3-9.函数模型与应用(指数对数幂函数)

1、RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 考纲要求考情分析 1.了解指数函数、对数函 数以及幂函数的增长特征 ，知道直线上升、指数增 长、对数增长等不同函数 类型增长的含义 2了解函数模型(如指数 函数、对数函数、幂函数 、分段函数等在社会生活 中普遍使用的函数模型)的 广泛应用. 通过对近两年高考试题的统计分析 可以看出，对函数的实际应用问题的 考查，多以社会实际生活为背景，设 问新颖、灵活，而解决这些问题所涉 及的数学知识、数学思想和方法又都 是高中教材和大纲中所要求掌握的概 念、公式

2、、法则、定理等基础知识和 方法，此类问题一般涉及到的知识点 比较多，综合性较强，属中高档题， 题型以解答题为多，如2011年湖南、 湖北卷，但也有选择题和填空题. RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） (对应学生用书P42) 知识梳理 1三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0，) 上的增减性 单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表示为 与y轴平行一样 随x增大逐渐表现 为与x轴平行一样 随n值变化 而不同 值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnx 0

3、时有axxnlogax. RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 2解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择 数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语 言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下： RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 解析：因指数函数型增长快，又e2.则应选A. 答案：A RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（

4、理）新课标高考总复习（理） 2从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税 率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2010年6月1日存入若干万元 人民币，年利率为2%，到2011年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64 元，则该存款人的本金介于() A3万4万元 B4万5万元 C5万6万元 D2万3万元 RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 32004年6月30日到银行存入a元，若年利率为x，且按复利计算， 到2012年6月30日可取回() Aa(1x)8元 Ba(1x)9元 Ca(1x8)元 Da(1x)8元 解析：由已知一年后可取回

5、a(1x)元 二年后可取回a(1x)2元， 2012年6月30日可取回a(1x)8元 答案：A RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 4高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了 一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数 vf(h)的大致图象是() 解析：当hH时，体积为V，故排除A、C，又当开始阶段，由H 0过程中，减少相同高度的水，水的体积减少的越来越多，故D不满足 要求 答案：B RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 5某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而 需求量

6、相应减少，具体调查结果如下表所示： 表1市场供给表 表2市场需求表 单价/(元/kg)22.42.83.23.64 供给量 /(1000kg) 506070758090 单价/(元/kg)43.42.92.62.32 需求量 /(1000kg) 506065707580 RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时 的单价)应在区间() A(2.3,2.4)内 B(2.4,2.6)内 C(2.6,2.8)内 D(2.8,2.9)内 解析：供给量和需求量相等时西红柿的价格应在(2.6,2.8)内 答案：C R

7、JRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） (对应学生用书P42) 考点1一次函数与二次函数模型的应用 1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型， 其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数 小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解 2有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问 题、产量问题等构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解 决 RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJR

8、JA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 在实际问题中优化、面积、利润、产量等问题常与二次函数有关， 可建立二次函数模型，常利用配方法借助于对称轴和单调性求最值问 题 RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全 部租出；当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆租 出的车辆每月需要维护费200元 (1)当每辆车月租金为3600元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的

9、月收益最大？最大 月收益是多少元？ RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 考点2分段函数模型 1.现实生活中有很多问题都可以用分段函数表示，如出租车计费、 个人所得税等问题，分段函数是解决实际问题的重要模型 2分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可先将 其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要 注意各段自变量的变化范围，特别是端点值 3构造分段函数时，要力求准确简捷，做到分段合理，不重不漏， 分段函数也是分类讨论问题 RJRJA A版版数学数学 新课标

10、高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 例2 (2011年湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城 市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时) 是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米 时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车 流速度为60千米/小时研究表明：当20 x200时，车流速度v是车流密 度x的一次函数 (1)当0 x200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点 的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可达到最大，并求出最大 值(精确到1辆

11、/小时) RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 考点3 RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复

12、习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内， 沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的 空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积 是多少？ RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 考点4指数函数模

13、型 指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合 进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题 可以用指数函数模型来表示通常可表示为ya(1p)x(其中a为原来的 基础数，p为增长率，x为时间)的形式 RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 例4 急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负控制人 口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前 (1)世界人口在过去的40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是 多少？ (2)我国人口在2006年底达到13.14亿，若将人口平均增长率控制在 1%以内，我国人口在2016年底至多有多少亿？ 以下对

14、数值可供计算时使用： N1.0101.0151.0171.3102.000 lgN0.00430.00650.00730.11730.3010 N12.4813.1113.1414.51 lgN1.09621.11761.11861.1616 RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） (1)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有 关已知数据代入验证确定参数，从而确定函数模型 (2)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数性质求解 RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） RJRJA A版版数学数学 新课标高考总复习（理）新课标高考总复习（理） 1理解函数思想及函数与方程思想的实质，强化应用意识 2通过解决函数应用题提高学生的阅读理解能力，抽象转化能力 和解答实际问题的能力 (1)含增长问题一般可建立指数型函数模型ya(1p)x. (2)指数式和对数式的计算问题应借助计算器进行 (3)实际问题要按精确度要求作近似计算，并且变形时要控制误 差(注意单位的统一等问题