动量传输的微分方程PPT学习课件

1、第二章第二章 动量传输的微分动量传输的微分方程方程 2.1 2.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 2.2 2.2 流体运动的基本概念流体运动的基本概念 2.3 2.3 连续性方程连续性方程 2.42.4 欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程 2.52.5 实际流体运动方程（实际流体运动方程（N-SN-S方程）方程） 2.6 2.6 伯努伯努利利方程方程 2.72.7 实际流体定常总流伯努利方程实际流体定常总流伯努利方程 2.12.1描述流体运动（或流场运动）描述流体运动（或流场运动） 的两种方法的两种方法 2.1.12.1.1场的概念：场的概念： 1.1.流场：流体质点运动的全部空

2、间。流场：流体质点运动的全部空间。 2.2.流场分类：流场分类： 通道流场（径流流场）：径直流动过程中没有遇到障碍物的流通道流场（径流流场）：径直流动过程中没有遇到障碍物的流 场场. . 绕流流场：遇到障碍物，流体要分流绕流的流场绕流流场：遇到障碍物，流体要分流绕流的流场 3.3.运动参量：指用以表示流体运动特征的一切物理量。运动参量：指用以表示流体运动特征的一切物理量。 1. 1.定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动 流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定 常流动，反之为非定常流动。常流

3、动，反之为非定常流动。 2.2.一维、二维、三维流动一维、二维、三维流动 在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一维流动，依赖于二个坐在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一维流动，依赖于二个坐 标，称为二维流动，依赖于三个坐标，则称为三维流动。标，称为二维流动，依赖于三个坐标，则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。 3.3.按流场中是否存在旋转分为：按流场中是否存在旋转分为： 有旋运动和无旋运动有旋运动和无旋运动 一维流动：一维流动：A=f(x,t)A=f(x,t) 二维流动：二维流动：A=f(x,y,t)A=f(x,y,t) 三维流动：三维流动：A=f(x,

4、y,z,t)A=f(x,y,z,t) 2.1.2 2.1.2 流动的分类：流动的分类： 4.4.层流与湍流层流与湍流 2. 2. 雷诺数雷诺数 Vd Re 1. 1. 经典实验经典实验 雷诺实验雷诺实验(1883)(1883) 哈根实验哈根实验(1839)(1839) 林格伦实验林格伦实验(1957)(1957) V V 流速，流速，d d 特征长度，特征长度，、 流体密度、粘度流体密度、粘度 圆管临界雷诺数圆管临界雷诺数 2300Re cr 流场显示流场显示 阻力测量阻力测量 热线测速热线测速 5.5.内流与外流内流与外流 管道流（不可压缩流体）管道流（不可压缩流体） 喷管流（可压缩流体）喷

5、管流（可压缩流体） 明渠流明渠流 流体机械流体机械 内流内流 粘性边界层粘性边界层 外部势流外部势流 外流外流 按流场是否被固体边界包围分类按流场是否被固体边界包围分类 6. 6.常用的流动分析方法常用的流动分析方法 质量守恒定律质量守恒定律 动量定律（牛顿第二定律）动量定律（牛顿第二定律） 能量守恒定律（热力学第一定律）能量守恒定律（热力学第一定律） 基本的物理定律基本的物理定律 系统与控制体分析法系统与控制体分析法 微分与积分分析法微分与积分分析法 量纲分析法量纲分析法 基本的分析方法基本的分析方法 2.1.3 2.1.3 描述流体质点运动的两种方法描述流体质点运动的两种方法 1 1、拉格

6、朗日法：（拉氏法，质点法，、拉格朗日法：（拉氏法，质点法，LagrangeLagrange法）法） 着眼于流体质点，以各个运动着的流体质点作为研究对象，跟踪着眼于流体质点，以各个运动着的流体质点作为研究对象，跟踪 观察流体质点的运动轨迹，以及运动参量随时间的变化，综合流场中观察流体质点的运动轨迹，以及运动参量随时间的变化，综合流场中 所有的流体质点以弄清全部流场的情况。所有的流体质点以弄清全部流场的情况。 为区别各个流体质点，取初始位置a , b, c（拉格朗日变数）作为各个质点的标识。 运动方程：经运动方程：经dtdt后运动轨迹（不同时刻某一固定质点的运动轨迹）后运动轨迹（不同时刻某一固定质

7、点的运动轨迹） x=x(a,b,c,t)x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t) 同理：如固定同理：如固定t t ，可得到不同流体质点在空间的位置分布，可得到不同流体质点在空间的位置分布 速度：速度： ），（tcbax t x x ），（tcbay t y y ），（tcbaz t z z 加速度加速度： ），（tcbax t x t a x x 2 2 ），（tcbay t y t a y y 2 2 ），（tcbaz t z t a z z 2 2 全部流场情况：全部流场情况： （1 1）对于某个确定的流体

8、质点，）对于某个确定的流体质点，a,b,ca,b,c为常数，而为常数，而t t是变量时，得到某一是变量时，得到某一 质点在不同时刻的运动规律；质点在不同时刻的运动规律； （2 2）对于某个确定时刻，）对于某个确定时刻，t t为常数，为常数，a,b,ca,b,c为变量时，得到某一时刻不同为变量时，得到某一时刻不同 流体质点的运动规律。流体质点的运动规律。 该法特点：该法特点： 流场中跟踪某一个质点来测量某个参量是极其困难的流场中跟踪某一个质点来测量某个参量是极其困难的 速度为偏微分量，很少采用速度为偏微分量，很少采用 2 2欧拉法（欧拉法（EulerEuler法法) ) 着眼于充满运动流体的空间

9、，以流场中无数个固定的空间点为研究对象，寻求流着眼于充满运动流体的空间，以流场中无数个固定的空间点为研究对象，寻求流 体质点通过这些空间点时，运动参量随时间变化规律而不关心个别质点的行为。体质点通过这些空间点时，运动参量随时间变化规律而不关心个别质点的行为。 欧拉法应用什么物理量来表征空间点上流体运动状态变化呢？欧拉法应用什么物理量来表征空间点上流体运动状态变化呢？ 因不同时刻将有不同的流体质点经过空间的某一固定点，所以站在固定点上就因不同时刻将有不同的流体质点经过空间的某一固定点，所以站在固定点上就 无法观测流体质点的位置随时间的变化，从而用位置随时间的变化去描述流场是不无法观测流体质点的位

10、置随时间的变化，从而用位置随时间的变化去描述流场是不 可行的，可行的， 但是不同时刻流体指点经过空间某一固定点的速度则是可以观测的，所以欧拉法但是不同时刻流体指点经过空间某一固定点的速度则是可以观测的，所以欧拉法 中不选择位置而是以速度作为描述流体在空间变化的变量，研究其在空间的分布。中不选择位置而是以速度作为描述流体在空间变化的变量，研究其在空间的分布。 实际研究问题时，区分清楚哪个质点处于哪个空间点上对多数问题是没有任何意实际研究问题时，区分清楚哪个质点处于哪个空间点上对多数问题是没有任何意 义的，只要稿清楚在某一时刻流体在其存在区域内各个空间点上的速度分布就行了。义的，只要稿清楚在某一时

11、刻流体在其存在区域内各个空间点上的速度分布就行了。 具体如下：一流体质点在具体如下：一流体质点在t t1 1时刻过某一空间点有一运动参量，另一质点在时刻过某一空间点有一运动参量，另一质点在t t2 2时刻过同一空间点有另一运动参量，可见对流场中时刻过同一空间点有另一运动参量，可见对流场中 某个任意固定空间点，运动参量是随某个任意固定空间点，运动参量是随t t 发生变化，统计流场中所有固定空间点时，则全部流场中的运动参量是空间坐标和时发生变化，统计流场中所有固定空间点时，则全部流场中的运动参量是空间坐标和时 间的函数间的函数 A(x,y,z,t)A(x,y,z,t) 全部流场情况：如全部流场情况

12、：如 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 1 1）当）当x,y,zx,y,z不变时，改变不变时，改变t t时表示空间某固定点的速度随时间的变化规时表示空间某固定点的速度随时间的变化规 律律 2 2）当）当t t不变，不变，x,y,zx,y,z改变时，说明某一时刻，各个空间固定点上的速度改变时，说明某一时刻，各个空间固定点上的速度 分布规律。分布规律。 比较一下拉氏法比较一下拉氏法V(a,b,c,t)V(a,b,c,t)表示同一质点表示同一质点V V随随t t变化情况。变化情况。 速度速度），（tzyx 分解为分解为 x (x,y,z,t) y (x,y,z,t) z (x,y,z,t) kj

13、i zyx 222 zyx 加速度：速度对时间的全导数加速度：速度对时间的全导数 两个固定空间点速度不同，反映出流体质点通过时参量发生变化，故产生了加速度两个固定空间点速度不同，反映出流体质点通过时参量发生变化，故产生了加速度 变化。变化。 Dt D a zyxt dt dz tdt dy ydt dx xtdt d a x z x y x x x z y xxx x zyxtdt d a y z y y y x yy y zyxtdt d a z z z y z x zz z 总加速度包括总加速度包括： 位变加速度位变加速度：流体质点通过两个不同空间点时，速度发生变化产生的加速度， 由于流场

14、不均匀而造成的。 时变加速度时变加速度：流体质点通过某一固定点时，速度随时间变化而产生的的加速度， 由于流场的不稳定而造成的。 综合：任一个参量A=A（x,y,z,t） z A y A x A t A A t A Dt DA zyx ），（ 其中k z j y i x （哈密顿算子）（哈密顿算子） 是具有微分性与矢量性的双重性质是具有微分性与矢量性的双重性质 u稳定流动的流场中的任意点的流动参量不随稳定流动的流场中的任意点的流动参量不随t t改变，但不同点的流动参量可以是不同的，改变，但不同点的流动参量可以是不同的， u非稳定流动的流场中流动参量不但可以随位置不同而变，而且随时间不同也在改变，

15、非稳定流动的流场中流动参量不但可以随位置不同而变，而且随时间不同也在改变， u欧拉法比拉格朗日法研究流体力学较优越：欧拉法比拉格朗日法研究流体力学较优越： 利用欧拉法得到的是场，便于用场论这一数学工具来研究，利用欧拉法得到的是场，便于用场论这一数学工具来研究， 利用欧拉法得到的加速度是一阶导数，而拉格朗日法得到的是二阶导数，在数学上求解容易些，利用欧拉法得到的加速度是一阶导数，而拉格朗日法得到的是二阶导数，在数学上求解容易些， 工程上并不关心每一质点的来龙去脉。工程上并不关心每一质点的来龙去脉。 2.2.1 2.2.1 流线和迹线流线和迹线 研究目的研究目的： 除去研究流体质点的流动参量随时间

16、变化外，为使整个流场形象化，除去研究流体质点的流动参量随时间变化外，为使整个流场形象化， 从而得到不同流场的运动特征从而得到不同流场的运动特征 同一瞬时不同质点流动参量关系同一瞬时不同质点流动参量关系流线流线研究法研究法 同一质点在不同时间流动参量关系同一质点在不同时间流动参量关系迹线迹线研究法研究法 迹线迹线：是流体质点在一段时间内的运动轨迹。：是流体质点在一段时间内的运动轨迹。 说明：说明： 是由拉氏法得到的空间中的一条曲线是由拉氏法得到的空间中的一条曲线 迹线是无数个曲线簇迹线是无数个曲线簇 迹线与流体质点有关，与时间无关迹线与流体质点有关，与时间无关 如将不易扩散的染料滴入水流中，能见

17、到染了色的流体质点的运动轨迹 2.2 2.2 流体运动的基本概念流体运动的基本概念 流线流线: :是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切 线都与速度矢量相重合。线都与速度矢量相重合。 2 流线的微分方程：流线的微分方程： 由流线定义可推出空间点的速度与流线相切。由流线定义可推出空间点的速度与流线相切。 x sd dx xs），（cos y sd dy z sd dz t dzdydx zyx （t为参考量，为一定数） 说明：速度分量与微元弧段坐标分量间的一一对应关系。 0 sd or 0 dzdydx kji zyx 即：即： 3

18、3 说明：说明： 流线上各点的流速与流线相切流线上各点的流速与流线相切 通过空间的某一点同一时刻只有一条流线通过空间的某一点同一时刻只有一条流线 流线形状与时间有关（稳态流场中无关）流线形状与时间有关（稳态流场中无关） 流线密集处，流速较大流线密集处，流速较大 流线与迹线的联系：流线与迹线的联系： 二者都是空间流场中的曲线蔟，均与流体运二者都是空间流场中的曲线蔟，均与流体运 动有关动有关 稳定流动时，流线与迹线相重合，流线形状不变稳定流动时，流线与迹线相重合，流线形状不变 只有在滞点（驻点）处速度为只有在滞点（驻点）处速度为0 0，奇点速度为无穷大时，可以相，奇点速度为无穷大时，可以相 交。交

19、。 zyx v dz v dy v dx 稳定流动非稳定流动 4.4.迹线的微分方程迹线的微分方程 当以欧拉法表示流体运动物性时，可用欧拉法与拉氏法相互转换求出描述当以欧拉法表示流体运动物性时，可用欧拉法与拉氏法相互转换求出描述 迹线的方程式。迹线的方程式。 如一流场的欧拉表达式为：如一流场的欧拉表达式为： ），（tzyxf x ），（tzyxf y ），（tzyxf z dt dz dt dy dt dx zyx 例题例题 已知有一流场，其欧拉表达式为：已知有一流场，其欧拉表达式为： Vx=x+t vy= -y+t vz=0 dt dzdydx zyx （t为自变量） 迹线微分方程式迹线微分

20、方程式 则则 1.由流线微分方程：由流线微分方程： ty dy tx dx 两边积分：两边积分： 21 lnlnCtyCtx）（）（ 求此流场的流线方程式及求此流场的流线方程式及t=0t=0时过时过M(-1,-1)M(-1,-1) 点的流线和迹线。点的流线和迹线。 整理：整理：Ctytx）（）（ln Bz Ctytx）（ 讨论：讨论：）取流场中任一点）取流场中任一点A A（1 1，2 2，3 3） t=1t=1时，时，C=2C=2，B=3B=3 流线方程式为：流线方程式为： 3 211 z yx）（ ） t=1.5t=1.5时，流线方程为时，流线方程为 （x+1.5x+1.5）（）（-y+1.

21、5-y+1.5）=1.25=1.25 z=3z=3 ）当当t=1t=1时，过另一空间点时，过另一空间点A A(1,1.5,3)(1,1.5,3)时时 C=1C=1，B=3 B=3 流线方程：流线方程： 3 111 B yx）（ 说明：同一时刻不同空间点的流线不同。 说明：不同时刻通过同一点流线不同。 2.2. 当当t=0t=0时，时，x=-1,y=-1x=-1,y=-1代入代入C=-1C=-1 过过M M（-1-1，-1-1）点流线方程为）点流线方程为xy=1xy=1的双曲线的双曲线 3.3. 迹线方程：迹线方程： 非奇次常系数线性方程 ty dt dy tx dt dx y x 1 1 2

22、1 teCy teCx t t x x，y y随随t t变化规律变化规律 当当t=0,x=-1,y=-1t=0,x=-1,y=-1代入代入 0 21 CC 过过M M（-1-1，-1-1）点的迹线方程为：）点的迹线方程为： 2 1 1 yx ty tx t消去 讨讨 论：论： 本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上 速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点 在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。

23、思考题思考题 研究流体运动的拉格朗日法和欧拉法的实质是什么？研究流体运动的拉格朗日法和欧拉法的实质是什么？ 在欧拉法中加速度的表达式是什么？何谓时变加速度和位在欧拉法中加速度的表达式是什么？何谓时变加速度和位 变加速度？变加速度？ 何谓流线、迹线、一维流动、二维、三维流动、稳定流动？何谓流线、迹线、一维流动、二维、三维流动、稳定流动？ 非稳定流动？非稳定流动？ 流线和迹线有何区别和联系？流线和迹线有何区别和联系？ 2.2.2 2.2.2 流管、流束和流量流管、流束和流量 研究目的：研究目的：流线只能表示流场中质点的流动参量，但不能表明流过的数量，故引入流管、流束和流量的概念。流线只能表示流场中

24、质点的流动参量，但不能表明流过的数量，故引入流管、流束和流量的概念。 1 1、 流管流管 定义：在流场中取任意封闭曲线，通过曲线上各点作流线，定义：在流场中取任意封闭曲线，通过曲线上各点作流线， 所组成的管状表面。所组成的管状表面。 说明：说明： 流管是由流线组成的；流管是由流线组成的； （流管上任取一条线，此线上任取一点，通过此点的流体质点速度方向与流线相切） 象刚体的管壁，限制流体运动在管内或管外。象刚体的管壁，限制流体运动在管内或管外。 2 2 、流束和微小流束、流束和微小流束 引入意义：引入意义：有了流束概念就可以计算流量，因为在微小流束有效截有了流束概念就可以计算流量，因为在微小流束

25、有效截 面中流线的流动参量相同。面中流线的流动参量相同。 流束：过流管横截面上各点作流线，得到充满流管的一束流线簇，过流管横截面上各点作流线，得到充满流管的一束流线簇， 称为流束。称为流束。 微小流束：断面无穷小（断面无穷小（dA）的流束称为微小流束。）的流束称为微小流束。 说明： dA任何点处运动参量是不变的；任何点处运动参量是不变的； 当当dA0时，微小流束时，微小流束流线流线 流管边界以内的全部流体（如管道或渠道中流体）称为总流。流管边界以内的全部流体（如管道或渠道中流体）称为总流。 3、有效截面、流量；平均流速有效截面、流量；平均流速 有效截面：流体是在流束中沿着无数个流线流动的，与流

26、体流动相流体是在流束中沿着无数个流线流动的，与流体流动相 垂直的表面叫有效截面。垂直的表面叫有效截面。 说明： 与流线（束）全部垂直的横截面；与流线（束）全部垂直的横截面； 可以是平面、曲面可以是平面、曲面 流量流量：单位时间通过有效截面的流体数量称作流量。单位时间通过有效截面的流体数量称作流量。 表示为：表示为：单位时间内通过有效截面的体积流量：单位时间内通过有效截面的体积流量： A V dAQ 单位时间内通过有效截面的质量流量单位时间内通过有效截面的质量流量： A M dAQ 单位时间内通过有效截面的重量流量：单位时间内通过有效截面的重量流量： A G dAgQ 式中式中V有效截面上各点真

27、实流速。有效截面上各点真实流速。 平均流速：平均流速： 引入原因：引入原因： 即：通过任一截面上即：通过任一截面上 是不均匀的，用是不均匀的，用 代替截面上不均匀的速度代替截面上不均匀的速度分布，但有一条件：分布，但有一条件： QQ A Q dAQA A 意义：意义： 反映了流道中各微小流反映了流道中各微小流 束的流速是有差别的束的流速是有差别的 思考题思考题 何谓流管、流束、有效截面及流量？何谓流管、流束、有效截面及流量？ 平均流速引入的条件及意义？平均流速引入的条件及意义？ 系统和控制体各有何特点？研究问题时有何不同？系统和控制体各有何特点？研究问题时有何不同？ 连续性方程的积分形式及简化

28、形式。连续性方程的积分形式及简化形式。 2.3 2.3 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 首先介绍一下系统和控制体的概念：首先介绍一下系统和控制体的概念： 系统和控制体是流体力学中研究解决问题提出来的，二者既有联系统和控制体是流体力学中研究解决问题提出来的，二者既有联 系又有区别。系又有区别。 系统：系统：是一团流体质点的集合，在运动中系统的形状和位置可以不是一团流体质点的集合，在运动中系统的形状和位置可以不 断变化，而它所包含的流体质点却始终不变，系统是与拉氏法相联断变化，而它所包含的流体质点却始终不变，系统是与拉氏法相联 系的。系的。 控制体：控制体：是指流场中的某一确定空间区域，

29、其周界即为控制面，是指流场中的某一确定空间区域，其周界即为控制面， 我们常选六面体作为控制体，六个面即为控制面。我们常选六面体作为控制体，六个面即为控制面。 特点是：控制体一经选定，他们形状和位置都不再变化，而特点是：控制体一经选定，他们形状和位置都不再变化，而 其内部所包含的流体质点一般是变化的，是与欧拉法相联系的概其内部所包含的流体质点一般是变化的，是与欧拉法相联系的概 念。念。 二者在研究问题时有何不同：二者在研究问题时有何不同： 系统：系统：内部流体质点不变，故无法与外界进行质量交换，即内部流体质点不变，故无法与外界进行质量交换，即 有能量与动量交换也仅限于系统边界。有能量与动量交换也

30、仅限于系统边界。 控制体控制体：可以有质量流进流出，进行与外界的质量，能量，可以有质量流进流出，进行与外界的质量，能量， 动量的传递。且可引起控制体内动量、能量及质量的变化。动量的传递。且可引起控制体内动量、能量及质量的变化。 2.3.1 2.3.1 直角坐标系下的连续性直角坐标系下的连续性 微分方程式微分方程式 1.1.连续性微分方程定义连续性微分方程定义： 描述流体微团（或系统）质量守蘅性质的方程，可表达成代数，积分和描述流体微团（或系统）质量守蘅性质的方程，可表达成代数，积分和 微分形式；微分形式； 理论依据理论依据：质量守蘅质量守蘅 数学描述数学描述：描述流体质量不变关系式有两种可能描

31、述流体质量不变关系式有两种可能 稳定流动时：稳定流动时： 单位时间流入质量单位时间流入质量=单位时间流出质量单位时间流出质量 非稳定流动时：非稳定流动时： 单位时间流出的质量单位时间流出的质量-单位时间流入的质量单位时间流入的质量+单位时间质量的累积单位时间质量的累积oror 增量增量=0=0 假定流体连续地假定流体连续地 充满整个流场，从中充满整个流场，从中 任取出以任取出以 点为中心的微小六面点为中心的微小六面 体空间作为控制体如体空间作为控制体如 右图。控制体的边长右图。控制体的边长 为为dxdx，dydy，dzdz，分别，分别 平行于直角坐标轴平行于直角坐标轴x x， zyxo， 2.

32、2.公式推导：公式推导： （1 1）单位时间内流入、流出）单位时间内流入、流出微元体微元体流体总质量变化流体总质量变化 y y，z z。设控制体中心点处流速的三个分量为。设控制体中心点处流速的三个分量为 , ,液体密度为液体密度为 。将。将 各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体 六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点 M M的质点在的质点在x x方向的分速度为方向的分速度为 通过控制体后表面中心点通过控制体后表面中

33、心点N N的质点在的质点在x x方向的分速度为方向的分速度为 zyx vvv， dx x v v x x 2 1 dx x v v x x 2 1 因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以 单位时间内沿单位时间内沿x x轴方向流入控制体的质量为轴方向流入控制体的质量为 dydzdx x v v x x 2 1 dydzdx x v v x x 2 1 流出控制体的质量为流出控制体的质量为 于是，单位时间内在于是，单位时间内在x x方向流出与流入控制体的质量差方向流出与流入控制体的质量差为 dxdydz x v dydz

34、dx x v vdydzdx x v v xx x x x 2 1 2 1 同理可得在单位时间内沿同理可得在单位时间内沿y y，z z方向流出与流入控制体的质量方向流出与流入控制体的质量 差为差为 和和 dxdydz y v y dxdydz z vz 故单位时间内流出与流入故单位时间内流出与流入微元体微元体流体质量总变化为：流体质量总变化为： xyz dxdydz xyz （）（）（） 控制体内质量变化：控制体内质量变化： 因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dtdt时间内：时间内： dtdxdydzdxdydzdtdxdydz tt

35、（） 单位时间内，微元体质量增量：单位时间内，微元体质量增量： dxdydz t dtdtdxdydz t / （微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积） 根据连续性条件：根据连续性条件： 0 ）（）（）（ zyx zyxt 矢量形式：矢量形式：0 t 其中：其中： k z j y i x 三维连续性微分方程三维连续性微分方程 （哈密算子） 3.公式说明：公式说明： 适用于不可压缩和可压缩流体适用于不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体理想和实际流体 稳态及非稳态流动稳态及非稳态流动 对不可压缩性流体：对不可压缩性流体： const 0 zyx

36、z y x or 说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。 or流入体积流量与流出体积流量相等。流入体积流量与流出体积流量相等。 判断流场是否存在（条件判断流场是否存在（条件 =const） 存在，否则不存在。存在，否则不存在。 0 div 0 div 稳定流动：所有流体物性参数均不随时间而变，稳定流动：所有流体物性参数均不随时间而变，0 t 0 ）（）（）（ zyx zyx 若为平面流动：若为平面流动： 0 yx y x 一维稳态流动的连续性方程无法用微分形式表示。一维稳态流动的连续性方程无法用微分形式表示。 0)( div 思考题思考题 推导连续性方程的

37、理论依据是什么？如何描述？推导连续性方程的理论依据是什么？如何描述？ 连续性方程有几种形式？各适用条件？连续性方程有几种形式？各适用条件？ 连续性方程的连续性方程的应用应用： 判断流场是否连续（存在）？判断流场是否连续（存在）？ 已知已知 yx y x ， 可求可求 z z 已知已知）（ div可求可求 t 已知已知 t 可求可求 ）（ div 2.3.2 2.3.2 一维不可压缩流体定常总流连续性方程一维不可压缩流体定常总流连续性方程 如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别为如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别为A A1 1、A A2 2，在从总，在从总 流中任取一个元流，

38、其进、出口断面的面积和流速分别为流中任取一个元流，其进、出口断面的面积和流速分别为dAdA1 1、v v1 1；dAdA2 2、v v2 2。 根据质量守恒原理，单位时间内从根据质量守恒原理，单位时间内从dAdA1 1流进的流体质量等于从流进的流体质量等于从dAdA2 2流出的流体质流出的流体质 量，即量，即 对于不可压缩均质流体，对于不可压缩均质流体， 。上式变为。上式变为 总流是流场中所有元流的总和，所以由上式可写出总流总流是流场中所有元流的总和，所以由上式可写出总流 连续性方程连续性方程 cdAvdAv 222111 c 21 cdqdAvdAv 2211 2211 AvAv 公式说明：

39、公式说明： 适用条件：适用条件：定常流动，可压缩和不可压缩流体定常流动，可压缩和不可压缩流体 不可压缩流体：不可压缩流体： =const 2211 AA （不仅质量流量守恒，且体积流量守恒）（不仅质量流量守恒，且体积流量守恒） （dd则则） 沿途有分支时（一维流体且不可压缩）沿途有分支时（一维流体且不可压缩） 332211 AAA 应用最多的是微分形式的连续性方程，三维可转成二维，但不能转为一维。一元流动应用最多的是微分形式的连续性方程，三维可转成二维，但不能转为一维。一元流动 积分形式连续性方程针对管道中流动的情况。积分形式连续性方程针对管道中流动的情况。 例题例题 一液压系统中有两个串联油

40、缸，工作流量为一液压系统中有两个串联油缸，工作流量为Q Q，活，活 塞面积分别为塞面积分别为A1A1，A2A2。求两个活塞的运动速度比。求两个活塞的运动速度比。 解：解：液压油可视为不可压缩流体，由一元流动连续性方程得到液压油可视为不可压缩流体，由一元流动连续性方程得到 V1=Q/A1V1=Q/A1 V2=Q/A2V2=Q/A2 故故V2=A1/A2V2=A1/A2V1V1 分析：分析：使使V2V2产生变化的措施有哪些？产生变化的措施有哪些？ 思考题思考题 推导连续性方程的理论依据是什么？如何描述？推导连续性方程的理论依据是什么？如何描述？ 连续性方程有几种形式？各适用条件？连续性方程有几种形

41、式？各适用条件？ 连续性方程的连续性方程的应用应用： 判断流场是否连续（存在）？ 已知 yx y x ， 可求 z z 已知）（ div可求 t 已知 t 可求 ）（ div 例题例题1 1 不可压缩流体的速度分布为不可压缩流体的速度分布为:v:vx x=3(x+y=3(x+y3 3) v) vy y=4y+z=4y+z2 2 v vz z=x+y+2z =x+y+2z 试分析该流动是否连续试分析该流动是否连续? ? 解解: : 32 342 3420 y xz v vv xyz xyyzxyz xyz 不满足连续方程不满足连续方程 流动不存在流动不存在. . 例题例题2 2 可压缩流体流场可

42、用下式描述：可压缩流体流场可用下式描述： 试计算试计算t=0t=0时，点（时，点（3 3，2 2，2 2）处密度的时间变化率。）处密度的时间变化率。 kt vaxibxy j e 0 t v 解解: : smkgabba t 3 /33 当当t=0,x=3,y=2,z=2t=0,x=3,y=2,z=2处处: : kt kt v t ijkaxibxyj e xyz abx e 例题例题3 3 有一个三维不可压缩流场，已知其有一个三维不可压缩流场，已知其x x方向和方向和y y方向的分速方向的分速 度分别为，度分别为， 求其求其z z方向的分速度的表达式。方向的分速度的表达式。 )(, 322

43、zxyzxyvzyxv yx 0 z v y v x v z y x )(,2zx y v x x v y x 解：解： 不可压缩的流体的连续性方程为不可压缩的流体的连续性方程为 由已知条件由已知条件 将其代入连续方程，得将其代入连续方程，得 2 2 z xzv z z v ),( 2 2 yxC z xzvz 积分常数可以是常数，也可以是积分常数可以是常数，也可以是x,yx,y的函数。可以满足本的函数。可以满足本 题所要求的。题所要求的。 表达式有无穷多个。表达式有无穷多个。 取最简单的情况，即取最简单的情况，即C C（x,yx,y）=0,=0,则则 积分后，得积分后，得 zx z v z

44、2.4 2.4 三维理想流体的运动方程三维理想流体的运动方程 -欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建立了理想流体的密度、速度、压力与外是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建立了理想流体的密度、速度、压力与外 力之间的关系。力之间的关系。 17751775年由年由欧拉欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速与其所受到外力间的关系式即是运动方程。推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速与其所受到外力间的关系式即是运动方程。 1.1.推导过程：推导过程： 取微小六面控制体取微小六面控制体 牛顿第二定律牛顿第二定

45、律oror动量定理：动量定理： 推导依据：推导依据： dt md dt d mamF ）（ 即作用力之合力即作用力之合力= =动量随时间的变化速率动量随时间的变化速率 分析受力：分析受力： 质量力：质量力： fdxdydz 单位质量力：单位质量力： kfjfiff zyx X X方向上所受质量力为：方向上所受质量力为： 表面力：表面力： 因是理想流体，没有粘性，因是理想流体，没有粘性， 0 表面力只有压力。表面力只有压力。 X X方向上作用于垂直方向上作用于垂直x x轴方向两个面的压力分别为：轴方向两个面的压力分别为： 22 MN p dxp dx pppp xx X X方向上质点所受表面力合

46、力：方向上质点所受表面力合力： MN p ppdydzdxdydz x （） dxdydzf x 流体质点加速度流体质点加速度 a 的计算方法：的计算方法： ），（tzyx （即流速是坐标和时间的函数）（即流速是坐标和时间的函数） 流速的全导数应是：流速的全导数应是： zyxtdt d a zyx 当地加速度：当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间的偏导数，反映流场中某处流体运动速度对时间的偏导数，反映 了流体速度在固定位置处的时间变化特性了流体速度在固定位置处的时间变化特性 迁移加速度：迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区域而表现出的速流场由于流出、流进某一微小区域而表现出的速 度变化

47、率。度变化率。 流体质点加速度流体质点加速度 a 在三个坐标轴上的分量表示成：在三个坐标轴上的分量表示成： xxxxx xxyz yyyyy yxyz zzzzz zxyz d a dttxyz d a dttxyz d a dttxyz 代入牛顿第二定律求得运动方程：代入牛顿第二定律求得运动方程： 得得x x方向上的运动微分方程：方向上的运动微分方程： x x dp dxdydzdxdydzf dxdydz dtx 单位体积单位体积流体的运动微分方程：流体的运动微分方程： x x dp f dtx 单位质量单位质量流体的运动微分方程：流体的运动微分方程： 1 x x dp f dtx 同理可

48、得同理可得y,zy,z方向上的：方向上的： y z 1 1 1 xxxxx xyzx yyyyy xyz zzzzz xyz dp f dttxyzx d p f dttxyzy dp f dttxyzz 向量形式：向量形式： 1d fgradp dt 式中：式中： kfjfiff zyx ppp gradpijk xyZ 理想流体欧拉运动微分方程理想流体欧拉运动微分方程 说明：说明： 适用条件：适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体理想流体，不可压缩流体和可压缩流体 当流体处于当流体处于平衡静止平衡静止状态时状态时， 0 zyx 方程变成欧拉平衡方程式方程变成欧拉平衡方程式 1 0fp

49、 通常通常 f 已知，不可压缩流体已知，不可压缩流体 const 可压缩流体要加上流体状态方程可压缩流体要加上流体状态方程 未知数有未知数有 zyx ， 及及P P四个四个 方程有：连续性方程方程有：连续性方程 三个方向的动量方程三个方向的动量方程 流体的状态方程流体的状态方程 例题例题1 1 设有一不可压缩的理想流体的稳定流设有一不可压缩的理想流体的稳定流, ,其流线方程为其流线方程为:x:x2 2- - y y2 2=c.=c.求求: :其加速度其加速度a a的大小。的大小。 当质量力可忽略时当质量力可忽略时, ,求此情况下求此情况下 的压力分布方程式的压力分布方程式 解解: : 流线方程

50、流线方程:x:x2 2-y-y2 2=c. =c. 为二维理想稳态流体为二维理想稳态流体 已知流线微分方程形式已知流线微分方程形式: : 0 yxxy yx dvdv v dy v dx x x2 2-y-y2 2=c =c 两边同时微分两边同时微分2xd2xdx x-2yd-2ydy y=0 =0 v vx x=2y v=2y vy y=2x =2x 对于稳定流对于稳定流: : x y tgyxaaa yyaxxa y x y v x x x v y y y v x y x v t v t v yx yx yy xx y x 122 22 4 422422 0 2 2 2 2 2 0 2 0

51、 根据理想流体运动微分方程:忽略质量力,二维流: 22 1 22 1 4 4 4 2 2 x y dvpp x dtxx dv pp y dtyy xdxydydp xypc pxyc 2.5 2.5 实际流体运动方程实际流体运动方程纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程 （N-SN-S方程）方程） 理想流体：理想流体：无粘性故没有切向力；法向力只有压力，作用在无粘性故没有切向力；法向力只有压力，作用在 流体内法线方向。流体内法线方向。 实际流体：实际流体：因有粘性，因有粘性，故故有切向力，用有切向力，用 表表示示； 法向力：法向力：不仅是理想流体的表面力且还有由于剪切变形的附不仅是理想流体的表面力

52、且还有由于剪切变形的附 加法向力，用加法向力，用 表示表示；拉力取正，压力取负，与弹性理论一拉力取正，压力取负，与弹性理论一 致。致。 222 222 222 222 222 222 xxxx x yyyy y zzzz z dP f xxyzdt d P f yxyzdt dP f zxyzdt （） （） （） 14 三维不可压缩粘性流体流动微分方程三维不可压缩粘性流体流动微分方程 又称又称NavierNavierstokesstokes方程方程 （N NS S） 写成矢量形式：写成矢量形式： 2 d fp dt 式中：式中： 2 2 2 2 2 2 2 zyx 拉普拉斯算子拉普拉斯算子

53、惯性力惯性力= =质量力质量力+ +压力压力+ +粘性力粘性力 1.1.公式适用条件：公式适用条件： 不可压缩流体；不可压缩流体； 黏度黏度 不变；（气体当不变；（气体当 受受T T影响小时可适用）影响小时可适用） 层流层流 2.N2.NS S方程应用：方程应用： 方程未知数方程未知数 xyz p，（ ， 不变） 四个方程可求。四个方程可求。 （1） =0=0时，时，N NS S方程方程理想理想EulerEuler方程。方程。 d fp dt （2 2）静止状态：欧拉方程）静止状态：欧拉方程欧拉平衡方程；欧拉平衡方程； 1 0fp 初始条件、边界条件：初始条件、边界条件： 初始条件：初始条件：

54、在求解流场问题时确定的某一初始在求解流场问题时确定的某一初始 时刻时刻 流场中流体流动的条件。流场中流体流动的条件。 0 xyz pp xyz （ ， ， ） （ ， ， ） 边界条件：边界条件：在求解流场问题时确定的流场边界处在求解流场问题时确定的流场边界处 流体流动的条流体流动的条 件。件。 静止固壁：黏附条件静止固壁：黏附条件 0 运动固壁：运动固壁： 固流 原则上原则上N NS S可解，但因高阶非线性偏微分方程数学上遇到很大困难，目前求解稳态层流且可解，但因高阶非线性偏微分方程数学上遇到很大困难，目前求解稳态层流且 边界条件很简单的例子。边界条件很简单的例子。 N NS S方程物理意义

55、：就是流体微团的动量变化率等于作用在流体微团方程物理意义：就是流体微团的动量变化率等于作用在流体微团 上的合力（牛顿第二定律）上的合力（牛顿第二定律） 一般形式：一般形式： D ggradpdiv Dt （） 思考题：思考题： 1.N1.NS S方程有什么物理意义？方程中哪些是惯性力项，质量力项，表面力项，和粘性力项？哪些项是线性的？哪些方程有什么物理意义？方程中哪些是惯性力项，质量力项，表面力项，和粘性力项？哪些项是线性的？哪些 项是非线性的？项是非线性的？ 2.N2.NS S方程、欧拉方程有何不同？方程、欧拉方程有何不同？ 2.6 伯努利方程 (Bernoulli) 2.6.1 理想流体稳

56、定流动的伯努利微分方程 由由理想流体理想流体欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程 1 1 1 x x y y z z dp f xdt d p f ydt dp f zdt 是是稳定流动稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，与时间无关，都只是坐标函数，与时间无关， 方程转换去除方程转换去除t项项 伯努利（伯努利（D.Bernouli 1700D.Bernouli 170017821782）方程的提出和意义）方程的提出和意义 公式变换去除公式变换去除t：公式右侧变换为：公式右侧变换为： dz d dt dz dz d dt d dy d dt dy dy d dt d dx d dt dx

57、dx d dt d z z zz y y yy x x xx 流体质量力只有重力流体质量力只有重力：fx=fy=0, fz=-g 简化欧拉方程：简化欧拉方程： 1 1 1 g x x y y z z dp dxx d p dyy dp dzz 欧拉方程简化形式：欧拉方程简化形式： 各项分别乘各项分别乘 dx , dy ,dz 得得 ： 1 1 1 xx yy zz p ddx x p ddy y p ddzgdz z 三项相加 说明：说明： 伯努利方程是能量方程式，因推导中曾对欧拉方程中以力为单位的各项乘以长度伯努利方程是能量方程式，因推导中曾对欧拉方程中以力为单位的各项乘以长度dx , dy

58、 ,dz，所以伯努利方程式说明能量守衡概念。，所以伯努利方程式说明能量守衡概念。 上式三项加得：上式三项加得： 因流体质点在空间任意方向上速度与各方向分速度间：因流体质点在空间任意方向上速度与各方向分速度间： 存在：存在： 2222 zyx 1 xxyyzz ddddpgdz 微分后：微分后： zzyyxx dddd 简化后：简化后： 1 ddpgdz Or 1 0gdzdpd 伯努利方程微分形式。伯努利方程微分形式。 说明：说明： 流体质点在微小控制体流体质点在微小控制体dxdydz范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关 系式。系式。 适用范围：适用

59、范围：理想流体、稳定流体、质量力只有重力且理想流体、稳定流体、质量力只有重力且 在微小控制体在微小控制体dxdydzdxdydz范围内范围内沿某一根流线；沿某一根流线； 物理意义：物理意义：揭示了沿某一根流线运动着的流体质点速揭示了沿某一根流线运动着的流体质点速 度，位移和压强、密度四者之间的微分关系。度，位移和压强、密度四者之间的微分关系。 说明：说明： 2.6.2 伯努利方程积分形式 1.沿流线的积分方程：沿流线的积分方程： C dP gz 2 2 设：设： const 2 2 p gzC Or 2 2 p zC rg 理想流体微元流束的伯努利方程。理想流体微元流束的伯努利方程。 1 0g

60、dzdpd 适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定流动、质量力只有适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定流动、质量力只有 重力，且沿某一根流线；重力，且沿某一根流线； 任选一根流线上的两点：任选一根流线上的两点： 说明：说明： 22 1122 12 c 22 pp zz rgrg （流线变化了则C值变化） 静止流体：静止流体： p zC r 静止容器内任一点的静止容器内任一点的z z 与与 P/r P/r 之和为常数。之和为常数。 静力学方程静力学方程 2.物理意义及几何意义： z z : : 单位重量流体所具有的位能单位重量流体所具有的位能N NM/N M/N ；（可以看成；（可以看成m