专题17：动态几何之面积问题探讨

1、初中学习资料整理总结专题17:动态几何之面积问题探讨、静态面积问题:典型例题:例1 : （2012山西省2分）如图是某公园的一角，/ AOB=90，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD / OB ,则图中休闲区（阴影部分）的面积是【A. ho兀9廳 1 米2B .仁米 2I 2 JV 2 JC. I6兀-Vs 1米 2I 2丿D. （6兀9/3 ）米 2【答案】Co【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】连接OD，则S阴影=S扇形AOD -S卸OC o弧AB的半径 OA长是6米，C是OA的中点， OC= - OA= - 0=3。

2、 2 2/ AOB=90 , CD /CD 丄 OA o在 Rt OCD 中，/ OD=6 , OC=3 , CD= JOD2 -OC2 = J62 32 =373 oFCD 3343又-sinNDOC = =,/ DOC=60。OD 62-S卸oc = 60 汎 - 3 373=6 兀（米 2） o 故选a 36022如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,二3阴影=S扇形aodCo例2: （2012湖北恩施3分）/ A=120，则图中阴19影部分的面积是【A .43C. 3【答案】A.【若点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质*锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值.【分析】如图

3、，设BF、CE相交于点陋TS形ABCD和養形ECGF M边长分别为3和玉/.AbcmAbgf,=即=GF BG 32+3解得 CM=1.3, .DM=2 - 1.2=0 乩/ ZA=120 AZABC=180- 120=50.二S形ABCD边CD上的高为2血釘=爺,2菱形ECGF边CE上的高为3smflD=3x2/1= 陛,2 2二阴影部分而积=5 bdm+S dfm=-x0.Sx + LxD.Sx2 = 故选扎2 2 22例3: （2012湖北随州4分）如图，直线I与反比例函数y=-的图象在第一象限内交于A、B两点，交xx轴的正半轴于C点若AB :BC=（m 一 I） : 1（ml）则 OA

4、B的面积（用m表示）为【 】2 .m -1A.2mB.m21C.mD.2m【答案】【考点】反比例函数的应用,曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。【分析】如图，过点 A作AD丄OC于点D，过点B作BE丄OC于点E,设 A( X A, y a) , B ( X B,y B), C (c?0)。/ AB : BC=(m 一 I) : 1(ml)，二 AC : BC=m : 1。又 ADC sA bEC，二 AD : BE=DC : EC= AC : BC=m : 1。又AD= y A , BE= y B, DC= c X A, EC= c X B,.y A : y B=

5、m : 1,即y A= m y B。2直线l与反比例函数y=的图象在第一象限内交于 A、B两点,x22yA = , yB =。XaXb2 2m1=,Xa = Xb。mXa Xb又由 AC : BC=m : 1 得(c X A): (c X b) =m : 1，即f 11c -一xb uc-x =m:1，解得 c=I m丿 B丿Xb (m+1 )。1 1 1 1SqaB =S QCB-SqbC= 2 c yA一2CyB=2CyA-yB)=2Xb (m+1)f myB -yB )故选B。例4: (2012贵州贵阳2 2XByB(m+1 m1 )_XByB(m 1 )_2(m -1 )m2 12m2

6、m12分)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.(1)三角形有.条面积等分线，平行四边形有.条面积等分线;(2)如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线;(3)如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB CD，且SsBC Sa ABC , 面积等分线必与CD相交，取DE中点F,则直线AF即为要求作的四边形 ABCD的面积等分线。【考点】 面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过

7、两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有 3条面积等分线,平行四边形有无数条面积等分线。（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；（3）过点B作BE / AC交DC的延长线于点 E,连接AE .根据 ABC和 AEC的公共边 AC上的高 也相 等推知$ aBC=S AEC由“割补法”可以E,交 DCA. 0.64B. 1.64【答案】A。D. 0.36C. 1.68【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。【分析】由图知，S阴影部分=SeF +S夢eF -S扇形AEF。因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性

8、质和勾股定理，可得等边 AEF的边长为2,高为J3 ； RtAAEF的两直角边长为 ;扇形AEF的半径为2圆心角为60。1一 1_60，兀 222 S阴影部分=%fS4f -s扇形aef=-72-6=3+1 一孑4 0.64 o 故选 A o例6:( 2012山东德州123分)如图，两个反比例函数 y=和y=-一的图象分别是11和12.xx设点P在li上,PC丄x轴，垂足为C,交12于点PD丄y轴，垂足为D，交l2于点B,则三角形PAB的面积为【】9C.-2【答案】Co【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。【分析】设P的坐标是P，一I P丿-推出A的坐标和B的坐标

9、，求出PAs PBffi值，根据三ffi形的面积公式求出訊可:T点P在尸上上，二设P的坐标是XTP氏丄X轴A的横坐标是ATA 在 y=-|, .am 坐标是卜111TPB丄y轴./.B的纵坐标是VB在尸-_上，二上 卩盟PI 解得：* _ 2p SB朗坐标是(-3pj ) PPA=-P-1=-. PB = p-2pi* k P丿PTPA丄S轴，PB丄y轴，X轴丄y轴-/-PA丄PH11394AB 的-xPAxPB = -x-x3p = -.te5SC.为半径的弧与A.3兀2【答案】例7: （2012内蒙古赤峰3分）如图，等腰梯形 ABCD中，AD / BC ,以点C为圆心，CD3 nBC交于点

10、E,四边形【考点】等腰梯形的性质，平.行四边形的性质,等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。【分析】四边形ABCD是等腰梯形，且 AD/ BC , AB=CD。又四边形ABED是平行四边形，AB=DE （平行四边形的对边相等）DE=DC=AB=3 。/ CE=CD , CE=CD=DE=3，即 DCE 是等边三角形。/ C=60。2故选A。扇形CDE （阴影部分）的面积为：60 沢3 =3兀。3602DE: EC=2 : 3，连接例8: （2012黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形 ABCD中，E是CD上的一点,AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，贝U $ def : Sebf :

11、 Sabf =【】A. 2: 5: 25B. 4: 9: 25C . 2 : . 3: 5D. 4: 10: 25【答案】【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由 DE : EC=2 : 3 得 DE : DC=2 : 5,根据平行四边形对边相等的性质，得DE: AB=2 : 5由平行四边形对边平行的性质易得DFEsA BFA DF : FB= de : AB=2 : 5, $ def :$ abf=4 : 25。又 Sa def和Saebf是等高三角形，且dF : Fb =2 : 5, Sadef : Sa ebf =2 :5=4: 10。 Sa def : SebF :

12、Saabf =4 : 10 : 25。故选 D。例9: （2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD,得到 PAB、 PBC、 PCD、A PDA ,设它们的面积分别是 Sl、S2、S3、S4,给出如下结论: Sl+S2=S3+S4 S2+S4= Sl+ S3若 S3=2 Si,贝y S4=2 S2若Si= S2,则P点在矩形的对角线上（把所有正确结论的序号都填在横线上）其中正确的结论的序号是【答案】。【考点】矩形的性质，相似【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高, APD以AD为底边， PBC以BC为底边,此时两三角形的高的和为AB ,1- S1+

13、S3=-S 矩形ABCD ；21冋理可得出 S2+S4= S矩形ABCD o2 S2+S4= Si+ S3 正确，则 Si + S2=S3+S4 错误。若S3=2 Si,只能得出 APD与 PBC高度之比，S4不定等于2S2；故结论错误。11如图，若 Si=S2，则一XPFXAD= - XPEAB ,22 APD 与PBA 高度之比为：PF: PE =AB : AD o/ DAE= / PEA= / PFA=90，四边形 AEPF 是矩形,矩形 AEPFS矩形ABCD。连接AC。:.PF: CD =PE : BC=AP : AC ,即 PF: CD =AF : AD=AP : AC o APF

14、 sA ACD。/ P AF=/ CAD。点A、P、C共线。二P点在矩形的对角线上。故结论正确。综上所述，结论和正确。例10: （2012福建宁德3分）如图，点M1是反比例函数y=在第一象限内图象上的点作MB丄x轴于点.过点M的第一条直线交y轴于点Ai,1交反比例函数图象于点 G,且A1C12A1M , A1C1B的面积记为Si；过点M的第二条直线交y轴于点1A2,交反比例函数图象于点C2，且A2C2= A2M , A2C2B的面积记为1S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3,交反比例函数图象于点C3,且A3C3 = TA3M, A3C3B8的面积记为 足；依次类推 ；则S4+S2+S3+ S

15、8=塔案】555【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。【分析】过点M作MD丄y轴于点D，过点Ai作AiE丄BM于点E,过点Ci作CiF丄BM于点F,点M是反比例函数y =十在第一象限内图象上的点, OBK DM=1 oA S净bm 二1 OB MB =!。1 A1C1= A1M，即 C1 为 A1M 中点,2 C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离AiE的一半。13 =S蓉MC, =2 S单bm =11- S舌ma = BM A 2到 BM 距离=”BM2 2213/ A2C2=A2M , C2到BM的距离为 A2到BM的距离的44BO =。23a4D

16、1- S2 -S2C2 -4SMA11同理可得：S3= , S4=,16321 1- S1+S2+S3+ S8= 256_255o+512512练习题:1.（2012广东省4分）如图，在？ABCD中,AD=2 , AB=4,/ A=30以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是（结果保留B, AC丄y轴于2.（2012浙江温州5分）如图，已知动点4A在函数y=- （xo）的图象上，AB丄x轴于点x点C,延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E,使 AE=AC.直线DE分别交x轴,y轴于点P,Q当QE : DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于kk3. （2

17、012江苏常州2分）如图，已知反比例函数 y=-（ki 0 ）和y=（k2v0卜点A在y轴的正半轴上,xx过点A作直线BC / x轴,且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C,连接OC、OB。若 BOC的面已知 OA = 2AN , OAB4.（2012江苏扬州3分）A，与直角边MN相交于点积为 5 , AC : AB=2 : 3,2的面积为5,5.BD2（2012湖南岳阳3分）如图， ABC中，AB=AC , D是AB上的一点，且 AD= AB , DF / BC,3的中点.若EF丄AC , BC=6，则四边形DBCF的面积为 6.（2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的O O1与O

18、O2外切，O Oi与O O2的外公切线交于点且/ ADC=60，过B点的O Oi的切线交其中一条外公切线于点A .若O O2的面积为n,则四边形 ABCD的面积是7. （2012辽宁朝阳3分）如图，在正方形FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为AEC的边长为8cm,nF8. （2012辽宁沈阳4分）如图，菱形 ABCD/ A=60 DE丄AB于点E, DF丄BC于点F,则四边形BEDF的面积为cm2C9.（2012辽宁营口 3分）如图，直线y=-x+b与双曲线y1=一 （x0）交于A、B两点，与x轴、y轴 x分别交于E、F两点，连结OA、OB ,若SoB =S0B F + Sae

19、，则b=.10. （2012贵州遵义4分）如图，平行四边形 ABCD的顶点为A、C在双曲线yi=-勺上，B、D在双曲xk线 y2=2 上，ki=2k2 ( ki 0) , AB / y 轴，abcd=24，则 ki=x、点动形成的动态面积问题:典型例题:例1 : (2012广东广州14 分)如图，抛物线y=-3x83X+3与X轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，4(1) 求点A、B的坐标;(2) 设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于 ACB的面积时，求点 D的坐标;(3)若直线I 过点 E( 4，0),M为直线I上的动点,当以 A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个

20、时，求直线I的解析式.【答案】解:3 门)在 y=8x2B的左侧， A、B点的坐标为A (- 4,解得 xi= - 4, x2=2。点A在点0)、B (2, 0)。(2)由 y= -x28右 3 2 在 y= x8h=18。53一一 X+3得，对称轴为x= - 1。43一X+3 中，令 x=0，得 y=3。4 OC=3 , AB=6 , S尿B AB OC=1x6X3=9。在 Rt AOC 中，AC=JoA2+OC2 =&2+32 =5 。1设 ACD中AC边上的高为h，则有AC?h=9，解得2如图1，在坐标平面内作直线平行于 AC ,且到AC的距离=h= I8，这样的直线有2 条,5分别是L

21、1和L2,则直线与对称轴 x= - 1的两个交点即为所求的点设L1交y轴于E,过 C 作 CF 丄 L1 于 F,贝U CF=h= I8 ,5CF CE =si nNCEF18sin ZOCA 42CF设直线AC的解析式为y=kx+b ,将A (- 4, 0), B (0, 3)坐标代入，得I 3Zk+b=0，解得广4。 b=3b=3来源 :213直线AC解析式为八于+3。来源:直线Li可以看做直线 AC向下平移CE长度单位(9个长度单位)而形成的,2直线L1的解析式为y =3X+3 m :二3X 34 243 39则D1的纵坐标为x(_1卜一=一。.D14 * 丿 249同理，直线AC向上平

22、移-个长度单位得到2=。(-4,27L2,可求得 D2 (- 1, 一)。49综上所述，D点坐标为：D1 (- 4,),4D2 (- 1,)。4(3)如图2,以AB为直径作O F，圆心为F.过E点作O F的切线，这样的切线有 2 条.连接FM，过M作MN丄x轴于点N。 A (- 4, 0), B (2, 0), F (- 1, 0), O F 半径FM=FB=3。又FE=5，则在 Rt MEF中,ME= J52 -32 =4 , sin/ MFE= - , cos/ MF E=3。 5在 Rt FMN 中，MN=MN?sin / MFE=35127,FN=MN?cos / MFE=3X 3 -

23、。554 12 M点坐标为(-,)。5 5直线I过M4 12( ,),E (4, 0),5 54. u 12I： 3设直线l的解析式为y=kix+bi，则有|_k+b=” F lk=55，解得 4。(4k+b=0b=33直线I的解析式为y= -3x+3。4同理，可以求得另一条切线的解析式为3综上所述，直线I的解析式为y= 343y= x - 3。43 x+3 或 y=x -43。【若点】二谀函数综合题，待走系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二茯函馥的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与IS的位a关系，直銭与圆相切的性质，H周角定理，锐角三角I函数定义.【分析】（1） A. B点为抛物

24、线与X轴交点，令尸山解一元二次方程即可求解.（2）根据题意求岀AACD中AC边上的高，设为h在坐标平面內，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h.根据等底等高而积相等的g理，则平行线与坐标轴的交点即为所求册D点.A-ffc函魏的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标.这样的平行线有两条（3）冨间关键是理解吆A, M为顶点所作的直角三旳苜且只有三个的舍义.因为过B点作X轴的垂线，其与直绕1的两个交点均可以与A. B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直二角形；第二个直=形从直线的

25、位关系方ffi着虑）UA AB为直径作Hj当直线2相切时，根据圆周角定理，切点与A, B点构感直角三角形.从而间题得解-这样的切线有两条.例2:（ 2012广东梅州11分）如图，矩形 OABC中，A（ 6，0 ）、C（ 0，23 ）、D（ 0，3晶），射线I过点D且与x轴平行，点P、Q分别是I和x轴正半轴上动点，满足/ PQO=60 .（1）点B的坐标是 ;/ CAO=度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N , PQ与线段AC相交于点M,是否存在点 卩，使 AMN为等腰三角形？若存在,请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由.由题意可知直线l /

26、BC / OA ,S,试求S与x的函数关系式和相IQ=Pl?tan60 =, OQ=OI+IQ=3+x ;(3) 设点P的横坐标为x, OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为应的自变量x的取值范围.【答案】解：(1 )( 6, 2(3 )。 30。3( 3, 33 )。(2) 存在。m=0 或 m=3- (3 或 m=2。如图 1, OI=x ,23可得EF PEDC 751OQ= PO = D-373， EF=1 ( 3+x),此时重叠部分是梯形，其面积为:1S =S梯形 EFQO =2( EF+OQ) QC婕(3+x)当3XW5时，如图2, 4/331 ”AH AQ273 2 x当5XW9

27、时，如图3,J3j333=_迟+12旅S =s梯形 eFQO S少AQ =S梯形 EFQO+4応-逅(X -3 2 =-3 2 丿 2S=(BE +OA) OcMClZ-d)2 3【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形。【分析】（1）由四边形 OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标:四边形 OABC 是矩形， AB=OC , OA=BC , A ( 6, 0)、C ( 0, 23), 点 B 的坐标为：(6, 2 昭)。由正切函数，即可求得/ CAO的度数:(2)OC 2J373 tan/CAO =亠=二,OA 63

28、由三角函数的性质，即可求得点/ CAO=30。P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE丄OA/ P QO=60 , D ( 0, 3 屈), P E=3J3。 AE = PE 0 =3。 tan 600 OE=OA - AE=6 - 3=3,.点 P 的坐标为(3, 3亲)。分别从MN=AN , AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案:情况：MN=AN=3，则/ AMN= / MAN=30 ,/ MNO=60 。/ PQO=60，即/ MQO=60，点 N 与 Q 重合。点P与D重合。此时 m=0。情况，如图 AM=AN，作MJ丄x轴、PI丄x轴。MJ=MQ?sin60 =AQ?

29、sin60r(OA-IQ-Ol) sin60 = X3(3-m)21 13又 MJ =AM= -AN=-,2 22/33- (3 -m)=一，解得：m=3- 73。22情况AM=NM，此时M的横坐标是4.5,过点P作PK丄OA于K，过点 M作MG丄OA于G, MG= U。*牆甞=3,乩需4。1 KG=3 -。口5, AG= -AN=1.5OK=2m=2。综上所述，点 P的横坐标为 m=0或m=3- （3或m=2。（3）分别从当0W XW时，当3 XW5时，当5V x 9时去分析求解即可求得答案。例3:（2012广东汕头12分）如图，抛物线1 23y=X2-X-9与X轴交于A、B两点，与y轴交于

30、点C,连2 2接 BC、 AC.AB和OC的长;(2)E从点A出发，沿X轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线I平行BC,交AC于点设AE的长为m , ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;（2）的条件下，连接 CE，求 CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留【答案】解：（1）在 y=1x2-?x-9 中,2 2令 x=0 ,得 y= 9, C (0,-9);1 23令 y=0,即-x -9=0 ,解得：xi= - 3,X2=6, A (- 3, 0)、B (6, 0)。AB=9 , OC=9。(2)/ ED / B

31、C , AED sA ABC , / SAED-SBCIAB 丿s1-9 921 2-s= m (0V mv 9)。 21 91 2(3) Saaec=-AE?OC= - m , SSED=s=-m ,2 22- SEDC=SAEC - AED1 2 91 /9、2 81=-m+ m= - (m-_)+ 。2 22 2 8 CDE的最大面积为81 ,899此时，AE=m= - , BE=AB - AE= _。22过 E 作 EF丄 BC 于 F,贝U Rt BEFs Rt BCO，得:EF BE，即:EF9 - 3/13。又 BC =J6若点D的坐标为(一1, 0),在直线y=x +3上有一点

32、P,使 ABO与 ADP相似，求出点 P的坐标;在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E,使 ADE的面积等于四边形 APCE的面积？如果存在，请求出点 E的坐标；如果不存在，请说明理由.+92=3713 ,2927-EF = J13。26以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 SoE=n ?E2= 72952【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值, 勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】(1)已知抛物线的解析式，当 x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。S、 m(2)直线I / BC,可

33、得出 AEDABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定 m的取值范围。(3)首先用 m列出 AEC的面积表达式， AEC AED的面积差即为 CDE的面积，由此可得关于Sacde关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到Scde的最大面积以及此时 m的值。过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与 BC相切的O E的半径，可根据相似三角形 BEF、 BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。例4: (2012贵州铜仁14分)如图，已知：直线y = X +3交x轴于点A，交y轴于点B ,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C

34、 (1 , 0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)【答案】解：(1)由题意得,抛物线经过 A、B、C三点,把 A (3, 0), B (0, 3) , C ( 1, 0)三点分别代入2y=ax +bx+c得方程组pa+3b+c=0Ta =12=3，解得：e = *oIa +b + c =0c =3抛物线的解析式为 y=x2- 4x+ 3 o(2)由题意可得： ABO为等腰三角形，如图 1所示,若 ABO sA AP1D,连接 DP 1,则 AO OBAD OR DP 1=AD=4 O P1 (- 1,4)。若 ABO sA aDP 2，过点P2作P2 M丄X轴于M ,连接DP2, ABO为等

35、腰三角形， ADP2是等腰三角形。由三线合一可得：DM=AM=2= P 2M ,即点M与点C重合。P2 (1 , 2)o(3)不存在。理由如下:如图2设点E(X, y)，则S也de =2 AD |y|=2|y|当Pi(- 1, 4)时,S四边形AP 1CE=S三角形ACP 1+S三角形ACES四边形AP1CE+S也ACE1 1= x2x4 + -x2 lyI =4 + y2 2 2 y = 4 + y。y = 4。点E在x轴下方 y = - 4。代入得: x2- 4x+3=-4,即 X2 4x +7 = 0 =( 4)24X7= + 120,.此方程无解。的面积。二当Pi ( 1 , 4)时，

36、在x轴下方的抛物线上,不存在点E,使 ADE的面积等于四边形APCEAPCE的面积。S3ACE= 2+ y当 p2 ( 1 , 2)时，绻边形 AP2CE= SDACP +:.2y = 2+ y。二 y = 2。点 E 在 x 轴下方， y = - 2。代入得：x2- 4x + 3 = - 2，即 x2-4x+5 = 0 / =( 4)2 45= 40,.此方程无解。当P2( 1, 2)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E,使 ADE的面积等于四边形APCE的面积。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质,元二次方程根的判别式。【分析】(1)

37、求出A ( 3, 0), B (0, 3),由A、B、C三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。(2)根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点P的坐标。由(2)的两解分别作出判断。例5: (2012湖南张家界12分)如图,抛物线y=-x2+-J3x+2与x轴交于C. A两点，与y轴交于点3B，点0关于直线AB的对称点为D ,E为线段AB的中点.综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E,使 ADE的面积等于四边形(1) 分别求出点A.点B的坐标;(2) 求直线AB的解析式;D，求k值;k(3) 若反比例函数y =的图象过点x(4) 两动点P、Q同时从点A出发，分别沿 AB

38、 . AO方向向B . O移动，点P每秒移动1 一每秒移动-个单位，设 POQ的面积为S,移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在,1个单位，点Q求出这个最2 C （-虫,0）、A （ 2忑,0）。3令 x=0 ,得 y=2 O B （0, 2）。 A （ 2寸3 , 0）、B （0, 2）。(2)令直线 AB经过点B (0, 2), 设AB的解析式为y=k1x+2。-三一J3又点A ( 2寸3 , 0)在直线上， 0=k13 +2,解得k仁二。33直线AB的解析式为y=-兰3x+2。3（3）由 A （ 2血,0 ）、B （0, 2）得：OA= 2/3 , OB=2 , AB=4 , / B

39、AO=30,/ DOA=60 。/ OD与O点关于AB 对称， OD=OA= W3。ODcos6O0=廳，纵坐标为 ODsin6O0=3。 D （羽,3）。k y =过点 D,x 3 =學，即 k=3。73(4) 存在。1 1L 1 AP=t, AQ= t, P到 x 轴的距离：AP?sin30 =t, OQ=OA - AQ= 23 - t,2 2 2 SPQ 冷（273_2t）、Jt(1) 求抛物线y =ax +bx +c的解析式;(2) 试判断直线 CM与以AB为直径的圆的位置关系 ，并加以证明;在抛物线上是否存在点 N，使得S峦CN =4?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明

40、理由。+t ：（t_2j3*。2 2 2 8 2 8 2依题意， -t2j3 ,得 0V t 0当t=2j3时，S有最大值为2。2二次S数综合题，动点问题，曲线上点.的坐标2方程的关系，对称的性骯 绽段中垂线的性质,含3(P角的直角三角形的性质，锐角三角函馥定义，特殊角的三角函数值，点到直竝的距离，二汝函数的 ft值.【分析】 抛物统的解析式中，令Z，能确定抛物轴的交点坐标(即B点坐标h令尸0,能确 定抛韧线与X轴的交点坐标C即As C的坐标h(2)由(1)的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式.(3)欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标.已知九B的坐标，易判断出AOAB是含刘

41、0角的直角三角形，结合0、D关于直线AE对称，可得出QD的长，结合ZDOAffi值，应用三角函数即可得到D点的坐标首先用t列出AQ、AP的表达1式，从而可得到点pa器轴的距离，以0Q为底、P到X轴的距禽为高,可得到关于Ss t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值.例6: (2012四川内江12分)如图，已知点A (- 1,0), B( 4,0)，点C在y轴的正半轴上， 且/ ACB=90 0,2抛物线y =ax +bx+c经过A、B、C三点，其顶点为 M.【答案】 解：(1) Rt ACB 中，0C 丄 AB , AO=1 , B0=4 ,CO AO ACO ABO。-

42、= OC2=OA?OB=4 。OB CO OC=2。点 C ( 0, 2)。抛物线y =ax2 +bx +c经过A、B两点,设抛物线的解析式为：y =a(x+1 xx 4)，将c点代入上式，得:12 =a(O+1xO-4),解得 a1。113二抛物线的解析式：y ：= (X+1 X X-4 )，即卩 y = -x2+-x+2。(2) 直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下：,23)+空,8如图，设抛物线的对称轴与 x轴的交点为D，连接CD。由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt ABC斜边AB的中点，CD= - AB。2由(1)知：y = -1x2 + 3x+2=-3222l 2丿血

43、上,3 2525 _ 9则点 M (,),ME=2 =-。2 88 83而 CE=OD= , OC=2 , ME : CE=OD : OC。2又/ MEC= / COD=90 , CODCEM。/ CME= / CDO。/ DCM=9 。/ CME+ / CDM= / CDO+ / CDM=9 。55 CD是O D的半径，直线 CM与以AB为直径的圆相切。由 B(4，0)、C( 0，2)得：BC=2/5，4/5。11则：S庠CN =BC h =X2j5xh =4, h =2254亦过点B作BF丄BC,且使BF=h= h =戈一，过F作直线575 Rt BFG 中，sin / BGF=sin /

44、 CBO=,5BG=BF sin/ BGF=55=4。 G (0, 0)或(8, 0)。11易知直线BC : y=-一 x+2，则可设直线I: y= -一 x+b ,22将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则:1直线I: y= 一 X或2联立抛物线的解析式，1y= 一 X+4 ;2得：1y =- X/ 2I 12 丄3y X + 2 2X +21y = x+42。y =1X2 +3x +22 2解得f =2+2 Yy = 1 -（2或卜=2-2运或阡2。 卜一1+72)=3抛物线上存在点N，使得S济N =4，这样的点有3 个:弘（2+2丿 2,-1 -J、N2（2 -2 72,-1+71、N3

45、（2 ,3）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。【分析】(1) Rt ACB中，OC丄AB，利用相似三角形能求出 OC的长，即可确定 C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。(2)证明CM垂直于过点 C的半径即可。(3)先求出线段 BC的长，根据 BCN的面积，可求出 BC边上的高，那么做直线 I，且直线I与直线BC的长度正好等于 BC边上的高，那么直线I与抛物线的交点即为符合条件的N点。例7: (2012山东荷泽10分)如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0，1

46、)，B (2，0)，O (0，0),将此三角板绕原点 0逆时针旋转90。，得到 A B.O(1) 一抛物线经过点 A、B、B,求该抛物线的解析式;(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P,使四边形PB A的面积是 A B面积4倍？若存在，请求出 P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)在(2)的条件下，试指出四边形 PB A是哪种形状的四边形？并写出四边形PB A的两条性质.O逆时针旋转90得到的,【答案】 解： A B是由 ABO绕原点且 A ( 0, 1), B (2, 0), O(0, 0) A(-1, 0), B(0, 2)。设抛物线的解析式为2y =ax +bx +c(a h0),抛物线经过点A、B、B ,10 =a b +cI 0, y。，P 点坐标满足 y = x2+x + 2。连接 PB , PO, PB。S四边形pbA BOa，+S舉O+S少B1 1 1才2+厂2匕八= x+(x2 +x +2) +1 = x2 +2x