证明不等式的几种常用方法

1、 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外， 在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构， 恰当地运用反证法、 换元法或放缩法还可以化难为易下面几种方法在证明不等 式时也经常使用 一、反证法 如果从正面直接证明， 有些问题确实相当困难， 容易陷入多个元素的重围之 中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种这 就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道 理 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时， 必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺

2、少任何一种可能， 则反证法都 是不完全的 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理， 导出矛 盾，从而说明原结论正确例如要证明不等式AB ，先假设 A B ，然后根据 题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A B 不成立，而肯定 A B 成立对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、 “唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效 例 1 设 a、b 、c 、 d 均为正数，求证：下列三个不等式： a b cd ； (ab)(c d)ab cd ； (a b)cd ab(c d)中至少有一个不正确

3、 反证法：假设不等式、都成立，因为 a、b 、c 、d 都是正数，所以 不等式与不等式相乘，得：(ab) 2 ab cd ， 由不等式得 (ab)cd ab(c d) ( a b ) 2 (cd)， 2 ab 0 ， 4cd (a b)(c d) ， 综合不等式，得4cd ab cd ， 3cd ab ，即 cd 1 ab 3 由不等式，得 (ab) 2 ab cd 4 ab ，即 a 2 b 2 2 ab ，显然矛盾 33 不等式、中至少有一个不正确 例2已知 a b c 0， ab bc ca 0 ，abc 0 ，求证： a 0 ，b 0 ， c0 证明：反证法 由 abc 0 知 a 0

4、 ，假设 a 0 ，则 bc 0， 又 a b c 0 ， b c a 0，即 a(b c)0 ， 从而 ab bc ca = a(b c)bc 0 ，与已知矛盾 假设不成立，从而a 0 ， 同理可证 b 0， c 0 例3若 p 0 ，q0 ， p 3 q 3 = 2 ，求证： p q2 证明：反证法 假设 p q 2 ，则 (pq) 3 8 ，即 p 3 q 3 3pq (p q) 8， p 3 q 3 = 2 ， pq (p q)2 故 pq (p q) 2 = p 3 q 3 = (p q)( p 2 pq q 2 )， 又 p 0， q 0p q0 ， pq p 2 pq q 2 ，

5、即 (p q) 2 0 ，矛盾 故假设 p q 2 不成立， p q 2 例 4 已知 f ( x) = x 2 ax b ，其中 a、b 是与 x 无关的常数，求证：| f (1) | ， | f (2) | ， | f (3) | 中至少有一个数不小于 1 反证法一：假设 | f (1) | 1，| f ( 2) | 2 1，| f (3) | 1 ， 2 2 2 由于 f (1) = 1 a b， f (2) = 4 2a b ， f (3) = 9 3a b ， f (1) f (3) f (2) =2 ， 但是，2 = | f (1) f (3) f (2) | | f (1) |

6、| f (3) | 2| f (2) | 1 1 2 1 2 2 = 2 ， 2 即 22，矛盾， 假设不成立， | f (1) | ， | f (2) | ， | f (3) | 中至少有一个数不小于 1 2 反证法二：假设 | f (1) | 1 ，| f ( 2) | 1 ， | f (3) | 1 ，即 2 2 2 | f (1) | 1 , 1 a b 1 1 2 , 2 2 | f (2) | 1 , 1 a b 4 1 , 2 2 2 2 1 1 a b 1 | f (3) | . 2 3 9 . 2 2 得： 1 4a 2b 10 1，即 1 2a b 5 1 ， 22 3 2

7、a b 4 1 ， 2 2 显然与矛盾，因此，假设是不成立的， 故| f (1) | ， | f (2) | ， | f (3) | 中至少有一个数不小于 1 2 例 4 设 a，b ，c 均为小于 1 的正数，求证： (1 a)b ，(1 b)c ，(1 c)a 不能同时大于 1 4 证明：反证法 假设 (1a)b ，(1 b)c ，(1 c)a 同时大于 1 ，即(1 a)b 1 ，(1 b)c 1 ， (1 c)a 1 ， 4 4 4 4 则由 1 (1 a)b ( 1 a b ) 2 1 a b 1 ， 4 2 2 2 同理： 1 bc 1 ， 1 ca 1 ， 2222 三个同向不等

8、式两边分别相加，得 3 3 ，矛盾，所以假设不成立， 2 2 原结论成立 例6若 0 a 2 ，0 b 2 ，0 c 2 ，求证： (2a)b ， (2b)c ，(2 c)a 不能同时大于 1 证明：反证法 ( 2a)b1, 假设 (2 b) c 1, ( 2 c)a 1. 那么 (2 a) b (2 a)b 1 ， 2 同理 (2 b) c 1， 2 (2c)a 1 ， 2 ，得 3 3 矛盾， 即假设不成立， 故(2 a)b ，(2 b)c ， (2c)a 不能同时大于 1 二、三角换元法 对于条件不等式的证明问题， 当所给条件较复杂， 一个变量不易用另一个变 量表示，这时可考虑用三角代换

9、，将复杂的代数问题转化为三角问题 若变量字母 x 的取值围与 sin或 cos的变化围相同，故可采用三角换元， 把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证一般地，题设中有形如 x 2 y 2 r 2 ， x 2 y2 x 2 y2 x r cos a 2 b 2=1或 a 2 b 2 = 1 的条件可以分别引入三角代换 r sin y (| r | 1) ， x a cos 或 x asec ，其中 的取值围取决于 x ，y 的取值围， y b sin y b tan 凡不能用重要不等式证明的问题时，一般可以优先考虑换元 (代数换元或三角换 元 )，然后利用函数的单调性最终把问题解决在三角换

10、元中，由于已知条件的限制作用，根据问题需要，可能对引入的角度有一定的限制，应特别引起注意， 否则可能会出现错误的结果 例 2 已知 1 x 2 y 2 2，求证： 1 x 2 xy y 2 3 2 证明： 1 x 2 y 2 2 ，可设 x = rcos ，y = rsin ，其中 1 r 2 2 ， 02 x 2 xy y 2 = r 2 r 2 sin 2 = r 2 (1 1 sin 2 )， 2 1 1 1 sin 2 3 ， 1 r 2 r 2 (1 1 sin 2 ) 3 r 2 ， 2 2 2 2 2 2 而 1 r 2 1 ， 3 r 2 3 ， 222 1 x 2 xy y

11、2 3 2 例 2已知 x 2 2xy y 2 2 ，求证： | x y | 10 证明： x 2 2xy y 2 = (x y) 2 y 2 ， 可设 x y = rcos ， y = rsin ，其中 0 r 2 ，0 2 | x y | =| x y2y | = | rcos 2rsin | = r| 5 sin( ractan 1 )| 2 5 r 10 例3 已知 1 x 1， n 2 且 n N ，求证： (1x) n (1x) n 2 n 证明： 1 x 1，设 x = cos 2 (0 )， 2 则 1 x =1 cos 2= 1 (1 2sin 2 ) = 2sin 2 ，1

12、 x =1 cos 2= 2cos 2， (1 x) n (1 x) n = 2 n sin 2n2 n cos 2 n 2 n ( sin 2cos 2) =2 n ， 故不等式 (1 x) n (1x) n 2 n 成立 例4 求证： 1 1 x2 x 2 证明： 1 x 2 0 ， 1 x 1 ，故可设 x = cos ，其中0 则 1 x2 x = 1 cos2 cos = sin cos = 2 sin( )， 3 4 ， 4 4 4 1 2 sin( ) 2 ，即 1 1 x2 x 2 4 三、增量代换法 在对称式 (任意互换两个字母，代数式不变 )和给定字母顺序 (如 a b c

13、)的 不等式，常用增量进行代换， 代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清 晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简 例7已知 a， bR，且 ab = 1 ，求证： (a2) 2 (b 2) 2 25 2 证明： a，bR，且 ab = 1 ，设 a = 1 t ，b= 1 t ， (tR) 22 则(a 2) 2 (b 2) 2 = ( 1 t 2) 2 ( 1 t 2) 2 = (t 5 ) 2 (t 5 ) 2 = 2222 2t 2 25 25 2 2 (a 2) 2 (b 2) 2 25 2 21 例8已知 a a a = 1 ，求证： a2 a 2 a 12n12n

14、证明：设 a 1 = t 1 1 ，a 2 = t 2 1 ， a n = t n 1 ，其中 t 1 t n n n t n = 0 ， 则 a12 a22 an2 = (t 1 1 ) 2 (t 2 1 ) 2 (t n 1 ) 2 = n nnn 2 1 2 n 2 1 ( t 1 t 2 t n ) t12 t22 t n2 = 1 t12 t22 tn2 1 n n n 四、放缩法 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式的传递性， 作适当的放 大或缩小，证明不原不等式更强的不等式来代替原不等式的证明这种证题方法 的实质是非等价转化， 而它的证题方法没有一定的准则和程序，需按题

15、意适当 放 缩，否则是达不到目的 利用放缩法证明不等式， 要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式 中一些正项或负项， 或者在分式中放大或缩小分子、分母、把和式中的某些项换 以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的此类证法要慎审地采取措施， 进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小 )都会导致推证的失败 例 5 设 n 为自然数，求证： 1 1 1 1) 2 1 9 25 (2n 4 证明： 1 2 = 2 1 4k 2 1 =1(1 1 )， (2k 1) 4k 4k 1 4k 4 k k 1 1 1 1 2 1 (1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) = 1 (1 9

16、25 (2n 1) 4 2 2 3 n n 1 4 1 )1 n14 1 1 1 2 1(11)(1 1)(1 1 )=1(1 9 25 (2n 1) 4 2 2 3 nn 1 4 1 )1 n 1 4 例5 已知 a n = 1 2 2 3 n(n 1) ，其中 n 为自然数， 求证： 1 n(n 1)a n 1 (n 1) 2 2 2 证明： k (k 1) k k 1= 2k 1 对任意自然数 k 都成立， 2 2 a n =12 23 n(n1) 3 5 7 2n 1 2222 = 1 3 5 7 (2n 1) 2 = 1 (n 2n) 1 (n 2n 1) = 1 (n 1) 2 2

17、 2 2 又 k (k 1) k 2 = k ， a n = 1 2 2 3 n(n 1) 1 2 3 n = 1 n(n 1)， 2 1 n(n 1)a n 1 (n 1) 2 22 评析：根据要证不等式的结构特征，应用均值不等式“放大”a n 为一个等 差数列的和，求和后再添加一个数1 ，直到“放大”到要证的右边；而左边是通 过“缩小” a n 的方法去根号而转化为等差数列的和放大或缩小的技巧很多， 如添项、减项、分子、分母加或减一个数，或利用函数的单调性、有界性等等， 但要注意放缩要适度 11 设 a 、 b 为不相等的两正数，且a 3 b 3 = a 2 b 2 ，求证： 1 a + b 4 3 证明：由题意得a 2 ab b 2 = a + b ， 于是 (a b) 2 = a 2 2ab b 2 a 2 ab b 2 = a + b ，故 a + b 1 ， 又(ab) 2 4ab ，而 (ab) 2 = a 2 2ab b 2 = a b ab ab (a b)