平方差完全平方公式(培优1)

1、平方差完全平方公式一选择题（共1 小题）1（ 1999?烟台）下列代数式， x2+x ，其中整式有（）A 1 个B 2 个C3 个D4 个二填空题（共3 小题）2 3x+52（ 2011?湛江）多项式 2x是_ 次_项式3（ 2010?毕节地区）写出含有字母x，y 的四次单项式_（答案不唯一，只要写出一个）4（ 2004?南平）把多项式2x2 3x+x3 按 x 的降幂排列是_ 5（ 1999?内江）配方： x2+4x+_=(x+_ ） 2配方： x2-x+ _=(x-1 ） 22三解答题（共26 小题）5计算：（ 1）（ x y）（ x+y ）（ x2+y 2）（ 2）（ a 2b+c）（

2、a+2b c）6计算： 1232 1241227计算：8（ x 2y+z ）（ x+2y+z ）9运用乘法公式计算（ 1）（ x+y ） 2（ xy） 2；（ 2）（ x+y 2）（ xy+2 ）；（ 3） 79.880.2；（ 4） 19.92 10化简：（ m+n 2）（ m+n+2 ）11（x 2ym）（ x 2y+m ）12计算（ 1）（ a b+c d）（ c a d b）；（ 2）（ x+2y ）（ x 2y）（ x4 8x2y2+16y 4）13计算： 20082 20072+200622005 2+2 2 1214利用乘法公式计算： （a 3b+2c ）（ a+3b 2c） 4

3、72 9427+27215已知： x2 y2=20 ，x+y=4 ，求 x y 的值_16观察下列各式： （ x 1）（x+1 ） =x2 1；（ x 1）（ x2+x+1 ） =x 3 1；（ x 1）（ x3+x 2+x+1 ） =x 4 1（ 1）根据上面各式的规律得： （ x 1）（ xm1+x m2+xm3+x+1 ） = _；（其中 n 为正整数）；（ 2）根据这一规律，计算1+2+22+2 3+24+268+269 的值17先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（ 2+1 ）（22+1）（ 24+1）解：（ 2+1）（ 22+1）（ 24 +1） =（ 2 1）（ 2+1

4、 ）（ 22+1 ）（ 24+1） =（22 1）（ 22+1）（ 24+1）=（ 24 1）（ 24+1） =28 1248）（ 364）问题：化简（ 3+1 ）（3+1）（ 3 +1）（ 3 +1+11819（ 2012?黄冈）已知实数x 满足 x+2的值为 _ =3，则 x +20（ 2007?天水）若a2 2a+1=0 求代数式的值21（2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a22ab+b2=（ ab）222、（222的三种不同形式的配方（即 “余项 ”分别是常数项、例如：（ x

5、1） +3 、（x 2）+2xx 2） +x是 x 2x+4一次项、二次项见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（ 1）比照上面的例子，写出 x2 4x+2 三种不同形式的配方；（ 2）将 a2+ab+b2 配方（至少两种形式） ；（ 3）已知 a2+b2+c 2 ab3b 2c+4=0，求 a+b+c 的值22（ 2004?太原）已知实数a、b 满足（ a+b） 2=1，（ a b） 2=25，求 a2+b2+ab 的值23（ 2001?宁夏）设a b= 2，求的值24已知（ x+y ） 2=49，（ x y） 2=1，求下列各式的值：2 2（ 1） x +y ；（ 2） xy25已知

6、 x+=4，求 x的值26已知： x+y=3 ， xy=2 ，求 x2+y 2 的值27已知 a+b=3， ab=2，求 a2+b2，（ a b） 2 的值28若 x+y=2 ，且（ x+2）（ y+2） =5，求 x2+xy+y 2 的值?2010-2013菁优网29 x2 11x+1=0 ，求 x2+的值30已，求下列各式的值：（ 1）；（ 2）?2010-2013菁优网平方差完全平方公式参考答案与试题解析一选择题（共1 小题）1（ 1999?烟台）下列代数式， x2+x ，其中整式有（）A 1 个B 2 个C3 个D4 个考点 ：整式分析：解决本题关键是搞清整式的概念， 紧扣概念作出判断

7、解答：解：整式有 x2+x ，共 2个故选 B 点评：主要考查了整式的有关概念要能准确的分清什么是整式整式是有理式的一部分， 在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算， 但在整式中除式不能含有字母单项式和多项式统称为整式单项式是字母和数的乘积，只有乘法， 没有加减法 多项式是若干个单项式的和， 有加减法二填空题（共3 小题）2x2 3x+5 是2（ 2011?湛江）多项式二次三项式考点 ：多项式专题 ：计算题分析：根据单项式的?2010-2013菁优网系数和次数的定义， 多项式的定义求解解答：解：由题意可知，多项式 2x23x+5 是 二次三项式故答案为：二，三点评：本题主要考查多项式的定义，

8、解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数3（ 2010?毕节地区）写出含有字母x，y 的四次单项式x2y2（答案不唯一，只要写出一个）考点 ：单项式专题 ：开放型分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和 x3y，x2y2，xy3等都是四次单项式解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2， x3y， xy3等都符合题意（答案不唯一）点评：考查了单项式的次数的概念只要两个字母的指数的和等于 4 的单项式都符合要求?2010-2013菁优网4（ 2004?南平）把多项式2x2 3x+x 3

9、 按 x 的降幂排列是x3+2x2 3x 考点 ：多项式分析：按照 x 的次数从大到小排列即可解答：解：按 x 的降幂32排列是 x +2x3x 点评：主要考查降幂排列的定义， 就是按照 x 的次数从大到小的顺序排列， 操作时注意带着每一项前面的符号三解答题（共26 小题）5计算：（ 1）（ x y）（ x+y ）（ x2+y 2）（ 2）（ a 2b+c）（ a+2b c）考点 ：平方差公式； 完全平方公式分析：（1）（ x y）与（x+y ）结合，可运用平方差公式， 其结果再与（x2+y 2）相结合，再次利用平方差公式计算；（2）先运用平方差公式， 再应用完全平方公式解答：解：（ 1）（

10、x y）（x+y ）22（x +y），=（x2 y2）（x2+y 2），=x4 y4；（2）（ a 2b+c ）（a+2b c），22=a （2b c），=a2 4b2+4bcc2点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公?2010-2013菁优网式，熟记公式是解题的关键平方差公式：（ a+b）（ a b）=a2 b2完全平方公式：（ ab）2=a22ab+b26计算： 1232 124122考点 ：平方差公式分析：先把 124122 写成（ 123+1 ）（123 1），利用平方差公式计算， 去掉括号后再合并即可解答：解： 1232124122，=1232（123+1 ）（1231），=12

11、32（ 123212），=1点评：本题考查平方差公式的实际运用， 构造成平方差公式的结构形式是解题的关键7计算：考点 ：平方差公式分析：观察可得：2005=2004+1 ，2003=2004 1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案解答：解：，?2010-2013菁优网=，=，=2004点评：本题考查平方差公式的实际运用， 注意要构造成公式的结构形式， 利用公式达到简化运算的目的8（ x 2y+z ）（ x+2y+z ）考点 ：平方差公式专题 ：计算题分析：把原式化为 z+（x 2y） z（x 2y） ，再运用平方差公式计算解答：解：（ x 2y+z）（ x+2y+z ），=z+（ x 2y

12、）z（ x 2y） ，=z2（ x 2y）2，=z2（ x24xy+4y 2），=z2 x2+4xy 4y2点评：本题考查了平方差公式， 整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量9运用乘法公式计算（ 1）（ x+y ） 2（ xy） 2；（ 2）（ x+y 2）（ xy+2 ）；?2010-2013菁优网（ 3） 79.880.2；（ 4） 19.92 考点 ：平方差公式专题 ：计算题分析：（1）（ x+y ） 2（x y） 2 可以利用平方差公式进行计算；（2）（ x+y 2）（x y+2 ）转化成x+（ y 2）x（ y 2） 的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行

13、计算；（3） 79.880.2可以转化成 （ 800.2）（ 80+0.2 ）的形式， 利用平方差公式计算；（4） 19.92 可以转化为（ 200.1） 2 进行简便计算解答：解：（ 1）（ x+y ）2（ x y） 2=（x+y+x y）（x+y x+y ），=4xy ；（2）（ x+y 2）（x y+2 ），=x+（ y 2）x（ y 2） ，=x2 y2+4y4；（3）79.880.2，=（80 0.2）（80+0.2 ），=6399.96 ；（4）19.92=（ 200.1） 2=4002200.1+0.01，=396.01点评：本题主要考查?2010-2013菁优网平方差公式和完全

14、平方公式的运用， 利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便10化简：（ m+n 2）（ m+n+2 ）考点 ：平方差公式分析：把（ m+n）看作整体，m+n 是相同的项， 互为相反项是 2 与 2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可解答：解：（ m+n 2）（m+n+2 ），=（ m+n）222，=m 2+n2 +2mn4点评：本题主要考查了平方差公式的应用 运用平方差公式 （ a+b）22（a b）=a b计算时， 关键要找相同项和相反项， 其结果是相同项的平方减去相反项的平方11（x 2ym）（ x 2y+m ）考点 ：平方差公式专题 ：计算题分析：把 x 2y 当成一个整体

15、， 利用两数的和乘以这两数的差， 等于它们的平方差计算即可解答：解：（x 2y m）（x 2y+m ），=（x 2y） 2?2010-2013菁优网m2，=x2 4xy+4y 2m2 点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键12计算（ 1）（ a b+c d）（ c a d b）；4 8x224（ 2）（ x+2y ）（ x 2y）（ xy +16y）考点 ：平方差公式专题 ：计算题分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题解答：解：（ 1）原式 =（ cb d）+a（ cb d） a2=（c b d）222=c +b +d +2bd2bc 2cd（2） x48x2y2+1

16、6y 4=（ x2 4y 2） 2原式 =（ x24y2）（ x2 4y2）2=（ x2 4y2）3=（ x2）3 3（ x2）2（4y2） +3x2 ?222（4y ） （ 4y ）3=x6422412x y +48xy64y 6点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用， 难度适中13计算： 20082 20072+200622005 2+2 2 12考点 ：平方差公式分析：分组使用平方?2010-2013菁优网差公式， 再利用自然数求和公式解题解答：解：原式 =（2008 220072）+（ 2006 22005 2） +（22 12），=（2008+2007 ）（2008 200

17、7）+（2006+2005 ）（2006 2005）+（ 2+1）（2 1），=2008+2007+2006+2005+ +2+1，=2017036 点评：本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和14利用乘法公式计算： （a 3b+2c ）（ a+3b 2c）22 47 9427+27考点 ：平方差公式； 完全平方公式分析： 可用平方差公式计算： 找出符号相同的项和不同的项， 结合再按公式解答， 把 94 写成247 后，可用完全平方公式计算解答：解： 原式 =a（ 3b 2c） a+（3b 2c）=a2（ 3b 2c）2=9b2+12bc 4c2； 原

18、式 =47 224727+272=?2010-2013菁优网（47 27）2=400点评：本题考查了平方差公式， 完全平方公式， 熟记公式是解题的关键 把（ 3b 2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键； 把 94 写成247 是利用完全平方公式的关键15已知： x2 y2=20 ，x+y=4 ，求 x y 的值5考点 ：平方差公式分析：本题是平方差公式的应用解答：解： a2 b2=（a+b）（ a b），x2y2=（ x+y ）（x y） =20把 x+y=4 代入求得 x y=5点评：运用平方差公式计算时， 关键要找相同项和相反项， 其结果是相同项的平方减去相反项的平方把x+y=4 代入

19、求得x y 的值，为 522332416观察下列各式： （ x 1）（x+1 ） =x1；（ x 1）（ x +x+1） =x 1；（ x 1）（ x +x +x+1） =x 1（ 1）根据上面各式的规律得： （ x 1）（ xm1+x m2 +xm3+x+1 ） = xm1；（其中 n 为正整数）；（ 2）根据这一规律，计算 1+2+22+2 3+24+268+269 的值考点 ：平方差公式分析：（1）认真观察各式， 等式右边x 的指数比左边x 的最高指数大1，利用此规律求解填空；?2010-2013菁优网（2）先根据上面的式子可得：1+x+x 2+x 3+xn=（ xn+1 1）（x 1）

20、，从而得出1+2+22+268+6969+12 =（2 1）（ 2 1），再进行计算即可解答：解：（ 1）（ x 1）（xm1+xm2 m+x3+x 2+x+1 ）=xm1；（2）根据上面的式子可得：231+x+x +x +xn=（ xn+1 1）（x 1），1+2+2 2+268+269=（ 269+11）（ 21）=2701点评：本题考查了平方差公式， 认真观察各式， 根据指数的变化情况总结规律是解题的关键17先观察下面的解题过程，然后解答问题：242424224448解：（ 2+1）（ 2 +1）（ 2 +1） =（ 2 1）（ 2+1 ）（ 2 +1 ）（ 2 +1） =（2 1）（

21、2 +1）（ 2 +1）=（ 2 1）（ 2 +1） =2 1考点 ：分析：解答：平方差公式根据题意， 整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算解：原式 =（ 3 1）（ 3+1 ）（ 32+1 ）（ 34+1 ）（ 38+1 ）?2010-2013菁优网64（3+1），（ 4分）= （ 32 1）（ 32+1 ）（34+1 ）（ 38+1 ）（ 364+1），= （ 34 1）（ 34+1 ）（ 38+1 ）（364+1），= （ 38 1）（38+1 ）（364+1），= （ 3641）（364+1），（ 8分）= （ 31281）（ 10 分）点评：本题主要

22、考查了平方差公式，关键在于把（3+1 ）化简为（3 1）（ 3+1）的形式，18考点 ：平方差公式专题 ：计算题分析：由平方差公式，（1+）（ 1）=1 ，（ 1）（ 1+）=1，依此类推，从而得出结果解答：解：原式 =（ 1）（ 1+）?2010-2013菁优网（1+）（1+）（1+）=（1）（1+）（1+）（1+）=（1）（1+）（1+）=（1）（1+）=1点评：本题考查了平方差公式的反复应用， 是基础知识要熟练掌握19（ 2012?黄冈）已知实数x 满足 x+2的值为 7 =3，则 x +考点 ：完全平方公式专题 ：计算题分析：将 x+=3 两边平方， 然后移项即可得出答案解答：解：由题

23、意得，x+ =3 ，两边平方得：x2+2+=9，故 x2+=7?2010-2013菁优网故答案为： 7点评：此题考查了完全平方公式的知识， 掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题20（ 2007?天水）若a2 2a+1=0 求代数式的值考点 ：完全平方公式分析：根据完全平方公式先求出a 的值，再代入求出代数式的值解答：解：由 a22a+1=0 得（ a1） 2=0 ，a=1；把 a=1 代入=1+1=2故答案为： 2点评：本题考查了完全平方公式， 灵活运用完全平方公式先求出a的值， 是解决本题的关键21（2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c 的二次三项式（或其一

24、部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a22ab+b2=（ ab）222、（222的三种不同形式的配方（即 “余项 ”分别是常数项、例如：（ x1） +3 、（x 2）+2xx 2） +x是 x 2x+4一次项、二次项见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（ 1）比照上面的例子，写出 x2 4x+2 三种不同形式的配方；（ 2）将 a2+ab+b2 配方（至少两种形式） ；（ 3）已知 a2+b2+c 2 ab3b 2c+4=0，求 a+b+c 的值考点 ：完全平方公式专题 ：阅读型分析：（1）（ 2）本题考查对完全平方公式的灵活?2010-2013

25、菁优网应用能力， 由题中所给的已知2材料可得x 4x+2 和a2+ab+b2 的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c 的值，再代入代数式求值解答：解：（ 1） x2 4x+2 的三种配方分别为：x24x+2=（ x22） 2，（x+）2（2+4）x，x24x+2=（x ） 2x2；22（2） a +ab+b =22a +ab+b =（a+22；b） +b222（3） a +b +c2c+4，=（ a2 ab+b2）2+（b 3b+3）+（c2 2c+1），=（ a2 ab+b2）+（ b2 4b+4）+（c2 2c+1），=（ ab） 2+（b 2）

26、 2+（ c21） =0，?2010-2013菁优网b=0 ，b 2=0 ，c1=0 ，即 a=1， b=2，c=1，a+b+c=4 点评：本题考查了根据完全平方公式： a22ab+b2=（ab）2 进行配方的能力22（ 2004?太原）已知实数a、b 满足（ a+b） 2=1，（ a b） 2=25，求 a2+b2+ab 的值考点 ：完全平方公式分析：先由已知条件展开完全平方式求出 ab 的值，再将 a2+b2+ab转化为完全平方式（ a+b）2 和ab 的形式，即可求值解答：解： （ a+b）2=1，（ a b）2=25，a2+b 2+2ab=1，22a +b 2ab=25 4ab= 24

27、，ab= 6，a2+b 2+ab=（a+b）2 ab=1（ 6）=7 点评：本题考查了完全平方公式， 利用完全平方公式展开后建立方程组， 再整体代入求解23（ 2001?宁夏）设a b= 2，求的值考点 ：完全平方公式分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a?2010-2013菁优网 b= 2 代入计算即可解答：解：原式=， a b= 2，原式=2点评：本题考查了完全平方公式， 利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用24已知（ x+y ） 2=49，（ x y） 2=1，求下列各式的值：（ 1） x2+y2；（ 2） xy考点 ：完全平方公式

28、分析：根据完全平方公式把（ x+y ）2和（ x y） 2 展开，然后相加即可求出 x2+y2 的值，相减即可求出 xy 的值解答：解：由题意知：（x+y ）222=x +y +2xy=49 ，222（x y）=x +y2xy=1 ， + 得：（x+y ）2 +（ xy） 2，222=x +y +2xy+x2+y 2xy ，=49+1，=50，?2010-2013菁优网22x +y =25 ； 得：4xy= （ x+y） 2（x y）2=49 1=48，xy=12 点评：本题考查了完全平方公式， 灵活运用完全平方公式， 熟记公式是解题的关键25已知 x+=4，求 x的值考点 ：完全平方公式分析：把已知条件两边平方求出2的值，再x +根据完全平方公式整理成（ x2 ） 的形式并代入数据计算，然后进行开方运算解答：解： ，x2+=14，（ x）2=x2+2=12，x=点评：本题考查了完全平方公式， 灵活运用完全平方公式， 利用好乘积二倍项不?2010-2013菁优网含字母是常数是解题的关键26已知： x+y=3 ， xy=2 ，求 x2+y 2 的值考点 ：完全平方公式分析：利用完全平方公式巧妙转化即可解答：解： x+y=3 ，22x +y +2xy=9，xy=2 ，x2+y 2=92xy=9 4=5点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力2