不定积分习题课.

1、第五章不定积分习题课主要内容an、主要内容定义 设/(X)是定义在区间/内的已知函数，如果 存在函数F(x),使得F(X)= f(x)或 dF(X)= f(x)dx, 在/内恒成立则称F(x)是八X)在区间/内的一 个原函数i：连续函技一定有原sft.2、不定积分(1)定义函数/(X)的全体原函数称为f(x)的 不定积分，记为lf(xdx.设 FXx) = /(X)J/(x)dr = F(x) + C：4!函数/(Q的原函数的图形称为/(X)的积分曲线.(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的 ；(/(兀心=/(x)f(x)dx = /(xWxjF(xkfr = F(jr) + C= F(x)

2、 + C(3)不定积分的性质r jlf(x)g(xdx = jf(xdxjg(xdx2。kf(x)dx = kf(x)dx 伙是常数，()3、基本积分表kdxMkx+C (上是常数) “仏 +C 31) + lf= ln X +CJ Xf ,dx = urchin x + Cl + x(7) Jsinx/x = -cf 牛 =fst xrfx= -cscx + CI F 心 arcsinx + C l-x-Jcosjcdjr = sInx + C(12)(13)adx = + CIna(141tail xdx = liictisx + C= ln(x + 6土HC(15)cot xdx = I

3、n sin X + C(16)J se xdx = ln(secx+tan x)+C(20) f , ,rfx = -arctan- +CJ ff +jr a a(17)Jcscxdx =ln(cs;x- dx;5/ (sinx)cos xdx;6/(仏;7./(tanx)sec xdx;8卅保6、第二类换元法定理设x = yA（r）是单调的.可导的函数，并且0（/）#（）,又设打“0（。具有原函数， 则有换元公式第二类换元公式4常用代换*1、令7 =対ux + b;令/ =1；vex + e2三角函数代换如f C x) = JflZ Z,令X = a sint.( X )=令X = a ta

4、n t.如/( X) = d令工=a sect*3.倒代换：令“厂7v分部积分法分部积分公式U三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数.一般记为/?(sinx,cosx)万能代换：令 = ton；2w1 M 2sinx = 巨 cosx =14-/?l + , r e , r sinxdx = + 仏J 1 + cos XJ 1 + cos X J 1 + cos X=f -dx + f EX 廿J 1 + cos X J 1 + cos XXJf *JCr e ,e sin x re ,=dx +IdxJ 1 + cos X 1+cosx J 1+cosxjr e

5、sin Xc1 + cos X注:有的被积函药的原函数不能用初等函数a示, 此时将积分分解抵消掉此部分再解。例IQ求 +J 1 + cos XVYx + 2sinCOS 原式=f2cs2 i2f -dx + f tan dx2曲艺J 22=X tan f tan dx + f tan dx2 J 2 J 2解原式町般HI f川利)10 J 工”(2 + x巧20ln 严-InX+M + C计讣宀2) + C例8. P173.7求 J_L解设厅-，即2右，于是2 1=2 f zdt = 2 (1 + -zdtJ1J /-I=-2t - In I I +C r+ 12、氏七旺I- + CV XJl

6、 + x + Jx999产+n f ” n+)叫小竺L咛而益P回严l、fJ/U|I 0 + (产+ IA + k)U二 J + (/UBJ +刀;5)111 = 丿严切皆(”“72 药 J = ipi 严LJF + r xp-X uB)3je X + A =I Ji-X + lI f丄卩& dLLlAJ+i卜=圧mmu咏u町=律嘉霜訂 書W产+ y f系6冏* XUKPJRX J啓哈讣心l + 工 llxp心(1_川作可 7 =5=- J = 團r-x V山+ X) T=早陆C（1 一 x）M（l 十 M 二IJA帅呵J系旳J6的水例10已知/（兀）的一个原函数 穴；求丿对心心 解 Jxfx）

7、dx = Jxdf（X）=xf（X）- j f （x）dx=+c=2丘一一厂 +C.三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 的函数称之.一般记为R（sinxsx）此类函数经过代换可化为有理函数.三角函数有理式的积分（万能代换） 设 U = tan 22tan 2仙 sin.v=2sineos4= = =22 sec2 些 l + tiii?兰 1 + 2 2 1 tun I 2 cos x=co s?召一S i rP = = 一22匹 c2A1+沪2 dx=i+ir变换后原积分变成了有理函数的积分.例11.求J.节严严J sinx(14-cosx) 解令u=lan，则sin

8、K=血铁,2 1+2.r=2arctan u , dx du J+zr f 1+sinx_ dx =(”希,1+2于是J sin.v(l+cosx) 如(+iS 1+H14- I 皿=2 Ru + 2+丄)d =2(企+2w + lnlMl)+C2 J142 2=-lan|.lan|.-lnllanjkC例*12.求积分J4 dxsin X解（一）Jin仃M = tanW, sinx =2必=? 心21 + w1 + w1 +3/ +3/ + /du8/=-+ + + C83 沪 M 3133.= + - tan - +f xV 5*824 tan- 8tan-l 2丿 2；吨皿解（二） 可以

9、不用万能S换公式.f 4 dx = fcsc x(l +cot2xkZr sin X=fcsc xdx + fcotxlcsc xdx= -cotxcot X + C.3结论：比较以上解法，便知万能置换不一定是最佳方 法，故三角有理式的计算中先考虑其它手段， 不得已才用万能置换.u-Ld王 :言 +勺+ C0_=5忻 Na(x+7l + 5讣J 厶1 + 3 轎二一|1( X 十 J + J?) + 5一、- : 2x 1 -N (1 + F: 4 ) I 3 X +已+ X2 2已 4 L /1 + X2莎艸H (In(x+ cl + x2) + 5d=n(K + Jl + K2) + 5_

10、Jx arctan jvln(l + x) 0,求/(工)解：由题设Fx) = /(%),则屮0)(*)=丽2加， 故 J F(x)F 3止=Jsii? 2xdx业2?PF(x) = x-isin4x + CvF(0) = l ,/.C = ?*2(0) = ,又 /0,因此F(x) = Jjr-；sin 4x + l 按sin? 2x故w e芦声当分母的阶分子的阶时可考虑试用倒代换：x =例12/1 + 2 八+C-/2+J+尹“皿 *0迈二一 3(i+护%+(i + h+c.例4求骼肛解令kJ （倒代换）原式訂丁A也尸K= -J_Jf/ + J；：，! = arcsin/ + 1 +CJx

11、 1、 1 C=arcsin + C.XX需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法，要注意综合 使用各种基本积分法，简便计算.初等函数的原函数不一定是初等函数，因此不一 定都能积出.例如，J厂* dx,“血，Jsin xdx,JJl + P dx.JA/1-Jtsinxd.v (0A C； F,(x).FUx) = C.F,(x) = CF,(jr)j K,(x)-FJr = C，则 frfF(r)=()(B)(D) FB+f1. 设F,(x),Fj(x)是区阖内连续函数r(H)的两个不同的原函数，且/(X)H()则在区间 内必有()(A)(B)(C)(D)2、若F (x = f(x

12、(A) /(叫(C) /3+C；3、八工)在某区间内具备了条件 )就可保证它的原函数一定存在(A) 有极限存在；(B) 有界；(B)连续,(D)有有限个间断点4、下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)初等函数必存在原函数i毎个不定积分都可以表示为初等函数: 初等函数的原函数必定是初第函数： 都不对.5、函数/(x)=(x+x：)的一个原函数nx)=()4 .4(A)尹；(BKJJ(C)；如6、已知一个函数的导数为/ = 2x , 且x = l时1 = 2,这个函数是(A) y-x-C;(B) y = x + l;(C) y = 2 +C；n 2 x* + x2.2(D) -+jf) 310、FCr) + CF(/) + c I(C)(D)-F(W + fe)+C;* a十方)+C(A) -lnx + + C ;XX 打(x)dr = F(jr) + C,_ax=m + 5 f/(M=()(A)(B)(C) -Inx-+CXXf dx =(9)一36(4+17 + 5(D) 一36(1严二、求下列不定积分： f -()sdr; J X X f Jln( K +侖+7) + 5J 7177f 夕 J 1 + vl-x *r