2019年北京市朝阳一模理科答案终稿

1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 2019. 3 、选择题：（本题满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A A C D B 二、填空题：（本题满分30 分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 1 17 12 2廳 y=（X-1）（答案不唯一） 243 3402 3兀 三、解答题：（本题满分80 分） 15.（本小题满分 13分) 解：（I）由已知得 1S=1bcsi nA=, 2 (妬)2二b2 +c2 -2bccos120。 整理得 I bc=4, b2 +c2=17. 解得【；=4, 或 P=4, .c=1. 9 .8分 .13分 因为b cc

2、，所以b =1 . ab (n)由正弦定理二=上- sin A sin B 即 sin B = =. V2114 所以 cos2B=1 -2sin2 B =1 2(0)2 二13 1414 16. （本小题满分13分） 解：（I）设M表示事件“乘客 A乘车等待时间小于 20分钟”，N表示事件“乘客 B乘车等待时间小于 20分钟”，C表示事件“乘客 A,B乘车等待时间都小于 20分钟”. 由题意知，乘客 A乘车等待时间小于20分钟的频率为 (0.012 +0.040 +0.048)咒5 =0.5，故 P(M)的估计值为 0.5 . 乘客B乘车等待时间小于 20分钟的频率为 (0.016 +0.0

3、28 +0.036)x5 =0.4，故 P(N)的估计值为 0.4 . 又 P(C) =P(MN ) = P(M ) P(N)=丄咒2 =1 2 55 .6分 20分钟的频率为0.4 , 1 故事件C的概率为- 5 （n）由（I）可知，乙站乘客乘车等待时间小于 所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为 2 显然，X的可能取值为0,1,2,3且X B（3,2）. 5 所以 P(X =0) =c33) 5 22 P(X =2)=C3M 5 Q-7 ；p(x =1)=c3 3 5 故随机变量X的分布列为 2 (3)2 125 飞 5 363 2 3 芮 P(x=32c3(5) 54 125 8

4、一125 . X 0 1 2 3 P 27 54 36 8 125 125 125 125 .13分 17. （本小题满分14分） 解：（I）证明：因为 ADEF为正方形， 所以AF丄AD . 又因为平面 ADEF丄平面ABCD , 且平面ADEF （1平面ABCD = AD , 所以AF丄平面ABCD . 所以AF丄CD . （n）由（I）可知， AF丄平面ABCD，所以AF丄AD , AF丄AB . 因为N BAD =90，所以AB, AD,AF两两垂直. 分别以AB, AD, AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图） 因为 AB =AD =1 , BC =3, 所以 A(0,0,

5、0), B(1,0,0), C(1,3,0), D(0,1,0), E(0,1,1), F (0,0,1), 所以 BF =(1,0,1), DC =(1,2,0), DE =(0,0,1) 设平面CDE的一个法向量为 n =（X, y,z）, n DC严，即片2八0, Z =0. 则 T n ”DE =0. 令 X =2，贝y y = _1 , 所以 n = (2, -1,0) 设直线BF与平面CDE所成角为0 , z F B A :1D A丄=二斗-二R丄V M E y 则Singe血讣刊=- .9分 （川）设罟“.仃r，i）, 设 M (N，yi，Zi )，则(N 1, yi，Zi)=几

6、(1,1,0), 所以 Xr =1 几,yr = k, Z1 = 0 ,所以 M (1 L A,0 ), 所以 AM = (1 -La,0 ) 设平面AFM的一个法向量为 m= （x0,y0,z0），则=0, m ”AF =0. 因为 AF =(0,0,1)，所以!(j)X0+心 7 70 =0. 令 X0 = A，贝y y。= A 1，所以 m =-1,0) 在线段BD上存在点M，使得CE /平面AFM等价于存在a引0,1，使得m QE =0 因为 CE = (1,2,1 )，由 m CE =0, 所以几-2仏一1） =0 , 2 解得 h = 0,1, 3 所以线段BD上存在点M ，使得C

7、E II平面AFM，且里=2 BD 3 .14分 1 -ln X 2 X 18. （本小题满分13分） 解: (I)当 a =1 时，f(x) Jnx 所以 f(X)= X 因为 f(1)=1,f(1)=0, .3分 所以曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为 y = x-1. (n)当 a =_1 时，f(X)n(x) X 函数f(x)的定义域为(花0). 不等式 f(x)x+1 成立二山(-x) 2x+l 成立二 ln( -x)-x2-x0 成立. X 2 设 g(x) =1 n(X)X x(x(Y,0), 则 g(x)-2x-l/x2x+1(2x+1)(x + 1) x 当x变化

8、时，g(x), g(x)变化情况如下表: 所以 g(x)x+1 . .8分 (川)求导得 1 ln(ax).令 f(X)= 0 ,因为 a H0可得 X = a 当a aO时, f (x)的定义域为 (0,+K ).当x变化时，f (X), f(x)变化情况如下表: X (f) -1 (-1,0) g(x) + 0 一 g(x) 极大值 X (0,-) a e a (2，母) a (X) + 0 一 f(x) 极大值 此时f(X)有极大值()=，无极小值. a e 当a 0时，f(x)的定义域为(处,0 )，当x变化时，f(x), f (x)变化情况如下表: X e (_cC _) a e a

9、 (-,0) a f(X) 一 0 + 此时f (X)有极小值f(-) a f(x) 极小值 / 无极大值. .13分 19. (本小题满分14分) 解: ( I)由题意a =寸2 , b =1 , c = Ja2 -b2 =1 c 所以离心率e蔦右，左焦点2,0). .4分 (n)当yo =0时直线 x =匹，直线l与椭圆C相切. 当yo H0时，由 丘+宀1,得 2 2 2 2 (2y0 +Xd)x 4x0X+44y0 =0 , xoX +2yoy =2 2 由题知，y+y2 =1，即 x2 +2y2 =2 , 所以 A =(4xo)2 4(2y2 +x2)(44y2) =16x2-2(1

10、-y2) =16(x +2y2 -20. .8分 故直线丨与椭圆C相切. (川)设 A(X1，y1), B(X2，y2), 当 y。=0 时，x,=冷,% =丫2 , X1 =J2 FA FB =(x1 +1)2 -yj =(x1 +1)2-6 +(x1 -1)2 =2xj -4=0 , 2丄.2 所以 FA 丄 FB，即 NAFB =90 . 当 y。H0 时，由 xT) +y =6,得(y2+1)x2 2(2y2+x0)x+210y2 =0 , X0X +2y0y =2 则x1 ，为 X2=2T曲 1中砧 y1y2 =逸沁-马(X1+x2)+i=虽二3 2 y。 2+2诟 因为 FA FB

11、 =(为 +1,y1)，(X2 +1,y2) =x1 X2 + N + X2 什 +y1 y 4 _20y2 +8y2 +4x0 +2 + 2y2_5x2 -4x0 +4 =c+2 2+2y0 2+2y2 2 2 -5(X0 +2yo)+1O _ =u. 2+2y2 所以 FA 丄 FB，即 NAFB =90,. 故NAFB为定值90 . .14分 20.(本小题满分13分) 解： a9 = 0,= I a100 = 1 . .3分 (II)反证法：假设 Vi ,a0.由于anH2 = a, 记 M =maxa1,a2.则 a M ,a2 M . 则 0 ca3 = -q M -1 , 0 a4 = aaM -1, 0 85 =兰 M 2 , 0吒96