2013电大微积分初步考试小抄2013中央电大专科《微积分初步》考微积分试小抄剖析

1、电大微积分初步考试小抄、填空题11函数f(x).的定义域是i5 - x5 x 0(-m,5).(f (x)dx )= f (x)或 d( f(x)dx) = f(x)dx10. 微分方程y丄y, y(0) = 1的特解为 dy y = y dxX七xy=edy = dx两边积分丄dy二dx yy1.方程.y-1 (x-1) =2sin x+c2. Iim xsin :x. sin x Iim1x )：:x1x 时，-0xy = e 又 y(0)=1 (x=0 , y=1).0七In y=x c 1二e ， c=011. 函数f (x)4-x2的定义域是ln(x 2)14. (sinx) dx

2、=15. 微分方程(y )3 4xy二y5 sinx的阶数为x16. 函数f (x)的定义域是In (x-2)2In(x-2)式 nx-20三阶(2,3 ) U (3,o)3已知 f (x) =2X，则 f ”(x)= 2X(In2)24.若 f (x)dx = F(x) c，则(-2,-1 Q (-1,2】In (x_2)fx2f(2x -3)dx = 1 F(2x -3) C 2产24-x 二0*x+205.微分方程x(y )4 sin = ex y的阶数是阶 y16.函数 f(x):In(x 2)的定义域是(-2 , -1 ) U (-1 In (x 2) = 0-2乞x乞2x-2ln(

3、x 2) = In 1-2Vx2sin x17. IimX F： 2x18. 已知 f (x x33X，贝U f (3)=2 xf (xH 3X 3 In3 . f (3) = 27 27In 3 x2e +c2x219.dex =_1/227+27In3oo )x 20, Inx2=0= 乂-2, In(x 2)=ln1=、xx | x - 2且 n-1 / sin 2x 7. Iimx 10xsin2x Iimx 10x1. si n2x 2：12Iim2.1=21 x 30 2x22)( x - 3)，贝U y (0)=sin2x =IimX012x 28. 若 y = x (x - 1

4、)( x -y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2 zx -6x32=x4-6x3+11x2-6x ,y-18x 22x-6 厂(把0 带入 X) . y (0) = -6,29. d e dx =-62、，24323_-x)(x-5x+6)=x -5x +6x -x +51 912.若函数 f (x)二 xSin -2, x 2 = 1?续，则k =lim-1, xk,f(x)二 f(X。)( f(x)在 X。处连续)X X0 f (0) =kIim /. 3 小(xs in 1)x 0 x=1x有界函数)皿 x sin1x 0 x(无穷小量20.微分方程(y )3 4xy = y7s

5、inx的阶数为二、单项选择题ex eX y，则该函数是(偶函数)2Xe e2x-3x2 -3x 21.设函数f (-X)二f (x)二13.曲线y二,x在点(1, 1)处的切线方程是1 . 1y x -2 21y = x = x2jx 2 y |x =1四阶二f(x)所以是偶函数2函数意义的点是间断点二的间断点是(x=1,x = 2 )分母无x -3x 2=0,x=1,x=23.下列结论中(f (X)在X = X0处不连续，则一定在 X0 处不可导)正确可导必连续，伹连续并一定可导；极 值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上J4.如果等式f(x)exdx =J-ex c，则 f(x)二(

6、12 )X15.下列微分方程中为可分离变量方程的是.f(x)dx = F(x) C,. F (x) = f(x),1-(e x)=，令 u 二-,yx16.下列函数中为奇函数是(eu=e(In (x . 1 x2)_11 j解：令 u= 、. x = x2 ,u =_ x 2 =x 2xx1 1xr = (eur X。但A二f(x0)是错误的.13. 函数y =(x，1)2在区间(-2,2)是(先减后增)14. xf (x)dx -( xf (x) - f(x) c)广 xex+1,x 式 0_在x= 0k, x = 0处连续.18.函数y=x21在区间(-2,2)是(先单调下降再单调上升)1

7、9. 在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4 的曲线为(y = x + 3).20. 微分方程y=y, y() = 1 的特解为(y = ex).1门 H = dxdu 2”xsin u 2du=2 sin udu =2(-cos)+c=-2cos x X c14.计算定积分2xeXdx-0xx=e ,v= e1dx=uv -.(X二、计算题X2 -3x 21计算极限IimT細 (x1)(x 2)(x1)1解：IimIim小 x - 2x 2 (x 2)42.设 y 二 x . x，求 dy.飞x2h-2x解：e x x2-2xy广euy0答案：2答案:6.7.1函数f(x)的定义域是

8、(ln (x1)(1, ：) b . (0,1) 一(1,：) (1,2) 一(2,：)2设 f(X 1) =x）.答案:C (0,2) -(2,B . 1C . 2x-32X的间断点是（）答案:- 3x 2B X = 33 D .无间断点7函数X2 2x3 y =的间断点是X +1X9-18.lim xsin =答案：1xJpcX6函数 f (x -1) = x -2x，则 f (x) = x2,1答案:-1，则 f（X）2Xsin 4x9.若lim2，则k二答案:xt sin kx10.若 lim sin 3x =2，则 k =答案：1.5xt kx二、单项选择题（每小题2分，共24分）以

9、。 X丄e 十e1 设函数y，则该函数是（）答案：2A . X(X 1)D . (X 2)(X -1)8.下列各函数对中，(A f(X)=( . X)2， g(x)=x2f (x) = ln x，g(x) =2ln x3f (x) = In x g(x) = 3ln x当x-1A . 一X)答案：CC . x(x- 2)7分，共56分)X2 3x + 21.计算极限limI2 x- 4三、解答题（每小题29.）中的两个函数相等.答案：2 Xg(x) = x b . f (x)0时，下列变量中为无穷小量的是（ sin xB .-Xc. l n(1 x)）答案:c.x曹 3x + 2 (x*1)(

10、x(2)x11lim2E lim 冃I i mSi2 x B4t(x+2)(x-2)i2x+242 .计算极限lim 25X6i1x - 1A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数D 既奇又偶函数22 设函数y = x sinx，则该函数是（）.答案：aA 奇函数B 偶函数 C 非奇非偶函数D 既奇又偶函数10 .当 k时,函数x2 +1, k,，在x = 0处连续.答案:x2+5x6 (x+6)(x1) x+6 7lim2= lim= lim=i1 x21i(x+1)(x-1)Tx+12x2 -93. lim 厂x 3 x2 _ 2x _ 3肋 甘卡(x + 3)xj3)广 x+33解： 原

11、式=lim= lim=_i3 ( x + 1)( xf3x2 - 6x 84 计算极限lim 214 x 5x 十 4x_；2 x 13 函数 f(x) 口2x=x2夕的图形是关于（）对称.答案:211 .当 k =（）时，函数 f （x） = *D .ex 2,k,解x2H6x + 8(4)(2)x2 2lim S lim S l i m i4x2=5x+4 xt(x.4)(x1) 14 x=1 35.计算极限lxm2x|解2x - 6x 8lim 二2lim (x二4)(x二2)一 .lim x二4 = 2x 2x2 -5x 6 x2(x-3)(x-2) xx-3_ X _ 16.计算极限

12、lim +1) limElim 0xxtx( J儈x +1)启 lim；詩 lim .t x( J督x +1)xT J1 x +121 - x -17 .计算极限lim t si n4xXlim*三 J1 一 limx -1x 0 sin4x .1 - x 1 x 0 4x1 - x 18sin4x Wx +4 +2 )4xlimlim x x 4 -2.x 42 x 0一、填空题(每小题 2分，共20分)1.曲线f (x)1在(1,2)点的斜率是案:2 .曲线f(x) =ex在(0,1)点的切线方程是 案：x y +1 =0-x或解13.曲线yx2在点(1,1)处的切线方程是.答案：2y+x

13、=35.若 y = x (x -1)(x -2)(x -3)，贝U / (0)=.答案：E66 .已知 f (x) = x3 +3x，则 f (3)=. 答案：27(1 +ln 3)7.已知 f (x) = ln x，则 f (x)=.答案A8-若 f(x)二 xe：则 f (0)=答案:-29函数的单调增加区间是(1/:)答案:fJx十4 +2 )10 .函数f(x) = ax2+1在区间(0,+)内单调增加，则a=16应满足.答案：a園0二、单项选择题(每小题 2分，共24分)21.函数y = (x 1)在区间(-2,2)是(A.单调增加 减后增答2 .满足方程c.A.极值点3 .若 f

14、(x) = ecosx，则 f r(0)=( 答答 A. 2B. 1C. -1) 答案：DB .单调减少C .先增后减D .先f (x) = 0的点一定是函数y= f (x)的()答案:B .最值点C.驻点 D .-x间断点). 答案：cD.4.B5.案B.设则c.设y= f (x)是可微函数,B .D.(). 答案:(cos2x) sin 2xd2xf (cos2x) sin 2xd2x6. 曲线y二ecA .7.AB .d . 2 si nx则 df(cos2x)二().答 a .2 f (cos2x)dxc . 2f (cos2x) sin 2xdx?x 1在x = 2处切线的斜率是4e

15、 b.若 f (x)二c.). 答案:xco s2e4 f (x)D.cosx - xsin xx cosx)答案：c cosx xsin x -2sin x - xcosx则 f (x)=().答c. - sinxa . cosx 3a b . sin x 6a d . cosx38 .若f(x)二sinx a ，其中a是常数,案c10.若函数f(X)在点xo处可导，则()是错误的.A .函数f (x)在点xo处有定义 b . lim f (x) = A，但 A = f(xo) C.函数f (x)在点xo处连续 D .函数f (X)在点 xo处可微11下列函数在指定区间案：BA . sinx

16、B . e x12下列结论正确的有(A . xo是f (x)的极值点，o B . xo是f (x)的极值点，贝UC .若 f (xo)=答案：B5 .设y = y(x)是由方程x2 - y2 - xy = 4确定的隐函数, 求dy.Hb2 .若f (x)的一个原函数为x - ex，则f (x)=2e或3 .若 f (x)dx 二 xex c，贝U f (x) =(_oO,七边)上单调增加的是().答解 对方程两边同时对x求微分，得或C. x 2答案：A).且f (Xo)存在，则必有f衣0)=x0必是f (x)的驻点,贝U xo必是f (x)的极值点2 xdx + 2ydy - xdy - yd

17、x = 0(2xy )dE (B2y )dy2x y二 dy=dxx 2y4 .若 J f (x)dx = sin 2x + c，则 f (x)D .使 f (x)，一定是f (x)的极值点226.设目二y(x)是由方程x y 2xy二1确定的隐函数, 求dy.5 .若 f (x)dx = x ln x c，贝U f (x)= 丄x 2解原方程可化为(x+y) =1r x + y = 1,y = _x1y 二 -1,dy 二-dx.答案:三、解答题(每小题 7分，共56 分)Hbc7.设目二y(x)是由方程ex xey x2二4确定的隐函数,求dy .解：方程两边同时对 x求微分，得$xdx

18、eydy xeydx 2xdx = 02xeydy 需(ex+ey + 2x )dxdy 二-eyxe2xdx8.设 cos(x y) ey = 1，求 dy .解：方程两边同时对-sin x y dxx求微分，得dy eydy = 0sin ( x + y ) dyiey-sin(xJy严一、填空题(每小题 2分，共20分)1.若f (x)的一个原函数为ln x ，则f (x)二6. 若 f (x)dx = cs 2x c,则 f (x)二.答案H4con2x2 2 27. d je dx=e dx.答案：e dx8 . J(sin x) dx =. 答案：sin x + c9 . 若 f

19、(x)dx = F(x) c , 则1f(2x 3)dx=.答案：一 F(2x 3) + c 210 . 若 f (x)dx= F (x) c , 则2xf (1 - x )dx =.1 2答案：一一 F(1 x )+c2二、单项选择题(每小题 2分，共16分)1 .下列等式成立的是().答案：Aa . 一 f(x)dx 二 f(x)B . f(x)dx=f(x)dxc . d f (x)dx = f (x)d . df (x) = f (x)3若 f (x)dx 二 x2e2x c，则 f (x)二( a. 2xe2x(1 x)b. 2x2e2x2xxe4若 f (x)二 x 、x(x 0)

20、，案：AilX “ X c33 2x2 c2以下计算正确的是(宀d3x3 dx = In 3dx Vx.xxf (x) dx =(xf (x) - f (x) cx2 f (x) c2d a _2xdx=(A.B.c. 2xe).2xf (x)dx =5.C.6.A.C.7.C.-2xa-2x .a dxD.8.如果等式案B1A. xx2 x c32 2 二C.或d .2.(2x-1)10dxV = 20兀(60 20) = 20兀疋40= 2吨汉1600 = 3200兀(立方厘米)2欲用围墙围成面积为 216平方米的一成矩形的土地，并在正 中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺

21、寸， 才能使所用建筑材料最省？1101111111訓11尸号术1)左(2xf) +2.解：设成矩形有土地的宽为x米，则长为纱米,x12 2 2xx2 c23答案：Ad(1B .1 + x1In xdx 二 d(_)x答案：AB. xf (x) cD. (x 1) f (x) c). 答案：C.1sin-2xdxxx2).1sin 2xxdBsin d (丄)包 cos】十 cx x x4. xsin 2xdx432于是围墙的长度为L = 3x 竺2 , x 0x令L=3易知，当 此时空4324322 =0 得 x = 12 取正xx = 12时，L取得唯一的极小值即最小值,二 18xI1 xd

22、 cos2x.xcos2x+丄fcosZxdx認xcos2x+si n2x+答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能 2*22 U24-1使所用的建筑材料最省.5. xe dx 解-fflxdeW-xe +|fed = -xe -e+ c = -(x + 1 je+c五、证明题(本题 5分)1函数f (x)二X - ex在(- ：，0)是单调增加的. 证:：fex当x0时,0卜脅当 x(M,f(x)lo从而函数f(x)ex在区间(亠,0)是单调增加的四、极值应用题(每小题12分，共24分)1 设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一 圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使

23、圆柱体的体积最大。-2a _2x In adx-2x .dx c1-_xf (x)e xdxC，则f (x)二()B.C.1D. 2x1 .解：设矩形ABCD的一边AB = x厘米，则 BC =60-x 厘米，当它沿直线AB旋转一周后，得到圆柱的体积2V =二 x 60 一 x , 0 ： x ： 60令V包(60x)22x(60：x)=0 得 x = 207分，共35分)二、计算题(每小题1. Lxxsinxdx川，rS1 |;cosxL_ (一解x当 x壬(0,20 )时，V0 ； 当 x珂2060 )时，V(0.-x 20是函数V的极大值点，也是最大值点. 此时 60 - x = 40答

24、:当矩形的边长分别为 20厘米和40厘米时，才能 使圆柱体的体积最大.一、填空题(每小题 2分，共20 分)1 2i(sin xcos2x-x )dx =1.2.-4x cosx)dx.答案:x处切线的斜率为v x，且曲。答案：v - 2x二3或_ 233.线过(4,5)，则该曲线的方程是已知曲线y= f (x)在任意点答案：DJI1 34若(5x3 -3x 2)dx 二或5.f2|si n xdx =(25由定积分的几可意义知，.a2 -x2dx =c .2)答案：B答案:4a26.下列无穷积分收敛的是(d e 26. In( x 1)dx = dx 1-beA f exdx-be0 edx

25、.答案：0：1C 1严7.e2xdx =答案:Lj 1 xdx7.下列无穷积分收敛的是2. 1e 1 5ln x dx)答案：B1(1+5lnc)d( 1 5冈 41 5邛8微分方程ynyyCO) =1的特解为或9微分方程y 3y = 0的通解为-bea sinxdx-0-:1dx1 xJ2xdx10微分方程(y )3 4xy=y7sinx的阶数为案: 2 或 48.、单项选择题(每小题 2分，共20分)下列微分方程中，(a . yx2 lny = yc . y xy亠1D 1.x是线性微分方程答案:dxy y xy=ey介1X3 0xedx解利用分部积分法uv du uvdx1xde x 二 xe x4 .；sinxdx0 20 - o exdx 二 e ex10 二 e- e-1=11 在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1, 4)的曲线为()答案：AA y =