14直角三角形的射影定理

1、1.4 直角三角形的射影定理 教学设计 教材分析： 本节是新课程标准选修 4-1几何证明选讲 中第一讲第四节的内容。 这是在学习了相似三角形性质的基础上研究直角三角形的射影定理。 从学 生的生活经验出发先介绍了射影的概念， 然后用“探究”引导学生探索 直角三角形中的一些线段的关系。 经过逻辑推理而得出直角三角形的射影 定理。本节的内容可以看成是相似（直角）三角形的判定定理、性质定理 的一个应用，体现了从一般到特殊的数学思想。 射影定理有比较重要的价值， 它建立了三角形中边与射影之间的关系 揭示了直角三角形内在的美） 在解决与直角三角形相关的几何问题中是 一个强有力的工具 教学目标 知识目标：掌

2、握正射影的定义 . ，掌握直角三角形的射影定理及其证明，会 用直角三角形的射影定理解决问题 能力目标：探求直角三角形的射影定理及证明，并会用直角三角形的射影 定理解决问题 , 在教学过过程中用到了启发、探究、的方法 情感目标：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想 教学重点： 掌握直角三角形的射影定理及运用 教学难点： 直角三角形的射影定理及运用 教具准备： 幻灯片 三角尺 课时安排： 1 课时 教学过程 、复习引入 1. 复习相似三角形的判定方法 2. (1)太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？ A (2)线段AB留在MN上的影子是什么? 正射影(射影)的定义 (1)点在直线

3、上的正射影结合图形给出正射影的定义 特别地，当一个点在这条直线上时, 它的正射影就是它本身。 (2) 条线段在直线上的正射影线段的两个 端点在这条直线上的正射影间的线段 点和线段的正射影简称射影 、探究新知 已知：如图，/ ACB=90 , CD丄AB于D. (1)图中有几个直角三角形？ (2)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？ 由图中 ACDCBDABC ,可分别写出三 组比例式: ( ACDS CDB); ( CBD s ABC); ( ACD s ABC). 观察第(2)题的结果，有几个带有比例中项的比例式？如何用一句话概括叙 述这几个比例 中项的表达式？ F面我们从射影的角度来研

4、究直角三角形中边的关系。 (AC在斜边上的 射影是什么？ BC在斜边的射影是什么？) 从相似三角形出发得出射影定理，并用语言概括出来 直角三角形射影定理: 直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中 项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项; CD2 二 AD DB , AC2 = AD AB , BC2 = BD AB。 说明：斜影定理只能用在直角三角形中，且必须有斜边上的高。常和勾 股定理联系起来解决直角三角形的计算题及直角三角形中比例线段问题。 思考：能用勾股定理证明射影定理吗? CD2=AC2 AD2= AB2 BC2 AD2= (AD+BD ) 2

5、 BC2 AD2 二AD2+BD2+2AD - BD BC2 AD2=2AD - BD ( BC2 BD2) =2AD - BD cd2 2CD2=2AD - BD即 CD2=AD - BD 其它的自己证明。 三、例题讲解 例1、如图，圆0上一点C在直径AB上的射影为D , AD=2 , DB=8，求 cd, AC,禾n BC 的长。 分析：由直径所对的圆周角是直角可得到 三角形ABC是直角三角形，cd 是斜边上的高，运用射影定理或 勾股定理可求出相应的线段的长。 B 解： NACB是半圆上的圆周角, 二Nacb =90：即 ABC是直角三角形。 又射影定理可得 CD2 =AD BD =2x8

6、 = 16,解得 CD =4; AC =AB AD =2x10 =20，解得 AC = 2j5; BC2 =BD AB =8x10 =80,解得 BC = 475. 总结：已知 直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意 两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。 例2 ABC中，顶点C在AB边上的射影为 D，且CD2=AD- DB 求证： ABC是直角三角形。 证明：在 A CDA和n A BDC中, 寫点C在AB上的射影为D, 二 CD 丄 AB 二 NCDA =NBDC =90 2 又 CD =AD*DB /. AD :CD =CD : DB 二 iCDA时也

7、BDC /. NCAD =NBCD B 四、随堂巩固 1.直角 ABC 中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC 的长。 2.如图所示，圆0上一点C在直径AB上 的射影为D，CD=4，BD=8， 则圆O的半径等于 3.课本第22页习题2、3 B 五、课时小结: 知识：学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达 式 射影定理。 方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。 能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。 数学思想：方程思想和转化思想。 六、课后作业 BC的值是（） B. 9: 4 D. JN A D E 必做：1.如右图中，/ ACB=90 , CD!AB于 D, AD=3 BD=2 则 AC A. 3: 2 C.: 42 2.在 ABC 中，/ ACB=90 ,CD丄AB 于 D, AD : BD=2 : 3,贝卩 ACD 与 CBD的相似比为（） A . 2: 3 B. 4: 9 C.6 : 3 D .不确定 C 图14-1 图 1-4-3 3. 如右图 1-4-1，在 ABC中，/ BAC=90 , 于 D, DF丄AC于 F, DE! AB于 E。