管理运筹学lindo案例分析报告

1、管理运筹学lindo案例分析(a)Lindo的数据分析及习题(a) 灵敏性分析（Range， Ctrl+R ）用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型时灵敏性分析是激活状态， 但是默认是不激活的。 为了激活灵敏性分析， 运行 LINGO|Options ，选择 GeneralSolver Tab ， 在 Dual Computations 列表框中，选择 Prices and Ranges 选项。灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它

2、。下面我们看一个简单的具体例子。例 5.1 某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示：每个书桌每个餐桌每个椅子现有资源总数木料8 单位6 单位1 单位48 单位漆工4 单位2 单位1.5单位20 单位木工2 单位1.5 单位0.5单位8 单位成品单价60 单位30 单位20 单位若要求桌子的生产量不超过5 件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？用 DESKS、 TABLES和 CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP 模型。max=60*desks+30*tables+20*chairs;8*desks+6*tables+chairs=48

3、;4*desks+2*tables+1.5*chairs=20;2*desks+1.5*tables+.5*chairs=8;tables=5;求解这个模型，并激活灵敏性分析。这时，查看报告窗口（ReportsWindow）, 可以看到如下结果。Global optimal solution found at iteration:3Objective value:280.0000VariableValueReduced CostDESKS2.0000000.000000TABLES0.0000005.000000CHAIRS8.0000000.000000RowSlack or Surplus

4、Dual Price1280.00001.000000224.000000.00000030.00000010.0000040.00000010.0000055.0000000.000000“ Global optimal solution found at iteration: 3”表示3 次迭代后得到全局最优解。“Objectivevalue:280.0000”表示最优目标值为280。 “Value ”给出最优解中各变量的值：造2 个书桌（ desks ）, 0 个餐桌（ tables ）, 8 个椅子（ chairs ）。所以 desks 、chairs是基变量 （非 0），tables

5、是非基变量（ 0）。“Slack or Surplus”给出松驰变量的值：第 1 行松驰变量 =280 （模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束）第 2 行松驰变量 =24第 3 行松驰变量 =0 第 4 行松驰变量 =0 第 5 行松驰变量 =5“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时,目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为 0， 对于非基变量X j ,相应的 reduced cost值.表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max型问题 ) 。本例中：变量tables对应的reduced

6、cost值为 5，表示当非基变量tables的值从 0 变为 1 时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优的目标函数值= 280 - 5 = 275。“DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时,目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p， 表示对应约束中不等式右端项若增加1 个单位， 目标函数将增加p 个单位（ max 型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0。本例中：第3、4 行是紧约束，对应的对偶价格值为10，表示当紧约束3

7、) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS = 20变为 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS = 21时，目标函数值= 280 +10 = 290。对第 4 行也类似。对于非紧约束（如本例中第2、 5 行是非紧约束） ，DUAL PRICE 的值为0,表示对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。有时,通过分析DUALPRICE, 也可对产生不可行问题的原因有所了解。灵敏度分析的结果是Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent

8、AllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseDESKS60.000000.00.0TABLES30.000000.00.0CHAIRS20.000000.00.0Righthand Side RangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease248.000000.00.0320.000000.00.048.0000000.00.055.0000000.00.0目标函数中DESKS变量原来的费用系数为60，允许增加（Allowable Increase） =4、允许减少（ All

9、owable Decrease） =2，说明当它在60-4 ， 60+20 = 56， 80 围变化时，最优基保持不变。对TABLES、 CHAIRS 变量，可以类似解释。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化） 。第 2 行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS）原来为48，当它在 48-24 ，48+ = 24， 围变化时，最优基保持不变。第 3、 4、5 行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。灵敏性分析

10、结果表示的是最优基保持不变的系数围。 由此，也可以进一步确定当目标函数的费用系数和约束右端项发生小的变化时， 最优基和最优解、 最优值如何变化。 下面我们通过求解一个实际问题来进行说明。例 5.2 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A 2 两种奶制品， 1 桶牛奶可以在甲车间用12 小时加工成3 公斤 A1，或者在乙车间用8 小时加工成4 公斤 A2。根据市场需求，生产的A1,A 2 全部能售出，且每公斤A1获利 24 元，每公斤 A 获利 16 元。现在加工厂每天能得到50 桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时2间 480 小时，并且甲车间每天至多能加工100 公斤 A ，乙车间的加工能力没有限

11、制。试为该厂制订一个1生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3 个附加问题：1） 若用 35 元可以买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3） 由于市场需求变化，每公斤A1 的获利增加到 30 元，应否改变生产计划？模型代码如下：max=72*x1+64*x2;x1+x2=50;12*x1+8*x2=480;3*x1=100;求解这个模型并做灵敏性分析，结果如下。Global optimal solution found at iteration:0Objective value:336

12、0.000.VariableValueReduced CostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlack or SurplusDual Price13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX172.0000

13、024.000008.000000X264.000008.00000016.00000Righthand Side RangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease250.0000010.000006.6666673480.000053.3333380.000004100.0000INFINITY40.00000结果告诉我们：这个线性规划的最优解为121x =20，x =30，最优值为 z=3360，即用 20 桶牛奶生产 A ,230 桶牛奶生产 A ，可获最大利润 3360 元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对

14、分析结果有用的信息，下面结合题目中提出的3 个附加问题给予说明。3 个约束条件的右端不妨看作 3 种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus给出这3 种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余均为零，车间甲尚余40（公斤）加工能力。目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟着增长。输出中 DUAL PRICES 给出这3 种资源在最优解下“资源”增加1 个单位时“效益”的增量：原料增加1 个单位（ 1 桶牛奶）时利润增长 48（元），劳动时间增加1 个单位（ 1 小时）时利润增长 2（元），而增加非紧约束车间甲的能力显

15、然不会使利润增长。这里， “效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1 桶牛奶的影子价格为48 元， 1 小时劳动的影子价格为2 元，车间甲的影子价格为零。读者可以用直接求解的办法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束milk ）右端的 50 改为 51，看看得到的最优值（利润）是否恰好增长48（元）。用影子价格的概念很容易回答附加问题1）：用 35 元可以买到 1 桶牛奶，低于 1 桶牛奶的影子价格48，当然应该作这项投资。回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时间， 付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时 2元。目标函数的系数发生变化

16、时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简单地回答。上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化围：x1 的系数为（ 72-8 ，72+24）=（64， 96）； x2 的系数为（ 64-16 ， 64+8） =（ 48， 72）。注意： x1 系数的允许围需要x2 系数 64 不变，反之亦然。由于目标函数的费用系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。用这个结果很容易回答附加问题3）：若每公斤A1 的获利增加到30 元，则 x1 系数变为303=90，在允许围，所以不应改变生产计划，但最优值变为9020+6430=3720。下

17、面对“资源”的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用 （即在最优解下“资源”增加1 个单位时“效益”的增量）是有限制的。每增加1 桶牛奶利润增长48 元（影子价格） ，但是，上 9面输出的 CURRENTRHS 的 ALLOWABLEINCREASE和 ALLOWABLEDECREASE给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制围：milk ）原料最多增加10（桶牛奶），time ）劳动时间最多增加 53（小时）。现在可以回答附加问题 1）的第 2 问：虽然应该批准用 35 元买 1 桶牛奶的投资，但每天最多购买10 桶牛奶。顺便地说， 可以用低于每小时 2 元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，

18、但最多增加 53.3333小时。需要注意的是： 灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。比如对于上面的问题，“原料最多增加10（桶牛奶）”的含义只能是“原料增加10（桶牛奶）”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润的增加大于牛奶的投资。反过来，原料增加超过10（桶牛奶），影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答“原料最多增加 10（桶牛奶）”并不是完全科学的。.吸尘器生产计划某机器公司可以生产三种不同型号的小型吸尘器，A

19、 型、 B 型、 C 型，但最后一种已经不生产了。A型的单价是 1500元， B 型的单价是1400 元。为了完成各月定货， 生产车间必须制定出一个生产计划以使费用最低。因为 A 型和 B 型吸尘器都分别有两种型号： 一种是使用高碳钢 （ STEEL 1）和一些铝； 另一种是使用低碳钢（ STEEL 2）和大量铝，而金属价格差别很大，所以制定最优生产计划并非易事。客户并不在意公司为他们生产的吸尘器是属于两种型号中的哪一种。公司决定使用线性规划制定最优计划，问题的关键是满足客户的总定货要求，在不超过公司的熟练工人与技术工人以及生产能力的限制的情况下使生产费用最小。铝的费用是107 元 10kg;

20、STEEL1： 38 元 10kg， STEEL 2：29 元 10kg 下表给出生产三种吸尘器所需的原材料及劳动力工时等。表 1B 型A 型1 型2 型1 型2 型C型可供应量铝（公斤）0.210.60.2无限高碳钢（公斤）12104无限低碳钢（公斤）119无限熟练工（小时）897859600技术工（小时）91381076400生产能力（小时）788977000公司下月的定货为：B 型吸尘器300 只， A 型吸尘器 500 只，其金属费用305,820 元。由于开工不足，公司决定再次生产C 型吸尘器，售价为800 元/ 只，数量不超过100 只。技术工人可以加班，费用15 元/ 小时。表

21、2线性规划模型变量购购BBAA轻加购买买型右一二一二班买高低除边小铝碳碳型型型型尘项 RHSBUYAIU BUYST1 BUYST2 PRODG1 PRODG2 PRODI1 PRODI2 MUNICI时 OVERTM钢钢器成本10738290000 80015铝1000621200高碳钢010100120400低碳钢00 109011000B 型定货000110000=500A 型定货000001100=300技术工00078895 16400熟练工000810913709600生产线0008978707000轻型除尘器000000010100线性规划模型如上表，其中有 9 个变量， 前三种

22、为三种金属的购买量，后五个是五种不同吸尘器的生产数量； 最后一个是熟练工加班小时数。模型中有九个约束， 前三个约束表明购买的三种金属的数量至少应满足生产需求，后两个表明生产 A 型和 B 型吸尘器的数量要满足定货；再后三个是熟练工、 技术工和生产线生产能力的限制，最后一个表明最多可以生产100 个 C 型吸尘器 .问题 1）：下面各量哪些在目标函数中考虑到了（a) 金属的费用b) 直线劳动成本c) 加班劳动成本d) 管理费用问题 2A 型和 B 型吸尘器的收益，但却考虑了C 型吸尘：为什么在目标函数中没有考虑.器的收益？问题 3： C 型吸尘器的数量为多少，其耗费各种金属的数量是多少？在最优生

23、产计划中，生产了 _100_台 C 型吸尘器，用高碳钢 _400_公斤；用低碳钢 _0_公斤；铝 _20_公斤。问题 4：技术工人加班费用是15 元小时，当这个费用变为多大时最优计划将改变？问题 5：如果不允许加班，那么总费用将如何变化？答：总费用将：_增加 _元_减少 _元_不能确切得知。问题 61 小时，将会产生什么影响？：若熟练工的生产能力增加问题 7：若 B 型吸尘器的定货增加一台，那么它的贡献是什么？问题 8：为使 C型吸尘器市场扩大25 台，公司愿意再支付多少？问题 9：打开 100 个 C 型吸尘器的市场需要 10,000元的广告推销费，这费用合理吗？问题 104000 元推销费

24、打开60 个 C 型吸尘器的市场， 其单价仍为800 元台，：另外一个市场计划是以那么这个计划是否好于原计划？农民生产问题一农户拥有土地100 亩和资金30,000 元，在冬半年（从10 月中到第二年4 月中），农户有劳力 3,500 工时，在夏半年有劳力 4,000 工时，如果有剩余劳动，那么农户就安排其到邻居帮工。在冬半年，工钱是 4.00 元小时，夏半年是 4.50 元小时。农户可以通过种植三种作物和饲养奶牛和蛋鸡来获得现金收入。作物不需投资， 而每买一头奶牛需支付 900 元，一只蛋鸡7 元。每饲养一头奶牛需用地1.5 亩，在冬半年需劳力100 工时，在夏半年需50 工时，每头奶牛每年

25、的纯现金收入为800 元。相应地，养鸡不需土地，一只在冬半年需0.6 工时，在夏半年又需0.3 工时，每只鸡的年净收入为5 万元。农户的鸡舍最大可容鸡3,000 只，牛圈最多可养牛32 头。三种作物每亩所需工时及每年收入如下：黄豆玉米燕麦冬半年工时203510夏半年工时507540年净收入（元 / 亩）375550250农户应养多少奶牛，多少蛋鸡，以及三种作物各种多少亩才能使年净收入最多？建立线性规划模型，变量如下：(a) SOY, CORN ,OATS 分别代表种植黄豆、玉米和燕麦的亩数。(b) COWS, HENS 分别代表饲养奶牛和蛋鸡的数量。(c)XSSUM, SXWIN 分别代表夏半

26、年和冬半年的剩余工时。线性规划模型如下：SOYCORNOATSCONSHENSXSSUMXSWW目标函数37555025080054.504.00夏半年工时507540500.31=4,000冬半年工时2035101000.61=3,500资金限制900730,000土地限制1111.5100鸡舍限制13,000牛圈限制132问题 1：在最优计划中，下面各量各为多少？(a)种植黄豆 _(b)养鸡 _.(c)给邻家帮工，冬半年_ ；夏半年。(d)种植玉米 _(e)种植燕麦_(f) 饲养奶牛 _ (g)年净收入 _问题 2：在最优计划中，使用资金占原有资金的百分比是多少？问题 3： (a)在最优计

27、划中，用来养牛的土地是多少亩？(b) 养奶牛所花费的资金是多少？问题 4：冬半年最后一个工时的边际收益是多少？问题 5若夏半年劳力减少500 工时，那么年总收入将： (a)增加 _减少 _不变 _问题将不可行_问题将无界 _无法判断 _(b) 若夏半年劳力增加 1500 工时，那么年总收入的变化是什么？问题 65%的年利率借款，至多不超过10000 元，那么应借多少？：若农户可从当地银行以问题 7：(a) 如果由于国家的严重饥荒，农户必须种植玉米或燕麦，而且只种一种，那么农户应种植哪种作物？(b) 如果种植 30 亩上面选定作物，那么将使：年收入增加 _年收入减少 _不改变年收入_不能确定 _

28、问题 8：一个地方牛奶场愿出5.00 元小时雇用临时帮工，那么农户应该：（）A.在夏半年帮工B在冬半年帮工C.不帮工 D.不能确定问题 9：假设由于黄豆的大丰收，黄豆价格下降5%因此：年收入将增加 _年收入至多增加 _年收入将降低 _年收入至多降低 _问题 105.20 元小时问农户是否使用帮工？：假设有人愿在冬半年帮工，工钱为如果使用帮工，年收入将增加多少？（假设中使用帮工为100 小时）问题 11计算出农户应养5.75头奶牛，显然零头牛是不可能的，为了予以纠正，应该： (a)A.一头牛也不养B.养 5头牛C.养6头牛 D.不能确定(b)年收入将：每年增加 _每年减少 _保持不变 _不能确定

29、 _计算机输出结果MAX375 SOY + 550 CORN + 250 OATS + 800 CONS + 5 HENS + 4.5 XSSUM+ 4 XSWW SUBJECT TO2) 50 SOY + 75 CORN + 40 OATS + 50 CONS + 0.3 HENS + XSSUM= 40003) 20 SOY + 35 CORN + 10 OATS + 100 CONS + 0.6 HENS + XSWW= 35004) 900 CONS + 7 HENS = 300005) SOY + CORN + OATS + 1.5 CONS = 1006) HENS = 30007

30、) CONS = 100003) 0.15 STEAM + 0.2 NUCLEA + 0.1 SMAHYD + 0.2 MEDHYD + 0.8 LARHYD = 45004) 0.3 STEAM + 0.25 NUCLEA + 0.1 SMAHYD + 0.4 MEDHYD + 0.9 LARHYD = 68005) 30 STEAM + 30 NUCLEA + 40 SMAHYD + 60 MEDHYD + 90 LARHYD=730000END练习题.1. 某公司准备以甲、乙、丙三种原料生产 A、B、C、D 四种型号的产品，每一单位产品对各原料的消耗系数及价格系数等已知条件如下表：产品ABCD资源限量原料甲1.5243550乙4121700丙2312200单位产品价格4631(1) 为解决“在现有原料量限制下，如何安排 A、B、 C、 D四种产品的产量，使总销售收入最大”这一问题，可用一线性规划模型，令 x1 、x2、 x3、x4 依次表示各型号产品的计划产量，试列出这个模型，并记该模型为模型1；(2) 利用一解线性规划的程序解上述问题（模型1），已求得的结果如下：OBJECTIVE FUNCTION VALUE（目标函数值