GCT线性代数辅导讲义

1、GC既性代数辅导讲义GCT线性代数辅导第一讲行列式行列式的定义一阶行列式定义为an an二阶行列式定义为ai1ai2a21a22aa22ai2 a2i在n阶行列式中，划去元素a.所在的第i行第j 列，剩余元素构成n 1阶行列式，称为元素a.的 余子式，记作M ,.令Aj ( 1)i jM s，称Aij为as的代数余子式.n阶行列式定义为aa1121a12a22a1na2na11 A11 a12 A12a1 n A1nn1an2ann二行列式的性质1 .行列式中行列互换,其值不变.ana12a13a21a 22a23a31a 32a 33ana21a31a12a 22a32a13a23a332行

2、列式中两行对换，其值变号.a11a12a13a21a22a23a21a22a23a11a12a13a31a32a33a31a32a333. 行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因 子提到行列式外.a11ai2ai3aiiai2ai3ka 2ika?2ka 23ka21a22a23a31a32a33a31a32a334行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和.a31ai2a22b22a32ai3a23b23a33aiiai2ai3a2ia22a23a31a32a33aiiai2ai3b2ib22b23a3ia32a33由以上四条性质，还能推出下面几条性质5行列

3、式中如果有两行元素对应相等，则行列式 的值为0.6行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列 式的值为0.7行列式中如果有一行元素全为0,则行列式的 值为0.8行列式中某行元素的k倍加到另一行，其值不变.aiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a33aiiai2ai3a2ia22a23a3ikaiia32kai2a 33kai3 n阶行列式展开性质aiia21ai2aina2nan1 an2ann等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即按列展开定理D ai j A1ja2j A2 janj Anjj 1，2，nn阶行列式D的某一行的各元素与另一行对应 元素的代数余子式的乘

4、积的和等于零.ai1Aji ai2Aj 2ain Ajn 0按列展开的性质aii Aija2i A2 ja ni Anj0四.特殊行列式a22a11aiia22annannaia2n(n 1)12 Cn a2n 1 an1an1三角行列式和上面的对角行列式的结上（下） 果相同.五.计算行列式消零降阶法.消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对 角行列式）.典型习题x 231.D33 x 121 x(x3 13x 13)1 a 22.设8 3 5的代数余子式A21 4，则a =()146(-2)21X2x11X1中X40X20X01X的系数是（(2)4 .D4X1a1a2X2X3a3x4X1X2

5、X3X4(1)111x1D411x111x111X 1111X431323 3 11D43 012则A2A32A423122(0)或b 0)0，则 a (ana12a132a112a122a139 *.设a21a22a23M 0,则2a312a322a33a31a32a332a212a222a23(a(8M)10. f(x)x2x3xx 12x 13x 3x2x3x0的根的个数是(1)g(x)11.(x 1,12*.设1, 2 )a,b,c是方程2x 40的三个根，则行列0的值为()(0)a b c b c a cab第二讲矩一.矩阵概念和运算1. 矩阵的定义和相等2. 加法擞乘，乘法,转置，

6、方阵的幂乘的定义及性质.满足尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律 结合律，左（右）乘分配律等.若A, B是n阶方阵，则AB| IAB 特殊方阵3.逆矩阵定义：AB BA IA可逆A 0公式：A 1 -1 A*1A、可逆矩阵的运算性质4.伴随矩阵定义：A Aj 基本关系式：AA 与逆矩阵的关系：A1AIA1 -A A行列式:A* An,秩：r(A*)1,0,r(A) r(A) r(A)5.矩阵方程设A是n阶方阵， 阵方程AX B有解，其解为矩阵，若A可逆，则矩X A 1B设A是n阶方阵，B是m n矩阵，若A可逆，则矩 阵方程XA B有解，其解为X BA 1二初等变换矩阵的初等行(列)变换：(1)

7、交换两行(列)；(2) 用一个非零常数乘某一行(列)；(3) 某行(列)的k倍加到另一行(列)上.A I I A1(初等行变换)三.矩阵的秩1定义在m n矩阵A中，任取k行k列，位于这k行k列交 叉处的k2个元素按其原来的次序组成一个 k阶 行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.若矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有r 1 阶子式全为零，则称矩阵A的秩为r。矩阵A的 秩记作r(A).显然有 r A 0 A 0r Am ” min m, nr(A) r A中有一个r阶子式不为零；r(A) r A中所有r 1阶子式全为零.对于n阶方阵A， r(A) n A 0对于n阶方阵A，若r(A) n，则称A是满

8、秩方阵.2. 重要定理对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩.3. 矩阵的秩的求法阶梯形矩阵满足以下条件的矩阵称为阶梯形：(1) 所有零行都在矩阵的底部；(2) 非零行的第一个元素称为主元，每个主 元在前一行主元的右方；A(初等变换)阶梯形U,则r(A) U中主元的个 数4. 矩阵的秩有以下一些常用的性质：(1) r(A) r(AT) . r kA r A (k 0).(2) r(A B) r(A) r(B).(3) r AB r A,r AB r B(4)若 AmnBns 0，则(A) r(B) n，其中 n 为矩阵 A的列数.(5 )若A可逆，则r(AB) r(B).若B可逆，则 r(AB) r

9、(A).典型习题1. A,B都是n阶阵,则下列结论不正确的是() A .|a b |a |bB. abt| |a bC.|ab AnB12. A, B M3, 且 |A 2, B 3, 求 1a 2A*2A*B1 .(-108, 32/3)2001003 .P 010 ,A0200010021J002J0021001104.设A 020 , B122 ,003013则 P 1AP100()C ab 1,则C 1中第3行第2列的元素是A.1B. 2323210 15.A 02 0AX I A210 12 0 1(0 30)1 0 2C. 1D.(B)X,则 X()6. A,B都是n阶阵,A 0,

10、AB 0.则下列结论正确的是()A. B 0B. |A 0 或 |B 0 C. BA 0D. (A B)2 A2 B2(B)7.设A, B,C, I都是n阶阵，满足ABC I则A. BCA IB. ACB IC. BAC ID.cba i（A）8 设B2 B，A I B .则下列结论不正确的是（）AA可逆. B. .A不可逆D.a2I可逆1 1 1(B)9.设A 0110 0 111 1(01 1 )00 1C. A 31可逆则A* 110* 设 A M4，r A* 0,则 r A(A)1 或2(A)1 或 3(A)2 或 3(A)3 或 4(A)11 1 23T,12 3 , A,则r A(

11、 )(1)12 212 .设 A4t3,t(）时r A 2。31 1(-3)20012313 .设 A 341 ,B246 ,则 r AB B( )。245369(1)1 10,则14*.设 A 2 0 ,B31D. AB 0(D)1 2 215*.设A 2 6 x ,三阶矩阵B 0,且满足AB 0,则306A.x8, r(B) 1B. x 8,r(B) 2C.x 8,r(B)1D.x 8,r(B)2(A)第三讲向量一.向量组线性相关与线性无关1向量组的线性组合与线性表示设1, 2, , s是n维向量，k,k2, ,ks是数，贝U ki i k2 2ks s称为向量1，2, , s的一个线性组

12、合.若k1 1 k2 2ks s,称可由1, 2, , s线性表出.2. 线性相关与线性无关定义 设1, 2, , s是n维向量，若存在不全为零的数 k1,k2, ,ks，使得k1 1 k2 2ks s 0，则称1, 2, , s线性相关否则称线性无关.定理若1, 2, , s线性无关，而1, 2, , s,线性相关,则可由s线性表出，且表示法惟一.判断设1, 2, , s是n维向量,1, 2, , s线性相关 r 1 ,2 ,s S存在某个向量可被其余s 1个向量线性表出.n个n维向量1, 2, , n线性相关| 1, 2, n 0n 1个n维向量1, 2, , ”1必线性相关增加向量组向量

13、的个数 相关性减少向量组向量的个数 无关性增加向量组向量的维数 无关性减少向量组向量的维数相关性，不改变向量组的线性，不改变向量组的线性，不改变向量组的线性，不改变向量组的线性含有零向量的向量组必线性相关含有两个相同向量的向量组必线性相关向量组的秩和极大线性无关组1 .定义设向量组h, i2, , i.是向量组的一个部分组.满足1）il，i2，ir线性无关；2）向量组!, 2, , s的每一个向量都可以由向量 组ii， i2， ，ir线性表出，则称部分组i” b，ir是向量组1, 2, , S的一个 极大线性无关组.且向量组的极大线性无关 组中所含向量的个数称为这个向量组的秩.2. 求法任何矩

14、阵都可以通过矩阵的行初等变换化作 阶梯形.求极大线性无关组的步骤：1. 将向量依次按列写成矩阵；2. 对矩阵施行行初等变换，化作阶梯形；3. 阶梯形中主元所在列标对应到原向量构例如1 ,2,3,4 ,510102换）001020011200000成一个极大线性无关组;A （行初等变主元所在列是第1列，第2列，第4列，因的一个极大线性无关组是4 .且r 1,2 ,3,4 ,53三.向量组的秩与矩阵的秩设A是m n矩阵，将矩阵的每个行看作行向量， 矩阵的m个行向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的行秩.将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的n个列向 量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的列秩.矩阵

15、的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩.（三秩 相等）典型习题1 下列向量组中线性相关性的向量组是（A.012T,34t.B.10 0a0 3 4 0T.C.D.（D）2.设向量组 是（A.10 0a1 0 1 T3 4 0T 43 12 T3线性无关，下列向量组无关的B.C .1 2 2 , 23?123D.12 ? 23?31(A)12,23，3112i 23，313 * .设向量组,线性无关，而向量组2,2 k ,3 线性相关，则kA. 3B. 2C.-2D.-3（D）4*.设向量组,线性无关，则k 1是向量组k, k, 线性无关的A.充分必要条件B.充分条件，但非必要是条件C.必要条件，但非充分

16、是条件D.既非充分条件，也非必要是条件（C）5. 1 1t 3T,0 t 5T, 31 0 t t, t量组3线性无关.C.t 2D. t(D)6*.设(0,2,1,1)t,(1,1,1,1)T,3(1, 1,0,0)T,(0,0,1, 1)它们的一个极大线性无关组是A. 1, 2 B.C.D.(D)7. 11 2 2 3 3 ,212 ,35 1 2 2 7 3 .贝A.向量组1, 2, 3线性无关.B.向量组1, 2, 3线性相关.C. 仅当向量组1，2, 3线性无关时，向量组 线性无关.D. 仅当向量组1, 2, 3线性相关时，向量组1, 2, 3线性相关.(B)8. 设A,B为满足AB

17、=0的任意两个非零矩阵，则 必有A.(A)B.C.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性D.A的列向量组线性相关， A的行向量组线性相关，A的行向量组线向相关，9.设向量组，线性无关，向量组A.必能被,线性表出.C. 必能被，线性表出. D.(C)10*.设X是n单维位向量，若A. gE.B的列向量组线性相关。B的行向量组线性相关。B的列向量组线性相关。，线性相关。则B.必不能被，线性表出 必不能被，线G XX T，则 G2G( )C.1D. I(A)11.设向量组1，2, 3线性无关，向量组1, 2, 3, 4线性相关，r( 1,2 ,3 ,设向量组 !425)(),2, 3, 5线性无关。

18、贝9A.2B.3C.4D.5(C)1 2312.设 A 2 t6,BM3,r B2,且 AB 0.则 t ().3 69A.2B.4C.-2D.-4(B)第四讲 线性方程组解的理论一齐次线性方程组设n元齐次线性方程组a1a2 X2amXn0a21 X1a22 X2a2nXn0am1X1am2X2amn Xn0如a12a1n系数矩阵Aa21a22a2nam1am2amn令 Xx;,x2,XnT，则线性方程组可写成矩阵方程的形式:AX O若令 1 a11, a21,T,an1,2厲2 ,a22 ,T,a2n以写成向量方程的形式:Xi 1 X2 2Xn n 0 1. 齐次线性方程组有非零解的判定条件

19、设A Mm,n，齐次线性方程组AX 0有非零解 r(A) nAX 0只有零解r(A) n.即系数矩阵A列满秩.设A是n阶方阵，齐次线性方程组AX 0有非零 解 |A 0 .AX 0只有零解|A 0 .设A Mm,n ,当m n时，齐次线性方程组AX 0必有 非零解.2. 齐次线性方程组的解的性质若1 ,2是齐次线性方程组AX 0的解，则和(i 2)仍是AX 0的解.若是齐次线性方程组AX 0的解，则的任 意常数倍(k )仍是AX 0的解.3. 齐次线性方程组AX 0的解的结构 AX 0的一个基础解系1, 2, t .其要点为：1, 2, t都是AX 0的解，它 们是线性无关的，(3)AX 0的

20、任何一个解都可以由它们线性表出.因此基础解系往往不是惟一的.若n元齐次线性方程组AX 0的系数矩阵A的秩 r(A) r，则基础解系中含有nr个线性无关的解向量.(这一点和上面的 等价，即t n r).若i, 2, , t是齐次线性方程组AX 0的一个基础 解系，则齐次线性方程组AX 0的通解(一般解)是X ki i k2 2kt t其中ki,k2, ,kt是任意常数4. 解齐次线性方程组AX 0的基本方法解n元齐次线性方程组AX 0的基本步骤：(1) 对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作行 阶梯形；(2) 假设有r个非零行，则基础解系中有nr个 解向量.选非主元所在列的变量为自由未知量；(3)

21、将自由变量依次设为单位向量，求得所需 的线性无关的解向量为一个基础解系.二非齐次线性方程组设非齐次线性方程组CnXnai X a2 x?b2a2nXnamnXna?iXi a 22 X2am1X1 am2X2记系数矩阵为A Mm,n,常数项向量为b Rm，则非 齐次线性方程组可写作AX b方程组的增广矩阵ai1ai2a21a22ain b1 a2n b2am1am2记作A A bamnbm对应的齐次线性方程组AX 0称为非齐次线性方程组AX b的导出组.1 非齐次线性方程组有解的判定非齐次线性方程组AX b有解的充分必要条件 是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.即r(A) r(A b)若n元非齐次

22、线性方程组AX b有解，即r(A) r(A b) r当r n时，方程组AX b有惟一解；r n时，方程组AX b有无穷多解.当系数矩阵A Mn时，非齐次线性方程组AX b有 唯一解|A 02. 非齐次线性方程组解的性质设1,2是非齐次线性方程组AX b的两个解，则2是导出组AX0的一个解.非齐次线性方程组 AX b的任一解与导出组AX 0的解的和是非齐次线性方程组 AX b的解.3. 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组AX b的通解（一般解）是非 齐次线性方程组的一个特解 +导出组的基础 解系的线性组合.即 设非齐次线性方程组AX b，若r（A） r ,是AX b 的一个特解，1, 2,

23、 ,nr是导出组的基础解系，则AX b的通 解（一般解）是X典型习题1*. A Mmn,AX 0只有零解的充分必要条件是A. A的列向量组线性相关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D . A的行向量组线性无关（E）2. A Mmn,AX 0是AX b对应的齐次方程组.则A.若AX 0只有零解，则AX b有唯一解.E.若AX 0有非零解，则AX b有无穷多解.C.若AX b有无穷多解,则AX 0有非零解.kl 1kn r nr,其中& , , k” r是任意常数D若AX b无解,则AX 0只有零解.(C)3 .A M/A的行向量线性无关，则错误的是A. ATX 0只有零解.Ea

24、tax 0必有无穷多解Cb,ATX b有惟一解 DbAX b总有 无穷多解.(C)4设A Mn,其每行之和都为零，且r A n 1.则AX 0的通解是().(k(1,1,1,1)T)5.已 知 三 阶矩阵A 的秩r(A) 1,221 1T 35 0 kT, 11 3 0T是方程组AX 0的三个解向量,则常数kA. 2B. iC. 2D. 3(D)6. 已知三阶非零矩阵B的每一列都是方程组x12*22x302x-iX2X30的解,则，B3x1X2X30(10)8 .设11T1 1 0,2 01 2T2 , 3 2 0 1 2 T1 10 00 2 1 2T,则齐次线性方程组Xi x2 x402x

25、3 x40的基础解系是(C)(A)1, 2(B)2, 3(D)3, 4, 5(C)X1X2X39 .方程组X1 X2 X32,它的基础解系是().(20010.设2 1T k1TT1 1 0k21 0 1r A4 431 0 2TT k2）是AX b的三个解向量,3T.则AX b的通解是（）.1T)11.设一个基础解系A. 241 0 2T, 2B.1T为齐次方程组C.AX0D. 40(A)12.设3是齐次方程组AX 0的另一个基础解系是AX 0的一个基础解系，则D.C.(C)13. A可逆的充分必要条件是A. AX b有解.B. AX 0有非零解.C. x 0时AX 0D.r A n(C)a

26、1a? a3a1x1a2x2a314.设 A b1b2 b3，且可逆，则方程组b1x1b： X2b3C1C2c3C2X2C3A.有唯一解.B.有无穷多解.C.无解 D 不能确定(C)第五讲 特征值与特征向量一特征值和特征向量的定义，性质与计算1定义设A Mn , X 0 , AX X ,是A的特征值，X是A的属于特征值 的特征向量.2 .性质6. 若X!,X2都是A的属于特征值 的特征向量，则X1 X2也是A的属于特征值 的特征向量.7. 若X是A的属于特征值 的特征向量，k是非零常数，则kX也是A的属于特征值 的特征向量.3 求法8. A 的 特 征 多 项 式：aiai2fA（）a21a2

27、2an2aina2nannfA（）A =09. 由（iI A）X 0属于i的特征向量.（求基础解系）10. i trA內11. i det A12.属于不同特征值的特征向量是线性无关的.二相似矩阵1概念定义设A M”，若存在可逆矩阵P，满足P1AP B , 则称B相似于A.记作A B2性质 相似矩阵有相同的秩，相同的迹，相同的行列式，相同的特征值.3. n阶方阵的相似对角化的条件n阶方阵A可对角化 是A有n个线性无关的特n阶方阵A可对角化 A的每个特征值的重数等 于它对应的线性无关的特征向量的个数.I A (1)ni(2)n2 (s)n-(其 中即若n1n?足 n)贝V n阶方阵 A 可对角化ni n r(A). (i 1, 2,s).n1n2n$方阵A有n个不同的特征值,1.方阵的相似对角化的步骤特征多项式A可对角化.Aana2i的ai2a22al na2nanlan2ann求出A的n个特征值 的特征值)(2) 解齐次方程组：ii2， n.(其中可能有相重AX 0 .(i 1,2, n ),求出 A的每个特征值对应的线性无关的特征向 量.即求(3) 若A共有n个线性无关的特征向量 则令P XiX, Xi1 AX 0的基础解系.Xi,X2, X2,1P 1AP2注意i与Xi的对应关系.典型习题2 1 25 a 3的特