平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解

1、6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2. 平方根（ 1）平方根的定义： 一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。 即若 x2a ，( a0) ，则 x 叫做 a 的平方根。 即有 xa ，（ a0 ）。（ 2）平方根的性质：（ 3）注意事项：xa ， a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（a0 ）。（ 4）求一个数平方根的方法：（ 5）开平方： 求一个数平方根的运算叫做开平方。它与平方互为逆运算。3. 算术平方根（ 1）算术平方根的定义：若 x 2a ， (a0) ，则 x 叫做 a 的平方根。即

2、有xa ，（ a0 ）。其中 xa 叫做 a 的算术平方根。1（ 2）算术平方根的性质：（ 3）注意点： 在以后的计算题中，像22， 5 分别指的是2 和25 （ - 2） ，其中5 的算术平方根。4. 几种重要的运算：aba ?ba0, b0,a ?baba0,b0aa0),aa0,b0)b(a 0,bb(abb(a )2a ( a 0) ,2，2aaa（ - a） 若a b 0，则(a b)2a ba ba b5. 立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。即若x3a ，则 x 叫做 a 的立方根。即有x3 a 。（2）立方根的

3、性质：（ 3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。26. 几个重要公式：3ab33,33b3aba ?ba ?a33aa3a(b 0),3(b 0)b33bbb3333，33( a )a (a可以为任何数） ,aa（- a）-a第二部分：例题讲解题型 1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。1. 求平方根、算术平方根、立方根。（1） 0 的平方根是，算术平方根是.（2） 25 的平方根是，算术平方根是.（3） 1的平方根是，算术平方根是.64（4） (9) 2 的平方根是，算术平方根是.（5） 23 的平方根是，算术平方根是.（6） 16 的平方根是，算术平方根是.(

4、6)（2，算术平方根是.16） 的平方根是(8)- 9的平方根是，算术平方根是.（9）8。（ 10） 0 的立方根是。的立方根是125（11）64 的立方根是2。（ 12） （ 8） 的立方根是题型 2：计算类题型2. 计算下列各式的值（1）814（2）( 8)225（3） (1) (1 ) 10012125416333125（ 4） 0.027（ 5）216（ 6） 33 3（7） 3 37 1864题型 3：利用平方根、立方根的定义解方程3. 求下列各式中 x 的值。（ ）x2196；（2） 5x210 0 ；（ 3） 36 x 321 25=0（ 4） x2( 125)4（ 5） 25x

5、211( 5) 2（6） (x1)2164（ 7） x3125（ 8）1 (x 3)3 1913（ 9）1 x3( 7) 2027题型 4: 利用算术平方根的双重非负性解决问题4. 已知a364b3270 ，求 (ab) b 的立方根。45. （ 2014 春台山市校级期末）已知x242xy0 ，则x y 的值为（）A. 2B.6C.2或2D.6或66. （ 2012 秋西湖区校级月考改编题）已知a,b 为实数，且 1a(b 1) 1 b0 ，求a 2015b2016 的值（）A. 0B.1C.1D.27. （ 2015 春利川市校级期中）已知3xx3 ，(x10) 210x ，化简12 x(

6、x 2)2。8.若 x1( y3)2xy2z0 ，求 xyz的算术平方根。9.已知 x, y 都是有理数，且yx22x3 。求 2xy 的值。510.若 aa22 ，求a2 的值。11. 若式子1有意义，化简 1 x x 2 。x112.当 x 为何值时，2x16 有最小值，最小值为多少？13. （ 2017 春三亚校级月考）已知：字母a, b 满足 a1b 2 0，求1111的值。ab(a 1)(b 1).(a 2011)(b(a 2)(b 2)2011)14. （ 2017 春三亚校级月考改编题）已知：字母a, b满足 a 1 b 30 ，求111.1的值。ab(a 1)(b 1)(a 2

7、)(b 2)2018)(b 2018)( a6题型 5：已知平方根，算术平方根，立方根，求被开方数。15. 已知 2a 1 的平方根是3 ， 3a b 1的算术平方根是4，求 1 a2b的值。416. （2015秋北塘区期末改编） 已知2ab的平方根是3 3ab 14，的算术平方根是求 5a 15b1的算术平方根。17. （ 2016 秋资中县月考）一天，杨老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为 m6 ，它的平方根为(1 m2) ，求这个数。218. （ 2017 秋扶风县期中） 一个正数 x 的两个平方根分别是2a 1 与a 2 ，求 a 的值和这个正数 x 的值。19. 已知

8、 2x1的平方根是6 ， 2xy1 的算术平方根是5，求 2 x3 y6 的立方根。7题型 6：与二元一次方程相结合的题型20.已知 x2, y1 满足方程 xny4 ，同时也满足方程mxny0 ，求 6mn 的平方根。x2mxny0n 的平方根。21. 已知是二元一次方程组xny的解，求 6my14题型 7：与数轴有关的题型22. 有理数 a,b 在数轴上的位置如图所示，化简a2b2(a b)2a b 。题型 8：应用类题型23. 将一个体积为64 cm3 的正方体木块锯成8 个同样大小的小正方题木块，则每个小正方体木块的棱长为多少？824.（2016 秋怀远县期中）请根据光头强与熊二的对话

9、内容回答下列问题（ 1）求该魔方的棱长 ；（ 2）求该长方体纸盒的长。题型 9：规律探究题25. 计算下列各式的值：9219；992 199；99921999。观察结果，总结存在的规律，运用规律可得999 21 999。2016个 92016个9（结果请用科学计数法表示）26. （ 1）算一算：49 =，49 =；259 =，259 =。99（ 2）想一想：对于实数a, b ，有ab =。（ a0 ， b0 ）（ 3）用一用，运用以上信息求值：3.61000 =。4.91210 =。27. （ 2014 秋安岳县校级月考）先观察下列等式，再回答问题： 1111 111 1 ； 11111211

10、 1 ；122211122232216 11111132421311312（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想111的结果，并进行验证；42529（2）根据上面的规律，可得1112 =。9210（3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用 n（ n 为正整数） 表示的等式， 并加以验证。28. （ 2014 春文昌校级期中）在草稿纸上计算：13 ； 1323 ； 1323 ；13233343， 观 察 你 计 算 的 结 果 ， 用 你 发 现 的 规 律 直 接 写 出 下 面 式 子 的 值13233343. 283。29. （ 2012 秋无为县期中） 先观察下列各式，第 6 个式子为。2 22 2 , 3