数列极限四则运算法则的证明

1、-精选文档 -数列极限四则运算法则的证明设 limAn=A,limBn=B,则有法则 1:lim(An+Bn)=A+B法则 2:lim(An-Bn)=A-B法则 3:lim(An Bn)=AB法则 4:lim(An/Bn)=A/B.法则 5:lim(An的 k 次方 )=A 的 k 次方 (k 是正整数 )(n +的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列 Xn 和常数A 有以下关系 :对于 ? 0( 不论它多么小 ),总存在正数N, 使得对于满足n N 的一切 Xn, 不等式 |Xn-A| 都成立 ,则称常数 A 是数列 Xn 的极限 ,记作 limXn=A.根

2、据这个定义 ,首先容易证明: 引理 1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则 1 的证明 :limAn=A,对任意正数 , 存在正整数N ?,使 n N ?时恒有 |An-A| .(极限定义 )同理对同一正数 , 存在正整数N ?,使 n N ?时恒有 |Bn-B| . 设 N=maxN ?,N ?,由上可知当 n N 时两式全都成立 .此时 |(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| |An-A|+|Bn-B|+ =2 .由于 是任意正数 ,所以 2 也是任意正数.可编辑-精选文档 -即:对任意正数2 , 存在正整数N, 使 n N 时恒有 |(An+Bn)-

3、(A+B)| 2 .由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明 1 个引理 .引理 2:若 limAn=A,则 lim(C An)=C.(C是常数 )证明 :limAn=A,对任意正数 , 存在正整数N, 使 n N 时恒有 |An-A| .(极限定义 )式两端同乘 |C|, 得 : |C -AnCA| C.由于 是任意正数 ,所以 C也是任意正数.即:对任意正数C , 存在正整数N, 使 n N 时恒有|C -CA|An C.由极限定义可知,lim(CAAn)=C.(若C=0 的话更好证 )法则 2 的证明 :lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法

4、则 1)=limAn+(-1)limBn (引理 2)=A-B.为了证明法则3,再证明 1 个引理 .引理 3:若 limAn=0,limBn=0,则 lim(An Bn)=0.证明 :limAn=0,对任意正数 , 存在正整数N ?,使 n N ?时恒有 |An-0| .(极限定义 )同理对同一正数 , 存在正整数N ?,使 n N ?时恒有 |Bn-0| . 设 N=maxN?,N ?,由上可知当n N 时两式全都成立.可编辑-精选文档 -此时有|An =|AnBn|- 0| |Bn-0| = 2.由于 是任意正数 ,所以 2 也是任意正数.即:对任意正数 2, 存在正整数N, 使 n N

5、 时恒有|An -0|Bn2.由极限定义可知,lim(An Bn)=0.法则 3 的证明 :令 an=An-A,bn=Bn-B.则 liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则 1)=A-A (引理 2) =0.同理 limbn=0. lim(An Bn)=lim(an+A)(bn+B)=lim(an bn+B an+A bn+AB)=lim(an bn)+lim(B an)+lim(A bn)+limAB(法则1)=0+B liman+A limbn+limAB(引理 3 、引理 2)=B 0+A 0+AB ( 引理 1) =AB.引理 4:如果 limXn=L 0,

6、则存在正整数N 和正实数 , 使得对任何正整数nN, 有 |Xn|.证明：取 =|L|/20,则存在正整N,数使得对任何正整数nN, 有 |Xn- L|N有 |An- A| 1, 于是有|An| |A|+1,我们取 M=max(|A1|,.,|AN|,|A|+1)即可可编辑-精选文档 -法则 4 的证明 :由引理 4, 当 B0 时 (这是必要条件 ),? 正整数N1 和正实数 0,使得对?正整数 nN1,有|Bn| 0.由引理 5,又? 正数 M,K, 使得使得对所有正整数n,有 |An| M,|Bn| K.现在对 ? 0,?正整数 N2和 N3, 使得 :当 nN2,有 |An- A|N3,有 |Bn- B|max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn| (|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|* 0) (M+K)/(M+