“点差法”在解析几何题中的应用.

1、“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法: 设弦的两个端点坐标分别为 X1,y1、X2,y2，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽 视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1 求弦中点的轨迹方程2例1已知椭圆却y21，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解 设弦的两个端点分别为,Q X2,y2 ， PQ 的中点为 M X, y .Xi2y12 得:2 2X1X222X22y1y22 1,2y2X22%丫2X1X2yiy20.又 X1x22x, yiy

2、22汕y2X12， X 4y 0.X2Q弦中点轨迹在已知椭圆内,所求弦中点的轨迹方程为X 4y 0（在已知椭圆2内）.例2 直线l : aX y a 50（ a是参数）与抛物线f2的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是解设A X1,y1 B X2,y2，AB中点M X, y，则X1X22x .l过定点N 1, 5 ，kABkMN又y12X11，（ 1）y2X2得: y1y2X1X21 2X1X2X22kAB力 丫2X1 X2X1X22.于是 口 2x 2，即 y 2x27.X 1Q弦中点轨迹在已知抛物线内,所求弦中点的轨迹方程为y2x27 （在已知抛物线内）.2 求曲线方程例3 已知 ABC

3、的三个顶点都在抛物线y232X上，其中A 2,8,且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解由已知抛物线方程得 G 8,0 .设BC的中点为Mxo,yo ，G、M三点共线，且AG2GM，ULUUG分AM所成比为2，于是g 81 28 2y0解得X0y。11411, 4 .设 B Xi,yi,CX2, y2，则 y1y28.又y1232xi，(1) y232X2，（ 2）12得:2 2y1y2X2 ，kBCy2y1X1 X232y1 y23284.BC所在直线方程为11 ，即 4x y400.2例4已知椭圆笃a2 y b20的一条准线方程是X1,有一条倾斜角为的直线交椭圆于A B两点,

4、4若AB的中点为求椭圆方程.解设A为,y,、B X2,y2，则X1X21,y1y22X12 a2X22a2宦 1，（2）1 2 得:2X12X22a2 2 y1y2b2y1y2X1X2X1X22ay1y2bla2241 ,1kAB* y2X X22b2a2a22b2，( 3)而a2b2a2c，（ 4）由（3），（4），（ 5）可得 a22,b2所求椭圆方程为2xT22y141.542563 求直线的斜率例5 已知椭圆2 x251上不同的三点A x1, y1 , B 4,9 ,C x2, y2与焦点5F 4,0的距离成等差数列.（1）求证:8 ; （2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T ,

5、求直线BT的斜率(2)Q x1X2设线段AC的中点为D4,yo .又A、C在椭圆上,2X125252 得:2x.252X22 2y1y29y29 x,x2X1X225 y1 y29253625 yo直线DT的斜率kDT362yo25yo直线DT的方程为36643对称，求实数令y 0，得 x g，即 丁饕0，直线BT的斜率k 44 确定参数的范围例6若抛物线C : y2 x上存在不同的两点关于直线I : ym的取值范围.解当m 0时，显然满足.当m 0时，设抛物线C上关于直线l:yx 3对称的两点分别为P M,yi、Q X2,y2，且PQ的中点为M Xo,yo，则X1，（ 1）y22x2，（2）

6、得：yi2y2X1X2，kPQyX1yX2yiy2又kPQyoQ中点M Xo,yo在直线l : y m上,yoXo3，于是XoQ中点M在抛物线y2x区域内2yoX0，即-2I，解得710 m综上可知，所求实数的取值范围是伍師.5 证明定值问题x2已知AB是椭圆-2a2与 1 a b 0不垂直于X轴的任意一条弦， P是bAB的中点,O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线0P的斜率之积是定值.证明设 A x1,y1 ,B x2,y2 且为 x?，(1)2 X2 2 a1，（ 2）得:2X12X2 2 a2y12 y2 by1y2X1X2b2 xa2 y1X2y2kABy1 y2X1X2b2 Xa2X2yy2y2kABX1X2b22 akABkOPb2 （定值）.a6 处理存在性问题例8 已知双曲线x21，过B 1,1能否作直线l，使l与双曲线交于P ， Q101 22，又 X122 yj2得:XiX2X1 X22 12 x2-y21-y1 y22yiy22 x1x2Vi2PQ的斜率y2X1X2又直线l过P,Q,B三点,l的方程为yy 2x 1.但若将y 2x 1代入x22y21整理得方程2x24x 30，而此方程无实数解,两