 y2 1 0 ,或x cos( t) , y sin( t)。抛物线：y ax bx c。等等。所以，在有了直角坐标 系之下，曲线就是方程，方程也是曲线。代数与几何可以方便的联系在一起。根据曲线的直观特点，我们把曲线又分成：有间断点的曲线，称为 分段曲线；没有间断的曲线，称为连续曲线；没有“尖点”的曲线，称为 光滑曲线。1 2 2如，y 是分段曲线，y x是有尖点的曲线，x2 y2 1 0是光滑的闭合曲线，xx |y 10是有尖点的闭合曲线，等等。以上的内容很重要，从图形上来理解函数，会很方便。如果我们对平面上的曲线进行适当的分割，只关注其中的

19、某一特殊线段，我们就可以定义一类重要的曲线一一函数。它的严格表述如下。函数：X,Y R，如果 x X，存在唯一的y Y与之对应。记成 y f（x）。注意，函数有三个关键点：（1）定义域X，自变量x的取值范围。它是可以自主限定的。（2）值域Y，因变量y的取值范围。它是受对应规则限制的，故它是派生的。（3）对应规则f，这里关键是对应是存在唯一的。例1：单位圆：x2 y210就不是一个函数关系， 但加上限制，y 0，上半圆。或y 0，下半圆，都在区间 1 x 1上确定了一个函数关系。例2 :狄利克雷函数：D（x） 1当x是无理数；D（x） 0当x是有理数。虽然该函数不是一条完整意义上的曲线，且无法画

20、出它的图像，但根据定义，它是一个函数。1例3： y sin, x 0 ； y 0，x 0。这也定义了一个函数，特点是在0点无限震荡。x如果把函数放到直角坐标系上去看，几何直观上看，函数就是一段可以有“波浪”，可以有“断点”，“尖点”，但是“不能回头”的曲线。我们在高中已经熟悉了许多基本的初等函数及其图像：1. 一次函数：y kx b，图像是一条直线，其中 k是斜率，b是截距。22. 二次函数：y ax bx c,图像是一条抛物线。a 0开口向上；反之，向下。3. 多项式函数：y anXn川a，它在x轴上最多有n个交点。14. 幕函数：y x , x 0,特别 1 , y称为比例函数。图像是过

21、（1,1）点的递x增（ 0 ）或递减（0 ）的曲线。5. 指数函数：y ax,a 0，图像是过（0,1）点的递增（a 1）或递减（a 1 ）的曲线。6. 对数函数：y log a x , x 0,图像是过（1,0）点的递增（a 1）或递减（a 1 ）的曲线。它是指数函数的反函数，即，y loga xay x。特别，取以极限e为底的对数函数称为自然对数，记成y ln x。7. 三角函数： y sinx , y cosx , y tanx , ctanx。8. 反三角函数： y arcsinx,1 x 1 ； y arccosx, y arctanx, y arcctanx。注：也可以建立平面上的

22、极坐标系。它对于描述旋转更加方便。下面我们要专门研究一类重要的函数一一光滑函数，它是光滑曲线的部分。 所谓“光滑”就是曲线上每一点都有它的切线存在。切线就是该直线与光滑曲线相交且仅相交于一点的直线。它的几何意义是明显的。如图：注意，光滑曲线只是一种几何直观，严格的表述就是下面要讲的导数和导函数的概念。第三节导数、导函数如上图，在直角坐标系上，光滑函数y f(x)上每点P(x0, y0)的切线y kx b都有它的斜率：k -一X X。tan 。这个斜率如何获取？如冋前面在数轴上获取某一实数一样,我们采取无限逼近的手法。欲求光滑曲线在点 X。处的切线，具体操作是:1.在点X。附近任意取一个数列xn

23、X。，由此得相应数列yf(xn)和点列P(Xn, yn)。2.连接光滑函数yf (x)上点P(X。，y。)与点P(Xn,yn)，由此得到割线ln3. 割线In与横轴X的夹角为n，那么tan n人 2就是割线的斜率。Xn X。4. 显然有，当XnX。, knk o把以上描述换一种统一规范的符号写法：定义：令XnXnX0,yn%y。，那么，丄f(x。g f(X。)XnXn X。Xn由于XnXnX00任意，干脆去掉下标，表示 任意XxX00,称为自变量的增量；y yy0,称为函数的增量。如果lim -x 0 XXy。f (X)X)f (X0) k极限X。X存在，就称该极限k为函数y f (x)在点x

24、0处的导数，记为f (X)。几何上看，f(X。)显然是曲线在点X0处的斜率。又如果对任意的X。 X，导数f (Xo)都存在。这样在X上就建立了一个函数关系， 它 是由函数y f(x)诱导出的，我们称此为函数 y f(x)的导函数，记成y f (x)。又把 极限形式limdy记为“比例”的形式，故 鱼 y f (x)。x 0 x dxdx注意，导数的几何意义就是光滑曲线上切线的斜率。它的确定仅与曲线所定义的函数y f (x)在点xo处的邻域有关，与整体无关。注意，导数不是比例，它是一系列比例的一种特殊极限。 这导致在函数定义域中某些点的导数不存在。例如，y x，我们来看它在0点的斜率。得出，当

25、0xxx00 ， f (0) 1 ；当0 XXX。0 ， f (0)1。因此，在包含0点的区间上，y x的导函数不存在。这说明不是所有的函数都是可以求导数的。几何上看，有间断、有尖点、无限震荡的函 数导数都不存在。通俗的说，求导数就是求函数增量与自变量增量之比的极限。希望大家从几何上入手，在概念上准确理解，数一一函数一一导数一一导函数。仅仅知道一些符号和公式是没有用的！这里发生了什么？要求了什么？得到了什么？ 导数在经济学上的应用：变化率：价格随供求的变化率，货币随利率的变化率，等等；变化率就是导数。它表示 发展的方向和趋势。增长率：如果y f (x)且导数存在，那么y y讥Xj严dx ；它表

26、示增量与存量的比例关系。弹性:y- f (x)-。它是两个相关经济变量的变化率之比。x y y含义是自变量每1%变化对因变量产生 100%的变化。第四节求导公式与求导法则直接从函数的定义求导数是件很麻烦的事。我们需要一些基本的求导公式和求导法则来帮助我们方便的求得导数。这是基本功。si nxy cos(x )一些基本公式：1. y c常数，则c 02. ynx，则yn 1 nx;进.rH步，R, yx，则y1x3. ylnx，则(lnx)1x证明：x 1xx)lim -yln(xx) Inxlim In (11lim 丄 ln 1y1 1 1 ()丄lne丄x 0xxx 0xy xyxx利用公

27、式3，两边取对数，既可证明公式2，也可以证明公式 4。4. yln yxx、a，则(a )ax ln a , a0。特别，a e ,贝U yaxln a。y。x l n a1 y yln ayy l n ay5. ysin x ,则ycosx证明：lim ylimsin (xx)sin xlimx2sin( )cos(2x X)2cosx。x 0 xx 0xx 0x6. ycosx,则ysi nx7. y口1tanx ,贝U y2cos x& y. nt 1 arcsinx,贝U y1 x2求公式7和8要用到下面的求导法则。证明：y cosx sin(x )一些基本的求导法则：1. 求导的四则

28、运算(af(x) bg(x) af (x) bg (x)；(f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)；证明：(f(x)g(x)lim0f(x x)g(xx) f(x)g(x)xlimf(xx)g(x x) f (x)g(xx) f (x)g(x x)f(x)g(x)111 1 1x 0xlimf(xx)g(x x) f (x)g(xx) lim f (x)g(xx) f(x)g(x)x 0xx 0xlimf(xx) f(x).lim g(x x)g(x x) f (x) limg(x)x 0xx 0x 0xf (x)g(x)f (x)g (x)。f (X) f (x)g(x)

29、f(x)g(x)g(x) 0g(x)g2(x)，sin x例如，y ta nx，由除法求导法则得公式 7cosxsi nx、 (sin x) cosx sin x(cosx)cos2 x si n2 x 1y ( ) 2 22cosxcos xcos x cos x复合函数：x X , x2. 复合函数求导y g z，那么，z(x) g(f (x)称为复合函数。那么,z(x) g(f(x) g (f (x) f (x)。把一些复杂的函数看成多个简单函数的复合能对求导运算带来很大方便。1 1 2例 1： y 二2，那么，y(rv)(1 x)(i12、2x )(2x)(2x)(1 x )例 2：

30、g(x) x x ， g (0)例3:充分性判断，f(x)ln(a bx) x、rxrx(1,0) 且在0点处可导。x (0,1)(1) a 1,b1 ； ( 2) a 1,b 1。3. 隐函数求导由方程f(x, y) 0表示的光滑曲线的局部可以构成一个函数关系，对求导而言这就够 了，我们不必把这种函数关系直接求解出来y f (x)，然后再求导。而是直接对方程按复合函数的观点先求导，再把导函数求解出来。先看个例：x21,把y看成x的函数，两边对自变量 x直接求导得，2x 2yy 0 ,所以,x xy.1例:般对f(x, y)反函数求导dydy公式因为所以,由dxdy因为所以,我们有,f （x）

31、，如果0,那么,f (x( y)x(y)dy dx dx dyarcsinx，贝U y1,上半圆；y y mfx(x, y)把x看成1。1x2arcs inx0，下半圆。fy(x, y(x)y 0fx(x, y) fy(x, y)y的函数，那么，由复合函数求导法则,siny,dxdycosy , 1 sin2 y1遊）dx又 y arctanx ,1(dy)1。1 x21。2xy arcta nxtany ,dxdy12cos ysin2 y cos2 ycos2 y1 x2dydx由dxdy弋）11 x2。利用求导公式和求导法则求函数的导数需要多练， 任何捷径可走。理解概念，记住公式，多多练

32、习，形成条件反射。没有捷径可走。上述基本公式和法则必须牢记,没有_ l n x.xln xx例2.2x(例3.充分性判断，设f(1&，则 f(x)(1)a 1 ；( 2)可以把求导的概念继续推广。函数f(x)求导得导函数yf (x)。如果导函数仍是光滑函数，还可以继续求导。如此规定:df(x)护(x)d2x，(n)y()-Jf (x) dxf(x)f(n)(x)d(n)y dnx。.3d y，d x称为函数y f (x)的二阶、三阶n阶导数。这里在概念没有太大的问题， 高阶导数的几何意义一般往往是很复杂的。直观看就是“相切”得更厉害。其实，函数与它的高阶导数之间有很深刻的联系。一些基本的高阶导

33、数公式应该记住：x(n)e则yxen ；sin x 则 y(n)sin (xIn x 则 y(n)(1)n1xx 则 y(n)(1)15 1)!nn 1)x n我们来看一个复合函数二阶导数的公式。通过它来熟悉概念。回忆复合函数:y g z，那么，z(x) g(f(x)称为复合函数。z(x) g(f(x)g(f(x)f (x)dz dy dy dx从而，z (x)dz(x)dxd dz dy2 2dy dy dx?(为伴)2 (瓠2伴)(將伴)2 (瓠弟)。dy dy dx dy dx dx dy dx dy dx可见，二阶复合函数的求导公式就很麻烦了，高阶更麻烦，所以不必记忆。具体问题按求导法

34、则一步一步往下做下去反而更方便。利用高阶导数，可以将函数展开成多项式形式的幕级数。称为函数的泰勒级数展开。它的几何意义是，函数 f(X)与某一多项式函数 Pn(x)在点Xo处有相同的0阶，一阶，、n阶导数,也就是特别的“相切”。那么,多项式函数 pn(x)有:q(x)f (xo) f (xo)(x(Xo)(x Xo)2 川 n_ f (n)(Xo)(x Xo)n。所以,f(x)Pn(x) rn(x)f(Xo)f(Xo)(X Xo)xo)2 HI(n).f(Xo)(X Xo)n rn(x)。如果，f(X)可以无限的求导下去，且xXo，且有 rn(x)I(x Xo)o成立。那么,我们就把f (X)

35、在点Xo处附近展开，写成:f(x)f(Xo)f (Xo)(X Xo)丄算(XXo)2III叫。)(X /规定满足XXo, rn(x)o成立条件的X为收敛域。特别，取Xoo称为幕级数展开。一些基本函数的幕级数展开公式：X 彳121 n1. e 1 x xx2 川n!(回忆导言讲的爱情故事。)(1) 2X22.(1 X)收敛区域为ln(1X)x2(称此为泰勒展开)川，收敛区域为。称此为推广的二项式定理。I3 hi (忙扛in|卄，收敛区域为sin x3 X 3!1 5X5!cosx1 2X2!1 4 X 4!n!LxnIII，常用的不等式(1 X) 1III川(1)站收敛区域为 1 X 1。x2n

36、川 Ii，X 1。(这是等比级数。)收敛区域为利用幕级数表示函数，我们可以做近似计算。所以，In 21In -113132(1刑)。如果取前4项作为In 2的近似，可得In 21扪0.6931。例1计算In 2的近似值。解：由In(1x)x1 2 x21 3 x3III(丫1 存I：，得:In21 1213III (1)n11川，且误差rnn1o1这样做收敛速度太慢了。考虑，In(1x)x1 2 x21x33III卜咄,所以，In(1x)In(1x)In 1x 2(x x3x3III2,15 o再令1x2,解得x11位于收敛区域中。1 x3如果考虑误差w，那么:IF川2n 1扩|)311(11

37、92170000并由此可做.2的近似计算:In詔1e列 2e0.351 0.351 22(0.35)1.41 o思考：如何做 n 的近似计算?例2证明,nim(1右右川厶)有极限。n证明：数列单调递增是显然的，只要证明Iim(1n122132A三)有上界即可。事实上,n1 * 3MT 1 右 23 川(n 1)n(12)(21)川 2所以，极限存在。重要的是这个极限等于什么？此工作属于欧拉。因为，sinx x丄x3丄x53!5!HI ( 1)n112nx (2n 1)!川，所以，sin x3!5!Ill (1)n11(2n 1)!2n 1xlll所以，sin严仮1 lx 丄 X 3!5!川(x

38、。因为，x,(2)2,(3 )2,l|有sinx 0是方程的根。所以sinix3!1 2 x 5!(1)n11xn 1有因子分解,(2n 1)!sin 二X (112 x)(1-x)(1 -(2 )(3X川卅|。双方右边一次项x展开后的系数应该相等。一方面x的系数是另一方面,x的系数是(11(TV川川)。所以1 A22Ill26，即 nim(12。证完。6第五节.微分、微分中值定理和洛比达法则学完导数和高阶导数，下面我们利用导数引入微分的重要概念。给函数y f(x)，自变量x的增量 x，当x 0时的任何部分xj| Xk规定为自变量x的微分，记成dx。相应函数y f (x)的增量 y ,当x 0时的增量部分 川yk的线性近似 f (x) Xk规定为函数y f (x)的微分，记成dy。即函数y f (x)的微分等于它的导数乘 上自变量的微分。ylim y limx f (x) x f (x)dx dy。x 0