平面向量经典例题讲解

1、精品文档平面向量经典例题讲解2222a b ca bc2ab 2bc 2ac 3 2 a b cos60 2 b c cos60 2 a c cos606讲课时间 :_ 姓名： _课时： _讲课教师： _a b c6考点 : 向量的数量积 .一、选择题（题型注释）4在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F ,1 空间四边形 OABC中， OAa , OB b ,OCc , 点 M在 OA上，且 OM2MA ， N 为 BC 的若 ACa ， BDb ，则 AF( )中点，则 MN =（）A. 1 a1 bB.1 a2

2、 bC.1 a1 bD.2 a1 b42332433A 121211【答案】 Da -bcBabc【解析】2323221 DC ,C1a12D2a21试题分析：由题意可知，AEB 与FED 相似，且相似比为3:1 ，所以 DF由向量加减法2b - c3b - c32332【答案】 B的平行四边形法则可知，ABADa, ADAB b ，解得， ADa b , ABab ，由向量加【解析】221 (OB试题分析：因为N为BC的中点 ， 则 ONOC ) ，AFAD DF AD1 AB2 a1 b , 故 D正确。2法的三角形法则可知，MNONOM1(OBOC )2112a ，选 B3332OAbc

3、3考点：平面向量的加减法322ABC 中， D , E 分别在边 BC与 AC上，且 BDDC ， 2AEEC考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；5在边长为的等边12已知平面向量a ， b 满足 | a |1， | b |2，且 (a b)a ，则 a 与 b 的夹角是（）则 ADBE（）（ A） 5（ D） 2（ B）（C）3A1B1C1D163234【答案】 D6【答案】 A【解析】【解析】2试 题 分 析 ：( a b) a (a b) a 0 aa b 0 ， | a | 1 ， | b |2 ， 设 夹 角 为212a a b 11 2cos0 cos32考点：本题考查向量数量积的

4、运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos的值，求出角3若 OA 、 OB 、 OC 三个单位向量两两之间夹角为60，则 OAOBOCA.3B.3C.6D.6， 则D , E 分别在边 BC与 AC上，且 BD DC ， 2AE EC 则 D 是 BC 的中轴点， E试题分析：由已知为 AC 的三等分点，以D 为坐标原点， DA 所在直线为 y 轴， BC 边所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，A(0, 3 ) ， C ( 1,0) ， B(1 ,0) ，设 E( x, y) ，由 2AEEC 可得： 2(x, y3 )( 1x, y) ，22222【答案】 D解得：

5、 x1 , y3，则 AD (0,3 ) ， BE( 2,3 ) ， AD BE1632332【解析】考点：平面向量的坐标运算试 题 分 析 ：OA 、 OB 、 OC 三 个 单 位 向 量 两 两 之 间 夹 角 为 60 。1 欢迎下载6在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线，AB (2,4) ， AC(1,3) ，则 DA （）A（ 2,4 ） B（3,5 ）C（ 1， 1） D（ 1， 1）【答案】 C【解析】试题分析： DAAD( ACAB ) (1,1)考点：平面向量的线性运算7已知向量 a1,2， a b/b ，则 b 可以为（）A 1,2B 1,2C2,1D 2,1【

6、答案】 A【解析】试题分析：设 b( x, y) ，则 ab(x 1, y2) ，因a b/b ，所以 ( x1) yx( y 2) 0 ，y 2x 0 ，只有 A 满足考点：向量共线的条件8a(2,3), b( 1,2)，若ma4b与a 2b共线，则 m 的值为（）已知向量A1B2C1D 222【答案】 D【解析】试题分析：由已知得ma4bm( 2,3)4(1,2)(2m4,3m8) ，a 2b (2,3)2(1,2)(4,1)又因为 ma4b与 a2b共线，所以有 (2m4)(1)4 (3m8)014 m28m2 ，故选 D考点： 1向量的坐标运算；2向量平行的坐标条件9已知平面直角坐标系

7、内的两个向量a (1 , 2) , b (m , 3m 2) , 且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成 cab (,为实数） , 则实数 m 的取值范围是（）A ( , 2)B(2,)C (,)D (,2)(2,)【答案】 D【解析】试题分析：平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成cab (,为实数）的充要条件是a (1 , 2) , b (m , 3m2) 不共线 , 即 13m22 m0m2, 故选 D.考点：平面向量的基底及向量共线10若向量a(1, 2),b(2,1),c = ( 4,2), 则下列说法中错误的是（）A.abB. 向量 a 与向量 c 的夹角为 90C. b cD.

8、 对同一平面内的任意向量d , 都存在一对实数k1, k2 , 使得 dk1b+ k2c【答案】 D【解析】试题分析： a b220 ，故 A 正确； a c1( 4)( 2)( 2)0 ，所以 B 正确； b1 c ，2故 C 正确；因为 b, c 是共线的，不能作为基底，故 D 错考点：向量的夹角11已知向量 a = 3,4 ，若 a 5，则实数的值为（）A 1B 1C1D 155【答案】 D【解析】试题分析：因为a = 3,4，所以 a32425 ，因为aa 5 ，所以 55 ，解得：1 ，故选 D考点： 1、向量的数乘运算；2、向量的模12若向量 a2,1 ， b 0,2，则以下向量中

9、与ab 垂直的是（）A 1, 2B 1,2C2,1D0,2【答案】 A【解析】第 3 页共 16 页第 4 页 共 16 页精品文档考点：平面向量的数量积试题分析：向量a2, 1 ， b0,2 ， ab( 2 ,1) ，而 12( 2) 10 ，以下向量中与 a b 垂直的是 1, 2.考点：向量垂直的充要条件 .13在边长为1的正三角形 ABC 中，设 BC2BD ， CACE ，若 AD BE1 ，4则 的值为（）（ A） 1（ B） 2（ C） 1（ D） 323【答案】 C【解析】试题分析：由题意可得：AD BEAB BDBC CEAB1CABC BC2二、填空题（题型注释）16已知两

10、个非零向量a 与 b，定义 |a b| |a| |b|sin ，其中 为 a 与 b 的夹角若 a ( 3,4) ， b (0,2)，则 |a b| 的值为 _【答案】 6【解析】 |a| 242 5，|b| 0222 2，ab 30 4 28，所以 cos a b3a b 4 ，又因为 0 ， ，所以 sin28 1cos2 14 3 . 故根据定义可知52555|a b| |a| |b|sin 52 3 6.5AB BC1 BC2CA1BCCA111 ，所以1.AB24222243考点：向量的应用 .14已知向量 a (1,2) ， b(1,0) ， c(3,4)，若为实数， (ab) c

11、 ，则（）A 5B 1C5D113223【答案】 D【解析】试 题 分 析 ： ab 1, 2 , 因 为 abc , 所 以 ab c 3 14 2 0, 解 得11. 故 D 正确 .3考点：向量垂直 ;向量的数量积 .15在 ABC中，已知 | AB |4,| AC | 1 ， S ABC3 ，则 AB AC 的值为（）（ A） 2 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 2【答案】 D【解析】试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角 A 的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果 .中 ，3，点D是 的重心，则 AD BC_17ABC AB 2ACABC【答案】

12、53AD 22 1 (【解析】设 E 为边 BC的中点，因为点D 是 ABC的重心，所以AE AB AC )332 1 (AB AC ) ，又 BC AC AB ，所以 AD BC 1 ( AB AC ) ( AC AB ) 331 ( AC 2 AB 2) 53318已知 a =（ 2,0 ）， | b |3 ， a , b 的夹角为60 ，则 | 2ab |【答案】 13【解析】试题分析： 2ab4a24a b216 12 913 .b考点：向量的基本运算 .19已知 A、B、C是球 O的球面上三点， BAC=90 ，AB=2，BC=4，球 O的表面积为48，则异面直线 AB 与 OC 所

13、成角余弦值为.AC 4，AB1， S ABC1 AC AB sin A3， sin A3 ， cos A1 ,【答案】3222AB AC AB AC cosA2 ，故选 D6【解析】。3 欢迎下载试题分析：过 O 作 BC 的垂线，垂足为M ，以 MA 所在线为 x 轴，以 MC 所在线为 y 轴，以 MO 所211 1111A GA B A CA MA N, 因为 : M , G , N 三点共线 , 所以3A MA N在线为 z 轴，建立直角坐标系， 所以 A(2,0，0) ，B(0,2,0) ，C (0,2,0)，O(0,0, 22) ，BA(2, 2,0) ，23xyx3y311113

14、x1, 所以3 , 所以答案为 : 3OC (0, 2,2 2) ，所以 cos43 .3 yxy44 4 86考点： 1向量的运算； 2三点共线的性质考点： 1.空间向量法；2. 夹角公式 .23已知向量20已知 | a | 1 ， | b |2 ， a 与 b 的夹角为 120， a b c0 ，则 a 与 c 的夹角为【答案】 -6【答案】90【解析】【解析】试题分析：由a(2,1, 3),b( 4, 2,x) ，若 a / b ，则 x；ba 可知，2 ，所以 x6 .试 题 分 析 ： 要 求 a 与 c 的 夹 角 一 般 可 先 求 两 向 量 的 数 量 积 a c ， 而 c

15、( a b) ， 因 此考点：空间向量共线定理 .2c ，夹角为 90 24设向量 a (3,1),b(2,2) ，若 ( ab)(a b) ，则实数a ca (ab)aab ，而根据已知， 这是可求的， 而且其结果是0，故 a.考点：向量的夹角【答案】221已知 abc0 ，且 a 与 c 的夹角为60， b3 a ，则 cos a, b 等于.【解析】【答案】3试题分析：由已知得ab( 32,2) ，ab(32,2)；2由 ( a b)( a b) 得 ( a b) ( a b) 0【解析】试题分析： abc0 ， b(a22c2所以有 (32)( 32)(2) (2)0c) ， ba2|

16、 a | c | cos600 ， 3a2a22220 ， | a | c |，即 4 280 ，解得2c| a | c | ， 2a | a | c | c aba(ac)a2c| a |2| a | c | cos6003| a |22 .a故答案为：2考点：向量的数量积的坐标运算.3 | a |2ab325已知向量a(1,2)， b(2,3)，若 mab 与 nab 的夹角为钝角，则实数 cosa,b2的取值范| a |b | a |3 | a |.2围是考点： 1.向量的运算； 2.两向量的夹角公式.【答案】9 且 x122已知点G为ABC的重心，过点G作直线与ABAC两边分别交于M

17、, N两点，且AMxAB ,【解析】，11试题分析： mab(2,23) ， nab(3,1) ，若 ma b 与 na b 的夹ANyAC ,x, yR ，则y(ab)( ab)3(2) (23)0 ，即：9，又 m与 n 不共线，则x角为钝角，则【答案】3(2)3【解析】试 题 分 析 ： 根 据 题 意 画 出 图 像 ， 因 为G为 ABC的 重 心 ,所 以第 7 页共 16 页第 8 页 共 16 页精品文档(23)0 , 即：1，则9 且 x1考点： 1向量的夹角； 2向量的数量积； 3共线向量； 4向量的坐标运算公式；26 已 知 向 量 a, b 满 足 (a2b) (ab)

18、a1, b2， 则 a 在 b 上 的 投 影 为6 ， 且_ 【答案】 12【解析】试题分析：设 a 与 b 的夹角为，向量a ， b 满足 ( a2b)(ab)a1, b26 ，且， a221 a b 46， a b =1 cos =a b= 1 ，再由的范围为a b b0 ， ，ab2可得 =，则 a 在 b 上的投影为1 cos1323考点：向量的数量积。27若向量 a 与 b 满足 | a |2 ， | b |2 ， ( ab)a 则向量 a 与 b 的夹角等于；| ab |【答案】，10.4【解析】试 题 分 析 ：aba，a ba0 ，a2ab 2，cos a,ba b2a b，

19、2a,b，4a b2222 4 410 .a ba 2a b b考点：平面向量数量积的运算和性质.28已知向量 a, b满足 a 2ba b =6，且 a1, b2，则 a 与 b 的夹角为 .【答案】3【解析】试题分析： ( a2b) (a2a b2a b2 226 ， a b 1，b) a2b1所以 cosa, ba b1a, ba b，23考点：向量的数量积与向量的夹角三、解答题（题型注释）29设 A, B,C, D 为平面内的四点，且A(1, 3), B(2,2),C ( 4,1).（1）若 ABCD, 求 D 点的坐标；（2）设向量 aAB , bBC , 若 kab与 a3b平行，

20、求实数k 的值 .【答案】（ 1） 5,6（ 2） k1；3 .【解析】试题分析：（ 1）两向量相等即坐标相同，设出 Dx, y即可就得；（ 2）两向量 ax1, y1 , b x2 , y2平行，满足条件是x1 y2x2 y1 .试题解析：设 Dx, y由 ABCD ，得 2,21,3x, y4, 1 ，则 1, 5x4, y + 1 ，3分所以 x41,解得x5,5分y +15,y6.所以点 D 的坐标为5, 6 6分因为 aAB2,21,31,5， bBC4,12, 22,1,8分所以 kabk 1,52,1k2,5k 1， a + 3b1, 5+ 3 2,17,2 10 分由 ka b

21、与 a + 3b 平行，得k225k17 0 ，12分所以 k114分3考点： 1.向量相等； 2. 向量共线 .30平行四边形 OADB的对角线交点为C， BM 1BC ， CN 1CD ， OA a， OB b，用 a、b33表示 OM 、 ON 、 MN .。5 欢迎下载【答案】1 1ba261 1【解析】BAab，BMBA ab，OMOBBMabODa b，ON 1 15 . 66666 OC CN 1 OD 1 OD 2 OD 2 a 2 b. MN ON OM 1 a 1 b263332631（本小题满分 13 分，（ 1）小问 7 分，（ 2）小问 6 分）已知向量 a 、b 满

22、足 : a1, b4, 且 a、b 的夹角为 60 0 .（1）求2 abab；（2）若 a ba2 b，求 的值 .【答案】（ 1） -12 ；（2）12【解析】试题分析：（ 1）由题意得 a bab cos6014 12 ，22212 2a b a b 2a a b b2 2 16（2） a ba2b ， a ba 2b 0 ，2222 32 0 ， a2 a b 2b 0， 12考点：平面向量的数量积的定义的应用，平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件点评：解决此题的关键是掌握平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件32（本小题满分 14 分）己知向量 a(1,2sin

23、 ), b(sin(),1) ，R a b ，求tan 的值：3（1）若（2）若a / / b ，且(0,) ，求的值2tan356【答案】（ 1），（2）【解析】2sinsin03试题分析： （ 1）先由向量垂直得等量关系：，再利用两角和正弦展开得5 sin3 cos0，因为 costan3220，所以5（ 2 ）先由向量平行得等量关系：2sin sin12sin 2cos 2sincossin 13，再利用两角和正弦展开得33，根据二倍1 1cos 23 sin 21sin21(0,)6角公式化简得22，由配角公式整理得2 ，结合2 ，解出6试题解析：（ 1）因为 ab，所以 a b=0 ，2分2sinsin5 sin3 cos030所以，即 224分tan3因为 cos5 0 ，所以6分2sinsin1（ 2）由