第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计方案

1、第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点1.线性相位条件对于长度为N的h（n）,传输函数为N 二H(ej ) h(n)en = Hg()广nHg（J称为幅度特性，0 ）称为相位特性。线性相位是指 二（）是的线性函数，即 二（）=.，.为常数。如果）满足：o -，氏是起始相位。严格地说，此时0 ）不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即d-（-l 一;dw也称这种情况为线性相位。一般称满足（7.1.3）式是第一类线性相位；满足（7.1.4）式为第二类线性相位。满足第一类线性相位的条件是:h（n）是实序列且对 （N -1）/2偶对称，即h(n)

2、=h(N _n _1)满足第二类线性相位的条件是:h（n）是实序列且对（N -1）/2奇对称，即h(n)二-h(N -n -1)N -J（1）第一类线性相位条件证明N /H(z)= h(n)z，H (z)二 h(N -n -1)zn =0n -0NH(z)八 h(m)z，Wzm =0令m = N - n -1，则有N -4h(m)zm, H(z)二 z42)H(z)m曲按照上式可以将H（z）表示为1 1 N 4H( z)H (z) z书H(zJ二丄、h( n)z* - z4NJ)zn2 2 n=04)N41n=z 2 - h(n)-z2 z 2 n =02H (ej ) =e2 Yh(n)co

3、s(n-琴)n卫2N -1所以，Hg( )= h(n)cos(n) n z0=-1(N -1)-第二类线性相位条件H(z)八 h(n)z-、h(N-n -1)z Jn z0设 m=N-n-1,H(z)二- h(m)zN2n =0N J、h(m)zmn =0H(z)同样，4N)1-zH(z )H却”心1丁 h(n)z_Z“)才n =9N Jn 上Nd1=匸2、h(n)z2 -z 2 n=02H(ej )二 H(z)_jN 1 Nz j： =je 2 h(n)sin (n?N -1)n =0=e 2N -12 二 h(n)sin (n)n =0因此，幅度函数和相位函数分别为Hg( )八 h(n)s

4、in n)n ,N -1兀*)一()222线性相位FIR滤波器幅度特性H g ( )的特点1) h(n) =h(N -n -1),N=奇数Hg( ) h(n)cos(n -Hg( ) =h(N -12(N J)/2)n -02h(n) cos(n -N -12厂N -1(：/2N -1Hg( J=h( )2h(m)cos n2nd2(N)/2Hg( ) - 7 a(n)cos，nn 2fN -1a(0)二 h(丁)jN -1N -1a(n )=2h(n),n =1,2,3,厂1. 2 22)h(n)二h(N-n -1),n为偶数N/2N1Hg( )二為 2h(=-m)cos(m-二) gmi

5、22N/21Hg( ) - b(n)cos，(n -)n吕2NNb(n) =2h( -n), n =1,2,;)223)h(n) = -h(N -n -1),N=奇数(N)/2Hg( ) = c(n)sin，nn =1N -1N -1c(n) =2h(n),n =1,2,一2 24) h(n) = -h( N -n -1),N=偶数N/2N1Hg( )=2h( m)sin，(m ) m丑22N/21Hg( ) = d(n)sin(n -一)n =12NNd(n) =2h(n), n =1,2,3 ,一223.线性相位FIR滤波器零点分布特点日（二）二土丁心恥“）4.线性相位FIR滤波器网络结构

6、 设N为偶数，则有NN J2 JN JH(z)八 h(n)zh(n)z h(n)z心时n史2NN1 122H (z) - h(n)z h(N -m -1)z4N jmJL)n zfim zSh(n) = h(N -n -1)2H(z)h(n)z _zNZn=S如果N为奇数N(N 4) 4Z_lAM禺数h(o)r奇数沪偶数力/一1)设希望设计的滤波器传输函数为Hd(e)，hd (n)是与其对应的单位脉冲响应。7W数Hd(ej )hd(n)e，n 二:hd(讥nd hd (n)二Hd(ej)0, l ： - -12 二sin( t(n -a)二(n _a)为了构造一个长度为 N的线性相位滤波器，只

7、有将 hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N -1)/2对称。设截取的一段用 h(n)表示，即h(n)二hd(n)Rz(n)H(ej ) J .匚Hd(ejr)RN(ej2)d =Rn()sin( N / 2sin( /2)N -121七(Nsin N/2 si n(/2)= Rn( Jea 其中，Hd(ej )和Rn )分别是hJn)和RN(n)的傅里叶变换,N AN _1Rn )八 RN(n)en 八 enn q0n q0如果 Hd(ej )二 Hd( Jeafie 1时，可近似表示为:2 兀Bl (n) ： 0.54Wr(，) 0.23Wr(-) 0.23Wr(c 亠 )5、布莱克曼

8、(Blackman)窗2二 nNNBl(n)珂0.42 0.5cos0.08cos兰卫R,(n)N -1N -1其频域函数为J (八 2)J( 2 )WBl(eJ ) =0.42WR(eJ ) -0.25WR(eN J ) WR(eN)0.04WR(eN)WR(eNJ )2其幅度函数为2兀WBl( J =0.42Wr( J 0.25Wr()Wr()N -1N -104WR(一荷)WR( 百)4 二6、凯塞一贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)k( n)=_,0 乞 nN1, H(2n -1)2, I(x)=1 I o (a)Y N 1k二用窗函数设计FIR滤波器的步骤:(1)根据

9、技术要求确定待求滤波器的单位取样响应%(n)；如果给出待求滤波器的频响为Hd (eJ )，那么单位取样响应用下式求出:1hd(n)二2，hM(叽1 M JJk J- kn、Hd(e M )e Mk =0od根据频率采样定理：hM (n) = hd(n rM )r =od(2) 根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。(3) 计算滤波器的单位取样响应 h(n)，h(n)二 hd(n)w(n)(4) 验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算N斗H(eJ )八 h(n)e nn=0例用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设 N =11厂=02r

10、ad .解用理想低通作为逼近滤波器,hd (n)二sin(，c(n - :),0 - n _10,:=-(N 一1) = 5 2hd( n)=sin(0.2二(n -5)二(n -5),0 _ n _10用汉宁窗设计2兀nh(n)=hd(n)，Hn(n),0 乞 n 乞10, 附(n)= 0.5(1-cos)10用布莱克曼窗设计h(n) =hd(n)，bi(n)2兀n2兀nBl(n) =(0.42 -0.5cos 0.08cos)R11(n)10107.3利用频率采样法设计 FIR滤波器：必须利用计算机进行处理运算1、IIR与FIR数字滤波器的比较IIR滤波器存在着输出对输入的反馈，因此可以用

11、比FIR滤波器少的阶数来满足技术指标，这样，IIR滤波器所用的存储单元和所需的运算次数都比FIR滤波器少。例如用频率抽样法设计阻带衰减为 20dB的FIR滤波器，其阶数要 33阶才能达到要求， 而如果用双线性变换法设计一个切比雪夫IIR滤波器，只需 4-5阶就可以达到同样的指标，所以FIR滤波器的阶数要高 5 10倍。FIR滤波器可得到严格的线性相位，而IIR滤波器则做不到这一点。IIR滤波器的选频特性越好，则相位的非线性就越严重。如果要求IIR滤波器具有线性相位，同时又要求它满足幅度要求，那么就必须用一个全通网络进行相位校正，这必然会大大增加滤波器的节 数和复杂性。因此在需要严格线性相位的情况下应该选择FIR滤波器。IIR滤波器必须采用递归结构实现，只有当所有极点都在单位圆内时滤波器才是稳定 的。但实际中由于存在有限字长效应，滤波器有可能变得不稳定。而FIR滤波器主要采用非递归结构，因而从理论上以及从实际的有限精度的运算中，都是稳定的。另外，FIR滤波器可以采用快速傅立叶变换(FFT)来实现，在相同阶数下，运算速度可以快得多。IIR滤波器可利用模拟滤波器现成的设计公式、数据和表格，因而计算工作量较小，对 计算工具要求不高。FI