平方根和立方根知识点总结和练习

1、【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（ 1）平方根的定义：如果 一个数 x 的平方 等于 a，那么这个数x 就叫做 a 的平方根 即：如果x2a ，那么x 叫做a 的平方根（ 2）开平方的定义：求一个数的平方根 的运算 ，叫做开平方开平方运算的 被开方数必须是 非负数 才有意义。（ 3）平方与 开平方互为逆运算：3 的平方等于9， 9 的平方根是3（ 4）一个 正数 有两个平方根， 即正数 进行开平方 运算有 两个 结果；一个负数没有平方根， 即负数不能 进行开平方 运算（ 5）符号： 正数a 的正的平方根 可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根 可用

2、 -a 表示 （ 6） x 2axaa 是 x 的平方x 是 a 的平方根xa的平方是 a 的平方根是x2、算术平方根2个正数 x 叫做 a 的算术平方根a 的算术平方根记为号 a” ， a 叫做被开方数规定： 0 的算术平方根是0.2也就是，在等式xa (x 0) 中，规定 xa 。a ，那么这 a ，读作“根（ 2） a 的结果有 两种情况： 当 a 是完全平方数 时， a 是一个 有限数；当 a 不是一个完全平方数 时， a 是一个 无限不循环小数。（ 3）当被开方数扩大 时，它的 算术平方根 也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小 。一般来说， 被开放数扩大 （或缩小） a 倍

3、，算术平方根扩大 （或缩小）a 倍，例如=5，=50。（ 4）夹值法 及估计一个（无理）数的大小（ 5） x2a (x 0) xaa 是 x 的平方x的平方是 ax 是 a 的算术平方根a的算术平方根是 x（ 6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。a （ a0）a0a2a；注意a 的双重非负性：- a （ a 0）a0（ 7）平方根 和算术平方根 两者既有区别又有联系：区别在于 正数的平方根有两个，而它的 算术平方根只有一个；联系在于 正数 的正平方根 就是它的 算术平方根 ，而正数的负平方根是它的 算术平方根的相反数。3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数 x 的立方等于

4、 a ，这个数叫做 a 的立方根 （也叫做 三次方根 ），即如果x3a ，那么x 叫做a 的立方根（ 2）一个数a 的立方根， 记作3a ，读作：“三次根号a” ，其中 a 叫被开方数， 3 叫根指数， 不能省略 ，若省略表示平方。（ 3） 一个 正数 有一个 正的立方根；0 有一个立方根，是它本身；一个负数 有一个 负的立方根 ；任何数 都有 唯一 的立方根 。（ 4）利用 开立方 和立方互为逆运算 关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3 a3 a a0 。（ 5） x3a x3 aa 是 x 的立

5、方x的立方是 ax 是 a 的立方根a的立方根是 x（ 6） 3a3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。【典型例题分析】知识点一：有关概念的识别1、下列说法中正确的是（）A、的平方根是 3B 、1 的立方根是 1C、=1D、是 5 的平方根的相反数2、下列语句中，正确的是（）A一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B负数没有立方根C一个实数的立方根不是正数就是负数D立方根是这个数本身的数共有三个3、 下列说法中：3 都是 27的立方根，3 y3y ，64 的立方根是2 ， 38 24。其中正确的有（）A、 1 个 B、 2 个C、 3 个 D、 4 个4、2的平方根是（）0.7A

6、0.7B 0.7C 0.7D 0.495、下列各组数中，互为相反数的组是（）A、 2 与 ( 2) 2B 、 2 和 38C 、 12与 2D、 2和 2知识点二：计算类题型1、25 的算术平方根是 _；平方根是 _. -27立方根是 _._，_，_.2、( 4)2； 3( 6)32=.38=.； ( 196)3、 2 +32 5 27 ( 1 -7 )7 | 32 | + |3 2 |- |2 1 |3 8( 2)214、（ 1）327( 3)231（2）43270130.1253 163464（ 3）知识点三：利用平方根和立方根解方程2（ 2） 4 x2121（ 3）1、（ 1）（ 2x-

7、1 ） -169=0 ；( x 2) 3125知识点四：关于有意义的题a本身为非负数，有非负性，即a0a0 ；有意义的条件是 a 。要使1 有意义，必须满足a0.a1a的算术平方根有意义，则a 的取值范围是（）、若A、一切数B、正数C、非负数D、非零数2、要使2x6有意义， x 应满足的条件是3、当 x _ 时，式子x1x2 有意义。知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数 a 的平方根是 3x4 与 2x，则 a 是多少？2、若 5a1 和 a 19 是数 m的平方根，求m的值。3、已知 x、y 都是实数，且 yx33x4 ，求 y x 的平方根。知识点六：非负性的应用1、已知实数 x， y

8、 满足x2 +(y+1) 2=0，则 x-y 等于解答：根据题意得，x-2=0 ， y+1=0，解得 x=2， y=-1 ，所以， x-y=2- （-1 ） =2+1=32、已知 a、b 满足2a8b30 ，解关于 x 的方程 a2 xb 2a1。3、若x1(3xy1) 20 ，求5xy2 的值。4、若 a、b、 c 满足a3(5 )2c1 0b c的值。，求代数式ba5、已知13a 和 8b 3互为相反数，求( ab) 227 的值。【重点知识巩固】考点、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。（2）如果

9、一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根 （或二次方跟） 。如果，那么 x 叫做 a 的平方根。（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根） 。如果，那么 x 叫做 a 的立方根。2、运算名称（ 1）求一个正数 a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（ 2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。3、运算符号（1）正数 a 的算术平方根，记作“a”。（2） a(a 0) 的平方根的符号表达为。（3）一个数 a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数， 3 是根指数。4、运算公式4、开方规律小结（1）若 a 0，则

10、 a 的平方根是a ，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0。（2）若a0a 为任意实数，则a 的立方根是。，则 a 没有平方根和算术平方根；若（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。enjoythetrustof得到 .的信任have/puttrustin信任intrust受托的，代为保管的take.ontrust对.不加考察信以为真truston信赖giveanewturnto对