第八章-Z变换与离散系统z域分析.

1、第八章：Z变换8.1,8.2, 8.3)8.1定义、收敛域（信号与系统第二版（郑君里）.定义（Z变换）：序列x n的双边变换:序列x n的单边变换:(8-1)Z x(8-2)Z x注：1）双边:(8-3)为Laurent级数，其中,Laure nt级数的正则部,n是主部。2)z是复平面上的一点 RM图8-13)对因果序列：单边Z变换=双边Z变换。定义（逆Z变换）：对双边Z变换X zx n z n dzf zj dz f zc z Zom n 1 .j z dzC其中,上式定义:1由Cauchy定理有龙n 1dz1, m(8-4)C为包围原点的闭曲线,=x1X z dzdz(8-5)注：（8-4

2、）的求解:redzrjej则有dz1e1 rjejnd1， m0,m-收敛域：定义（收敛域）：对有界xn，使X zxn z n 一致 的z的n集合。判别方法：X zx n z n ，为充分条件令an x n z n，有两种判别级数收敛的方法。达兰贝尔方法:柯西方法:imnan 1an(8-7)(8-8)若1，则收敛;若1，则发散;若1，则不定。亠 序列的分类与收敛域:右边序列:为圆的外部左边序列:nim nz nim VHmnx n Rmo8-3因果序列收敛域ni0, Rz(8-9)(8-10)(8-11)(8-12)x n，n,n2(8-14)X zx nnn znx n zn n?(8-1

3、5)lim寸TVllz 1zR2(8-16)为圆的内部。o,o |zRX2(8-17)阳o,o zRX2(8-18)双边序列：x n，nJ(8-19)XzXn 0rn z1inx n zn(8-20)=右边序列+左边序列右边序列|zR,，左边序列|zRx2 ,若Rx,则为环状收敛域，RX1 Rx2则无公共收敛域图8-4双边序列收敛域典型序列Z变换： 单位样值函数Z n单位阶跃函数Z u n1 0 z，即全平面解析(8-21)(8-22)斜升函数Z nu n指数函数（右边）Z anu nn0nZn ； j Z(8-23)11 az1(8-24)注：因式分解求Z 1变换的基础与L变换不同,L et

4、而 Zs复指数函数Z ej onu nejoz1?(8-25)指数函数（左边，逆因果序列）Z anu n 1， z az aZ anu n 1， z az a(8-26)8.2 Z 1变换计算方法（信号与系统第二版（郑君里）8.4）-留数方法：(8-27)Xr z XL zn图8-5双边序列收敛域中的围线C1C1Xz dz(8-28)1rji cRes zn 1Xr ziRes zn 1XL zjn 11z XR z dz2 ji极点口 u nXL z dz（右边）极点Pju1（左边）注：1）（正）包围：逆时针方向走，极点在围线的左侧;负包围：逆时针方向走，极点都在围线的右侧。2）若zn 1X

5、 z的极点zm为r阶，则r 1n 11dn 1r .ReszXzczXzzZm良金z zm r 1 ! dz当 r 1 时，Res zn 1X zzn 1X z z zm |zz zmIFZ = 0随着n的取值不同分别是二阶、一阶极点, 当n 2时，极点为:Z11、 z20.5或不是极点。32z 2z 1 n 2 z z 0.53zz2z21 n 2z1z 0.5（与LT逆变换类似）冶z3 2z2 1例：X z ，;z 1z z 1 z 0.5求：x n ?解：右边序列x n x n u n ；n 2n 2 z3 2z21z X z zz 1 z 0.5当n 0时，极点为：乙1、Z2 0.5、

6、Z3 Z4 0Z3= Z4=0为二阶极点，其留数=6，可求得：x 08 130.5 0 6 1n当n 1时，zn 1X z有二个一阶极点：Z1 1、Z2 0.5、可求得：x 13.5 n 1综上，有 x nn 3.5 n 18 130.5 “ u n 22nZ30n8 130.5 u專长除法：略。-部分分式展开法：类似拉氏变换,Z变换亦有其基本单元:(8-29)由于基本单元分子中含有因子z，因此应该对z1X z作部分分式展开:，这样才能使Xm 0 z zmK Amz其中:zm是z的极点；系数为 Am= Res显然，z0X z0是的极点；A)=Resz例：X zz2 2z 1-2 z1.5z0.

7、5求：x n1)解：X z1)z符合基本单元的形式。z Zm ResX z z0 z1 2z 1121 1.5z0.5z1, 2)z 0.5，3)0.5 |zA1z z 0.5 z 11 z1 0.5z 1 z2 2z 1B A z z 0.5X zResX z |z 0 2z z 0X z zm z z zmX z Res -z 0.5zX zRes -zn90.5 u n 8u n2) z 0.5B2, A19, A2 8nx n 2 n 90.5 u n 1 8u n 13) 0.5 |z 1B 2, A19, A2 8x n 2 n 90.5 n u n 8u n 18.3 Z变换性质

8、-线性性质:（信号与系统第二版（郑君里）8.5)Zx nZi iii 1i 1xj n(8-30)“位移：用移位前序列的Z变换表示移位后序列的Z变换。双边Z变换移位性质：m mZxnm z Z x n z X z（ 8_31）z收敛域注：1）m 0，右移（延迟）m步；m 0，左移（导前）m步。2）引入m步延迟算子：z mx n x n m（8-32）Z z mx n z mX z因果序列右移的Z变换性质：Zxn Zxnun X z（ 8_33）zmX因果序列左移的Z变换纳入下列性质。双边序列左/右移的单边Z变换:Z x n u n X z左移性质：Z x n m u nm 、z X zm 1k

9、x k zk 0(8-34)直观分析：左移 m后，单边Z变换应该从序列的x(m)项开始。而 原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的，因此需要减掉。口诀：左移项少须减掉。右移性质:Z x n m u nmz X z1kx k zk m(8-35)直观分析：右移m后，单边Z变换应该从序列的x( m)项开始。而原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的，因此需要把这 m项加上口诀：右移项多须外扩-线性加权 Z域微分Z nx nzX zdz(8-36)(8-37)(8-38)口诀：线性加权慢，微分负号z相伴思考题：序列线性加权后，收敛域是否变化? “指数加权 Z域尺度变换n、，zZ a x n

10、X - a口诀：征集中-初值定理：若x n为因果序列，则x 0 lim X zz-终值定理：若x n为因果序列，z 1 X z在单位圆上/外解析(在单 位圆上，X z可有z 1的任意阶极点)，贝U(8-39)lim x n limnz 1证明：x n是因果序列，贝U x z由序列左移后的单边变换性质有:zX z zx 0，于是Zxn1x n即：x n1x nn 0取极限：limr 4x nz 1n 0得: xx0limz 1xlimz 1z1 XzXznz1zzzx 0zxizm1 zzx 0例1:单位阶跃序列x n在z=1处有一阶极点，单位圆上其它点及圆外解析,因此有:例2:指数序列x na

11、nu n，0a 1,则x例3:指数序列x n单位圆外有极点za，则不宜用终值定理。例4:斜变序列x nnun，显然x。由终值定理验证:01 z 1 X zlim z 1 z 1z 1，亦为无穷大。例 5: x n cos n 0n，Z cos n 0z z cos 0u n -z 2zcos 0 1两个极点为：z cosjsin 0,在单位圆上，故不能用终值定理。事实上，序列一直振荡，终值不确定。卷积定理：Hz Zhn ， X z Zxn ，则Zxn hn X z H z（ 8_40）收敛域：两个z变换收敛域的公共部分。零极点相消可扩大收敛域。卷积定理可用于在z域求解，然后逆变换得到时域卷积的

12、结果。此外，还可以用于求反卷积。卜Z域卷积定理序列乘积的z变换:r1Z x n h nClv 1dv2 jiC2Xv 1dv v(8-41)X zC1 为 X - v的公共收敛域内逆时针旋转的围线。C2相同。收敛域：由RhiR”z确定X - Hvv v 1的收敛域。Rh2即:若令v ej ,re常数，r常数，则dvj ej d ，则有iC2XejH -ej(8-42)上式即为XejejHej的卷积。可见（8-41)式定义之合理性。r Paserval 定理:证明：Z x n令 z = 1,jiCXCXz 1dzcX1dv，(8-43)v 1dvv z得到定理公式。注：1）条件：X z ,H z

13、收敛域含单位圆，可以令2）单位圆的表示：z 1 z ej T，取式中C为单位圆，则有3)内积不变性:T由+ ,则（8-43）式化为:x n*h nT TxejTH*j T.e dn2T4)能量不变性:取h nx n ,则.2T 7-_jT2X nTX ejdn1 12T1dz jTej Td 。(8-44)(8-45)8.4 Z变换与L变换的关系（信号与系统第二版（郑君里）8.6)z: s的关系:物理延迟:讣）*延迟丁(a)ri-STesrXS)(b)乂忆）(c)图8-7物理延迟的表示：（a）时域、形式相等：(b) S域、（c） Z域表示XssTz e7lnz(8-46)nTt nT2 一 一

14、为米样间隔sXs sXs ssTIs 1lnTsTn eXs tnTsnT ex nT形式XsT e，z reJe2seJ2n sTeJnTeJ2s(8-47)周期为s平面到z平面的映射关系如下:s多0虚轴0左半开平面0右半开平面z1z 1单位圆，周期为z 1单位圆内z 1单位圆外-采样序列Z变换与原信号的L变换的关系:x()兀(才z(z)=rx(rt)$郭)讥)nsT其中：Re(s)图8-9XsXs t+jX jdp(*)注:1)是稳定信号Xp的极点 i2)的收敛域,Re s p 0ReRe s(* )式化为:+jj X p11 e s pTdpcrX11 e spTdpjICndp(X p

15、为有理函数，上式第三项为零)Res Xp的极点口一阶极点Pi X p1 pT z en Xs| 1与上式结果相同。s ln zT例：XAj p PjAjX zj P PjRes1 pTi1 z eAjj 1 z 1ePjTp Pi8.5 Z变换解差分方程（信号与系统第二版（郑君里）8.7）NMaky n kbrx nr（8-48）k 0r 0NMZaky n kZbrxnrk 0r 0NMak Z y n kbr Z xnrk 0r 0N1M1k丨akz丫 zy l zk 0l kbrz r Xr 0zmx m zm r（8-49）可直接带入初值求丫 z，并求逆变换得y n。如果因果序列输入：x n0, n 0,且零状态：y n 0, n 0 ,则有Mbr z rY z 邯 X