数学动点问题练习(含答案)

1、动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题.关键 : 动中求静 .数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图 1，梯形 ABCD 中， AD BC， B=90 ， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动， 点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/ 秒的速度移动，如果 P， Q 分别从 A ，C 同时出发，设移动时间为 t 秒。当 t=时，四边形是平行四边形；6当 t=时，四边形是等腰梯

2、形. 82、如图 2，正方形ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1 ， N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN的最小值为53、如图，在 Rt ABC 中，ACB90， B60， BC2 点 O 是 AC 的中点，过点 O 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始， 绕点 O 作逆时针旋转， 交 AB 边于点 D 过点 C 作CE AB 交直线 l 于点 E ，设直线 l 的旋转角为（ 1）当度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；当度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（ 2）当90EDBC是否为菱形，并说明理由El时，判断四边形C解：（1

3、） 30，1； 60， 1.5；O（ 2）当 =900 时，四边形 EDBC 是菱形 .ADB = ACB=90 0， BC/ED . CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形在 RtABC 中， ACB=90 0， B=60 0,BC=2, A=300 .C1 AC= 3O AB=4,AC=23 . AO= 2.在 Rt AOD 中， A=30 0， AD=2. BD =2. BD =BC. 又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形4、在 ABC 中， ACB=90， AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且MMD C CENDAB（备用图）AD MN 于 D， BE

4、MN 于 E.MCEABABA1EB图 1D图 2NN图 3(1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图1 的位置时，求证：ADC CEB； DE=AD BE ；(2) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证： DE=AD-BE ；(3) 当直线MN绕点C 旋转到图3 的位置时，试问DE、 AD 、 BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1） ACD= ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADC CEB ADC CEB CE=AD ，CD=BEDE=CE+CD=AD+BE(2) ADC= CEB= ACB=

5、90 ACD= CBE又 AC=BC ACD CBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN旋转到图3 的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等 ) ADC= CEB= ACB=90 ACD CBE ， AD=CE ACD= CBE ， 又 AC=BC ，CD=BE ， DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上， 张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形， 点 E 是边BC的中点AEF90 o ，且 EF交正方形外角DCG 的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M，连接ME，则A

6、M=EC，易证 AME ECF ，所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（ 1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E是边 BC的中点”改为“点 E 是边 BC上（除 B， C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（ 2）小华提出： 如图 3，点 E 是 BC的延长线上 （除 C点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由解：（1）正确AD证明：在 AB 上取一点 M ，使 AMEC ，连接 ME AD

7、FBMBE BME45，AME135MFQ CF 是外角平分线，DCF45，ECF 135BECGAMEECF BECG图 1AEBCEF90Q AEBBAE90AD，BAECEF AME BCF （ ASA）AEEF F（ 2）正确证明：在 BA 的延长线上取一点N 使 ANCE ，连接 NE BECGBNBE NPCE45NF图 2FDQ 四边形 ABCD 是正方形，AD BE AAD2BC EGBC EG图 3DAEBEA NAECEF ANE ECF （ ASA）AEEF 6、如图 ,射线MB上 ,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从 M沿射线MB

8、方向以1 个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t.求（ 1）PAB 为等腰三角形的t 值；（ 2）PAB 为直角三角形的t 值；（ 3） 若AB=5且 ABM=45，其他条件不变，直接写出PAB 为直角三角形的t 值7 、如图1，在等腰梯形ABCD 中， AD BC ， E 是 AB 的中点，过点E 作 EF BC 交 CD 于点F AB，6 ，B60.求：（ 1）求点E 到BC的距离；4 BC（ 2）点 P 为线段 EF 上的一个动点， 过 P 作 PMEF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN AB 交折线 ADC于点 N ，连结 PN ，设 EP x .当点 N 在线段 AD 上时

9、（如图2）， PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出PMN 的周长；若改变，请说明理由；当点 N 在线段 DC 上时（如图3），是否存在点P ，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由ADANDADPPNEFEFEFBCBMCBMC图 1图 2图 3AD（第 25 题） ADEFEFBCBC图 4（备用）图 5（备用）31，过点 E 作 EGBC 于点 G E 为 AB 的中点，BE1 AB 2解（ 1）如图2在 RtEBG 中， B60 ， BEGBG1 BE 1， EG22 12330 2即点 E 到 BC 的距离为3AD（ 2）当点 N 在

10、线段 AD 上运动时， PMN 的形状不发生改变EF PMEF，EG EF， PM EG EF BC， EPGM ， PMEG3 同理 MNAB4BGC如图 2，过点 P 作 PHMN 于 H ， MN AB，图 1AN NMCB 60 ， PMH30 PH1 PM3 D22PF MHPM gcos303则 NHMNMH435 EH25322BG MCRtPNH2222在中，NHPH7图 2PN22 PMN 的周长 = PMPNMN374当点 N 在线段 DC 上运动时， PMN 的形状发生改变，但MNC 恒为等边三角形当 PMPN 时，如图3，作 PRMN 于 R ，则 MRNR类似， MR

11、3 MN2MR3 MNC 是等边三角形， MCMN32此时， xEPGMBC BGMC 613 2ADADADPNPEFEFEF（ P）RNNBMCBMCBCGGGM图 3图 4图 54当 MPMN 时，如图4，这时 MCMNMP3 此时， xEP GM 6 13 5 3当NPNM时，如图5，NPM PMN 30 则 PMN120 ， MNC60 ，又 PNM MNC180 因此点 P 与 F 重合， PMC 为直角三角形 MCPM gtan301 此时， xEPGM61 1 4综上所述，当x 2 或 4 或 53 时， PMN 为等腰三角形8、如图，已知 ABC 中， ABAC10厘米， B

12、C8厘米，点 D 为 AB 的中点(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动， 同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使 BPD 与 CQP全等？（ 2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？解：（1） t 1秒， BPCQ

13、3 1 3 厘米，A AB 10 厘米，点 D 为 AB 的中点， BD5 厘米DQ又 PCBC BP， BC8厘米， PC 83 5 厘米， PCBD BC又 ABAC ， BC ， BPD CQP P vPvQ ， BPCQ ， 又 BPD CQP ， BC ，则 BP PC4， CQ BD5 ，CQBP4vQt点 P ，点 Q 运动的时间t3 秒， 3（ 2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，由题意，得5 154 43 厘米 /秒。1580x 3x 2 10x4，解得3 秒803802 28 24 ，点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇，点 P 共运动了 3厘米 80580经

14、过3 秒点 P 与点 Q 第一次在边AB 上相遇9、如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4， BAD=120 ， AEF 为正三角形， 点 E、F 分别在菱形的边 BCCD上滑动，且 E、 F 不与 BC D 重合（ 1）证明不论E、 F 在 BC CD 上如何滑动，总有BE =CF ；（ 2）当点 E、 F 在 BC CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和 CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】 解：（ 1）证明：如图，连接AC四边形ABCD 为菱形， BAD=120， BAE+ EAC=60， FAC+ EAC=60， BAE= F

15、AC。 BAD =120， ABF=60。 ABC 和 ACD 为等边三角形。 ACF =60， AC=AB。 ABE= AFC 。在 ABE 和 ACF 中， BAE= FAC ，AB=AC ， ABE= AFC， ABE ACF （ ASA）。 BE=CF。（ 2）四边形AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化。理由如下：由（ 1）得 ABE ACF ，则 SABE=S ACF。 S 四边形 AECF=S AEC+S ACF=S AEC+S ABE=S ABC，是定值。作 AH BC 于 H 点，则 BH=2 ，S四边形AECF S ABC 1BC AH1BCAB 2BH 24 3 。

16、22由 “垂线段最短 ”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短故 AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又 S CEF=S 四边形 AECF S AEF，则此时 CEF 的面积就会最大 S CEF=S 四边形 AECFSAEF431 23223 。2 332 CEF 的面积的最大值是3。6【考点】 菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】 （1）先求证 AB=AC，进而求证 ABC、 ACD 为等边三角形，得ACF =60 ，AC=AB，从而求证 ABE A

17、CF，即可求得 BE=CF 。（ 2）由 ABE ACF 可得 S ABE=S ACF，故根据 S四边形AEC F=S AEC+S ACF =S AEC+S ABE=S ABC即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短 AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化， 且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小， 根据 S CEF=S 四边形 AECF S AEF，则 CEF 的面积就会最大。10、如图，在 AOB 中，AOB=90 ，OA=OB=6 ，C 为 OB 上一点，射线 CD OB 交 AB 于点 D，OC=2 点P 从点

18、A 出发以每秒个单位长度的速度沿AB 方向运动，点Q 从点 C 出发以每秒2 个单位长度的速度沿 CD 方向运动， P、Q 两点同时出发，当点P 到达到点 B 时停止运动，点Q 也随之停止过点P 作PE OA 于点 E， PF OB 于点 F，得到矩形 PEOF以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ，斜边 MN OB，且 MN=QC 设运动时间为t （单位：秒） （ 1）求 t=1 时 FC 的长度（ 2）求 MN=PF 时 t 的值（ 3）当 QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S 与 t 的函数关系式（ 4）直接写出 QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时t 的值考点 ：相似形综合题分析： （ 1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t ，再将 t=1 代入求出FC 的长度；（ 2）根据 MN=PF ，可得关于t 的方程 6 t=2t ，解方程即可求解；（ 3）分三种情况：求出当1t2 时；当 2 t 时；当 t3 时；求出重叠（阴影）部分图形面积 S 与 t 的函数关系式；（ 4）分 M 在 OE 上； N 在 PF 上两种情况讨论求得 QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个