11.1平方根与立方根

1、11.1平方根与立方根重、难点研习研习点1:平方根概念如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a的平方根(二次方根). 用数学语言表达即为：若 x2=a，则x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算.【归纳整理】一个正数a的正的平方根，用符号“表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“”表示，a的平方根合起来记作，其中+ 读作“二次根号”，；读作“二次根号下 a”.根指数为2时，通常将这个 2省略不写，所以 正数a的平方根也可记作“：心”读作“正、负根号 a” .2. 平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根

2、与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算典例1下列各数的平方根：兰 21(1) 81 ;(2)二；(3):;(4) 0.49.【研析】(1) ( 9)2=81, 81的平方根为土 9即:J 二-：; (土 y -善(2) ： 一，工1 土匹二的平方根是 即 二v21=-,仕 工(3) ： 一 ,.212 土历崩.的平方根是.，即上 ;2(4) T ( 0.7) =0.49 , 0.49的平方根为土 0.7 .趾丽=07研习点2:平方根的性质1一个正数有两个平方根，它们互为相反数.2. 0有一个平方根，它是 0本身.3负数没有平方根.【探索发现】 数a是否有平方根，应根据 a的取值而定，一

3、般地，当 a是正数时，a 有两个平方根，它们是互为相反数；当 a是0时，只有一个平方根是它本身；而当 a为负 数时，则没有平方根，所以判断一个数 a是否有平方根一定要注意 a的隐含条件，即a 一定 是非负数.典例2求下列各式中x的值：(1)【研析】这里要求灵活运用开平方的知识来解方程，如果把方程左边展开， 则走入误区,必须运用开平方的知识求解.解:(1)7 .13X = _sJZjf 2x3 = 10i2x+ 3 = -10，则 22二 1 t x 或1 - X - X =或X =I，则本题不要将原方程利用乘法公式变形展开，把括号里的看作整体处理，因此问题就转化为求平方根问题但要注意一个正数的

4、平方根有两个研习点3 :算术平方根正数日有两个平方根(表示为士苗)，我们把其中正数冕的正的T工打二，兀.、；.0的平方根也叫做o的算术平方根，因此0的算术平方根是 o,即二 f-.【辨析比较】算术平方根的符号“-”不仅是一个运算符号，如 a 0时， a表示对 非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根.例如亦既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平期艮.典例3求下列各数的算术平方根：49(1)100( (2) ； 10宀 0)049.【研析】 因为102=100,所以100的算术平方根是10,即，丁 ：因为12=击，诘牯所以击的算术平方根是即- 0.7.研习

5、点4:平方根与算术平方根的区别及联系区别：（1） 定义不同：“如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的 非负平方根叫做a的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为 、二，正数a的算术平方根表示为 丄】.（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数 互为相反数联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有（3） 0的平方根、算术平方根均为0.【辨析比较】平方根的符号有三种形式：土

6、、二，、二，一丄；，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数 a的负平方根.要特别注意、二工丄 .典例4填空：（1）1的平方根是 ;立方根为 ;算术平方根为 .（2）平方根是它本身的数是.（3）立方根是其本身的数是.（4）算术平方根是其本身的数是 .（5）-厕 的立方根为 .（6）耳的平方根为.的立方根为.解： 1; 1; 1.（2）0 .（此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误.）（3） 1和0.（由此题，再复习一道立方根的性质.）（4）0 ,1.（此题有学生可能会忘掉 0.）-2 （此题学生易得出-4的答案，应引导学生将M 翻译为-8，在求立方根，也有学生将看

7、成得到-j ,讲解时注意）（6）二二（此题首先让学生把r 计算出来，再求平方根，而且平方根有两个）-2 .研习点5:立方根1. 立方根的概念：如果一个数的立方等于 a,这个数就叫做a的立方根.（也称数a的三次方根）用数学式表示为：若x3=a,则x叫做a的立方根，或称 x叫做a的三次方根.2. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方运算与立方运算互为逆运算.3. 立方根的表示方法：类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号：二 来表示.读作“三次根号下a”,其中a叫做被开方数，3叫做根指数.4. 立方根的性质：正数的两方法供是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.【类比扩展】方根概念的拓展概念：若x = a，贝y x叫a的n次方根表示为 x,（ n兰2的整数）n为偶数时，可对比平方根a - 0时，a有n次方根；a : 0时，a的n次方根不存在.n为奇数时，对任意的 a都有n次方根. 归纳：A： n为偶数时，疗=|a|，(需)n =a(a 3 0)；n为奇数时：n an =(n.a)n =