数列中最难问题

1、求递推数列通项的特征根法高二文科段杜幼兰2008 年全国共 37 套高考数学试题 （包括文、理试题），有 25 套（10 套文科试题、15 套理科试题）在数列的解答题考查了“递推数列”，本文对求递推数列通项的一个重要方法特征根法作一小结如下。一、形如 an 1cand （ c, d 是常数）的数列形如 a1m ，an 1 can d （ c, d 是常数）的一阶递推数列都可用特征根法求得通项 an ，其特征方程为xcxd ，若 c1，则数列为等差数列，其通项公式易得。若 c1，由特征方程 x cxd ，得 xdc1则 an 1x c(anx) ， an(m x)cn 1x二、形如 an2pan

2、 1qan ( p, q 是常数）的数列形如 a1m1 , a2m2 , an2pan 1qan ( p, q 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 an ，其特征方程为 x2pxq 若有二异根 ,，则可令 anc1nc2n (c1, c2 是待定常数）若有二重根，则可令 an(c1nc2 )n (c1, c2是待定常数）再利用 a1m1, a2m2 , 可求得 c1, c2 ，进而求得 an例 1 已知数列 an 满足 a12, a23,an23an12an (nN * ) ，求数列 an 的通项 an解：其特征方程为 x23x2 ，解得 x11, x22 ，令 annn，c1 1

3、c22由 a1c11c12c22 ，得1 ，an1 2n 1a2c14c23c22例 2 已知数列 an 满足 a11,a22, 4an24an1an (nN * ) ，求数列 an 的通项 an1 ，令 an1n解：其特征方程为 4x24x1 ，解得 x1x2c1 nc2，22a1(c1c2 )11c1423n2由1，得，ana2(c12c2 )2c262n14三、形如 an1Aa nB 的数列CanD对于数列 an 1AanB ， a1m, n N * (A, B,C, D 是常数且 C 0, ADBC0 ）Ca nD其特征方程为 xAx B ，变形为 Cx2( DA)x B 0 CxD若

4、有二异根,，则可令 an1can（其中 c 是待定常数），代入 a1, a2的an1an值可求得 c 值。这样数列an是首项为 a1，公比为 c 的等比数列，于是这样可求得anana1若有二重根，则可令11（其中 c 是待定常数），代入a1, a2ancan 1的值可求得 c 值。这样数列1是首项为1，公差为 c 的等差数列，于是这样可求得ananan例 3 已知数列 an 满足 a12, anan 12 (n2)，求数列 an 的通项 an2an 11解：其特征方程为 xx2 ，化简得2x220 ，解得 x1 1, x21，令 an 11can12x1an 11an1由 a12, 得 a24 ，可得 c1 ，53an 1a11 11an 1 1n1是以为首项，以1，数列a1 1 33为公比的等比数列，3an 1an 1 3an3n(1)n3n(1)n例 4 已知数列 an 满足 a12, an12an1(nN * ) ，求数列 an 的通项 an4an6解：其特征方程为 x2x1，即 4x24x 10 ，解得 x1 x21 ，令11c4x621an1an 123 ，求得 c2由 a1