数值计算方法试题及答案

1、数值试题数值计算方法试题一一、填空题（每空 1 分，共 17 分）1、如果用二分法求方程x 3x40 在区间 1,2 内的根精确到三位小数，需对分（）次。2 、迭代格式 xk 1xk( xk22) 局部收 敛的充分条 件是 取值在（）。S(x)x30x 11 ( x 1) 3a( x 1)2b(x 1) c 1 x 33、已知2是三次样条函数，则a =()， b =（）， c =（）。、l0 ( x), l1 ( x), ln ( x) 是以整数点 x0 , x1 , xn 为节点的 Lagrange 插值基函4数，则nnl k ( x)()，xkl j ( xk )()， 当 n2 时k0k

2、 0n( xk4xk23)l k (x)。k0(5、设 f (x)6x72x43x21和节点 xkk / 2, k0,1,2, 则 f x0 , x1, xn 和7 f0。6、5 个节点的牛顿 -柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。、 k ( x) k 0是区间 0,1 上权函数(x)x 的最高项系数为 1 的正交多项71式族，其中0 (x)1，则x4 (x)dx。0x1ax2b18、给定方程组ax1 x2b2， a 为实数，当 a 满足，且0 2 时， SOR 迭代法收敛。y f (x, y)9 、 解 初 值 问 题y( x0 ) y0的 改 进 欧 拉 法yn0

3、1 yn hf (x n , yn )yn 1yn h f ( xn , yn ) f ( xn 1, yn0 1 )2是阶方法。10aA01a10、设aa1 ，当 a （）时，必有分解式ALLT ，1数值试题其中 L 为下三角阵，当其对角线元素l ii(i条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题 2 分）1、解方程组 Axb 的简单迭代格式 x( k1)（）。（1） ( A) 1 ,(2) ( B) 1,(3)bf ( x)dx(b2、在牛顿 -柯特斯求积公式：a1,2,3) 满足（）Bx ( k)g 收敛的充要条件是( A)1 ,(4) (B) 1nC i( n )a) i0f (x

4、i ) 中，当系数 C i( n)是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿 -柯特斯求积公式不使用。10 ，（） n6 ，（1） n8 ， （ ） n7 ， （ ） n4233、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次hhf (xn , yn ) 求解初值问题4、若用二阶中点公式yn 1 yn hf (xn2 , yn4y2y, y(0)1 ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（）。(1) 0h2 ,(2) 0 h2 ,(3) 0 h2 ,(4

5、) 0h 2三、1、（8 分）用最小二乘法求形如 yabx 2的经验公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.31、（分）用 ne xdx158 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算 02时，(1) (1) 试用余项估计其误差。（ 2）用 n 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。四、 1、（15 分）方程 x3x1 0 在 x 1.5 附近有根，把方程写成三种x1不同的等价形式（1）x3 x1 对应迭代格式 xn 13xn 11；(2)x2数值试题xn 1111对应迭代格式 xn 1xn31 。判对应迭代格式xn

6、；（3）xx3断迭代格式在 x01.5 的收敛性，选一种收敛格式计算 x1.5 附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、（8 分）已知方程组43A341f14，AXf ，其中243024（ 1）（1） 列出 Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（ 2）（2）求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。dyy1dx五、 1、（15 分）取步长 h 0.1 ，求解初值问题 y(0) 1 用改进的欧拉法求 y(0.1) 的值；用经典的四阶龙格 库塔法求 y(0.1)

7、的值。2、（8 分）求一次数不高于4 次的多项式 p(x) 使它满足p( x0 )f (x0 ) , p(x1 ) f ( x1 ) , p ( x0 ) f (x0 ) , p ( x1 ) f (x1 ) , p( x2 ) f (x2 )六、（下列 2 题任选一题， 4 分）1、1、数值积分公式形如1Bf (1) Cf (0) Df (1)xf ( x)dx S( x) Af (0)0（1）（1）试确定参数 A, B, C , D 使公式代数精度尽量高；（2）C 4 0,1 ，推导余项公式 R( x)1xf ( x) dx S(x) ，并估计设 f ( x)0误差。2、2、 用二步法yn

8、 10 yn1 yn 1 h f ( xn , yn ) (1 ) f (xn 1 , yn 1 )y f (x, y)求解常微分方程的初值问题y(x0 )y0 时，如何选择参数 0 , 1,使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共 16 分，每小题分）、若 A 是 nn 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使 ALU 唯一成立。（）、当 n8 时， Newton cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。3数值试题（）3、形如bnf ( x)dxAi f ( xi )a1i的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度

9、的次数为 2n1。 （）210A111、矩阵012的范数 A 2 。（）2a a0A0a05、设00a，则对任意实数 a0 ，方程组 Axb 都是病态的。（用）（）6、设 ARnn ，QRnn ，且有 QT QI （单位阵），则有 A 2QA 2 。（）7、区间 a, b 上关于权函数 W ( x) 的直交多项式是存在的，且唯一。（）8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解：223100223A4772100b12451a1006 ，则 a, b 的值分别为 a 2， b 2。（）二、填空题：（共 20 分，每小题2 分）1、设 f ( x)9x83x 421x 210 ，则均差f

10、20 ,21, ,28 _， f 30 ,31 ,39 _。2、设函数 f (x) 于区间 a, b 上有足够阶连续导数， pa, b 为 f ( x) 的xkf ( xk )1 xk m一个 m 重零点， Newton 迭代公式f ( xk ) 的收敛阶至少是 _阶。 、区间 a,b 上的 三次样条插值函数 S( x) 在 a, b 上 具有直到_阶的连续导数。724、向量 XA(1, 2)T ,矩阵31，则AX 1_， cond( A)_。1f ( x)dx f (x0) f ( x1 ) 具有最高的代5、为使两点的数值求积公式：14数值试题数精确度，则其求积基点应为x1 _，x2 _。6

11、、设 ARn n ， ATA ，则 ( A)（谱半径） _ A 2 。（此处填小于、大于、等于）10A 211lim Ak7、设42 ，则 k_。三、简答题：（9 分）1、 1、 方程 x 42 x 在区间 1,2 内有唯一根 x * ，若用迭代公式：xk 1ln( 4xk ) / ln 2(k0,1,2, ) ，则其产生的序列 xk 是否收敛于x* ？说明理由。2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组， 一般为什么要用选主元的技术？1cos x3、3、 设 xf ( x)x20.001，试选择较好的算法计算函数值。四、（10 分）已知数值积分公式为：hh f (0) f ( h)h 2 f

12、 (0) f ( h)f (x)dx02，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（8 分）已知求a (a0) 的迭代公式为：xk 11 ( xka ) x0 0 k 0,1,22xk证明：对一切 k 1,2, xka ，且序列 xk 是单调递减的，从而迭代过程收敛。33 f (1) f (2)六、（9 分）数值求积公式f (x)dx20是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9 分）设线性代数方程组 AXb 中系数矩阵 A 非奇异， X 为精确解， b 0 ，若向量 X 是 AX b 的一个近似解，残向量 r b A X ，XXrcond (

13、 A)证明估计式：Xb （假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、 (10 分)设函数 f (x) 在区间 0,3上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3 的插值多项式 H (x) ，并导出其余项。5数值试题ix if ( xi ) f ( xi )012012-1133九、 (9 分)设n ( x) 是区间 a, b 上关于权函数 w( x) 的直交多项式序列， xi (i1,2, n, n1) 为n1 ( x) 的零点，li ( x)(i 1,2, , n, n 1) 是以 xi为基点的拉格朗日 (Lagrange)插值基bn1f (x)w( x)dxAk f ( xk )

14、函数， ak1为高斯型求积公式，证明：n 1（1） （1）当 0k, jn, kAi k (xi ) j ( xi ) 0j 时， i 1b（2） a l k ( x)l j ( x) w( x)dx 0( k j )n1b lk2 (x)w( x)dxbw(x)dx（3） k 1aa十、（选做题 8 分）若 f ( x)n 1 (x)( x x0 )( xx1 )( x xn ) ，xi (i 0,1, n) 互异，求 f x0 , x1, xp 的值，其中 pn 1。数值计算方法试题三一、（24 分）填空题(1)(1)(2 分)改变函数 f ( x)x1x( x1 )的形式，使计算结果较精

15、确。(2)(2)(2 分)若用二分法求方程 f x0 在区间 1,2 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分次。x12x22(3)(3)(2 分)设f xx1 x2，则 f x6数值试题2x3 ,0x1(4) (4)(3 分)设S x3ax2c, 1 x 2 是 3 次样条函数，xbx则a=, b=, c=。1(5) (5)(3 分)若用复化梯形公式计算 0 ex dx ，要求误差不超过10 6 ，利用余项公式估计，至少用个求积节点。x1 1.6 x21(6) (6)(6 分)写出求解方程组 0.4x1x22 的 Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。(7) (

16、7)(4 分 ) 设CondA。54A, 则 A43，(8) (8)(2 分)若用 Euler 法求解初值问题 y10y, y 0 1 ，为保证算法的绝对稳定，则步长h 的取值范围为二 . (64 分)(1)(1)(6 分)写出求方程 4xcos x1在区间 0,1 的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2) (2)(12 分)以 100,121,144为插值节点，用插值法计算115 的近似值，并利用余项估计误差。(3)(3)(10 分)求 f xex 在区间 0,1 上的 1 次最佳平方逼近多项7数值试题式。1 sinx(4) (4)(10 分)用复化 Simpson 公式计算积分Ixdx

17、0的近似值，要求误差限为0.510 5 。(5) (5)(10 分)用 Gauss列主元消去法解方程组：x14x22x3243x1x25x3342x16x2x32713x15122x2(6) (6)(8 分)求方程组111的最小二乘解。(7) (7)(8 分)已知常微分方程的初值问题：dy dxx y,1x1.2y(1)2用改进的 Euler 方法计算 y(12. ) 的近似值，取步长h0.2。三 (12 分，在下列 5 个题中至多选做3 个题 )(1) (1)(6 分)求一次数不超过 4 次的多项式 p(x)满足：p 115 ， p 120 ， p 130， p 257 ， p 272(2)

18、 (2) (6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式， 并求出其代数精度：11A1 f 1xf x dx A0 f02101A(3) (3)(6 分 )用幂法求矩阵11的模最大的特征值及其相应的单位特征向量， 迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05，取特征向量的初始近似值为1,0 T 。8数值试题(4) (4)(6 分)推导求解常微分方程初值问题y xf x, y x , a x b, y ay0的形式为yi 1yi h 0 f i1 fi 1,i=1,2,N的 公 式， 使其 精度 尽 量高 ，其中 f if xi , yi,xiaih ,i=0,1,N,h b a N(5)

19、 (5)(6 分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题yp x y q x yr x0, a x by a0, y b0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题三一、（24 分）填空题(9)(1)(2 分)改变函数 f ( x)x1x( x1 )的形式，使计算结果较精确。(10)(2)(2 分)若用二分法求方程 fx0 在区间 1,2 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分次。x12x22f x，则 f x(11)(3)(2 分)设x1 x22x3 ,0x 1S x1 x 2 是 3 次样条函数，(12)(4)(3 分)设x3ax2bxc,则a=, b=, c=。9数值试题1(13)

20、 (5)(3 分)若用复化梯形公式计算 0 ex dx ，要求误差不超过10 6 ，利用余项公式估计，至少用个求积节点。x1 1.6 x21(14) (6)(6 分)写出求解方程组 0.4x1x22 的 Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。(15) (7)(4 分 ) 设Cond A。54A, 则 A43，(16) (8)(2 分)若用 Euler 法求解初值问题 y10y, y 0 1 ，为保证算法的绝对稳定，则步长h 的取值范围为二 . (64 分)(8)(1)(6 分)写出求方程 4xcos x1在区间 0,1 的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(9) (

21、2)(12 分)以 100,121,144为插值节点，用插值法计算115 的近似值，并利用余项估计误差。(10) (3)(10 分)求 f xex 在区间 0,1 上的 1 次最佳平方逼近多项式。1 sinxI0dx(11) (4)(10 分)用复化 Simpson 公式计算积分x的近似值，要求误差限为0.510 5 。10数值试题(12) (5)(10 分)用 Gauss列主元消去法解方程组：x14x22x3243x1x25x3342x16x2x32713x15122x2(13) (6)(8 分)求方程组111的最小二乘解。(14) (7)(8 分)已知常微分方程的初值问题：dy dxx y

22、,1x1.2y(1)2用改进的 Euler 方法计算 y(12. ) 的近似值，取步长h0.2。三 (12 分，在下列 5 个题中至多选做3 个题 )(6) (1)(6 分)求一次数不超过 4 次的多项式 p(x)满足：p 115 ， p 120 ， p 130， p 257 ， p 272(7) (2) (6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式， 并求出其代数精度：11A1 f 1xf x dx A0 f02101A(8) (3)(6 分 )用幂法求矩阵11的模最大的特征值及其相应的单位特征向量， 迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05，取特征向量的初始近似值为1,0 T

23、。(9) (4)(6 分)推导求解常微分方程初值问题y xf x, y x , a x b, y ay0的形式为yi 1 yi h 0 f i1 fi 1,i=1,2,N的 公 式， 使其 精度 尽 量高 ，其 中f if xi , yi , xi a ih ,11数值试题i=0,1,N,h b a N(10) (5)(6 分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题yp x y q x yr x 0, a x by a0, y b0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题一答案一、 一、填空题（每空 1 分，共 17 分）、（10）(2 ,0) (0,2 )3、a=(3 )，b （），c=、

24、（22 ）12= 3（ 1）4、( 1 )、 ( x j7!6945236.25)、( x 4x 23)5、 6、 27497、 08、 a1 9、 210、（2 , 22 2（l ii0）二、二、选择题（每题2 分）1、（(2)）2、（1）3、（1）4、（3）三、 1、（8 分）解：span1, x 2 AT1111192252312382yT19.032.3 49.0 73.3解方程组AT ACAT yAT A43391AT y173.6其中33913529603179980.7C0.92555770.0501025所以 a0.9255577 ，b0.0501025解得：2、（15 分）解

25、：RT f b a h2 f ( )11e010.001302121282768h7T (8)2f (xk )f (b) f (a)2k11 1 2 (0.8824969 0.7788008 0.60653066160. 5352614 0.47236655 0.41686207 ) 0.36787947 6、）、12数值试题0.63294341 ( x2四、1、（15 分）解：（1）(x)1）31 ，故收敛；3， （1.5） 0.18( x)11（2）2x 2 1（1.5）0.17 1，故收敛；x ，2，（）3 1.521，故发散。（3） ( x) 3x1.5选择（ 1）：x01.5，x11

26、.3572x21.3309，x31.3259，x4 1.3249，x51.32476 ， x61.32472xk 1xk(xk )xk ) 2Steffensen迭代：( ( xk )2( xk )xkxk(3xk1xk ) 23 3 xk1 1 23 xk1 1计算结果：x01.5，x11.324899x21.324718有加速效果。，x1( k 1)1 (24 3x2(k ) )4x2(k1)1 (303x1( k)x3(k) )42、（8 分）解： Jacobi 迭代法：x3(k 1)1 ( 24 x2(k ) )4k0,1,2,3,x1( k 1)1(243x2(k ) )4x2(k

27、1)1 (303x1(k 1)x3(k ) )41 ( 24 x2(k 1) )x3(k 1)4Gauss-Seidel迭代法：k0,1,2,3,030BJD 1 ( L U )3430434( BJ )5(或10) 0.790569004，84SOR 迭代法：x1( k 1)(1) x1(k )4(24 3x2(k ) )x2(k 1)(1) x2(k )(303x1(k1)x3(k ) )4x3(k1)(1) x3(k)(24x2(k1) )4k 0,1,2,3,五、 1、（15 分）解：改进的欧拉法：13数值试题yn(0 1)yn hf ( xn , yn ) 0.9 yn0.1yn 1

28、ynh f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn(0)1 )0.905yn 0.0952所以 y(0.1)y11；经典的四阶龙格 库塔法：yn 1ynh k12k22k3k4 6k1f ( xn , yn )k2f ( xnh , ynh k1 )22k3f ( xnh , ynh k2 )22k4f ( xnh, ynhk3 )k12、（8 分）解：设 H 3 ( x) 为满足条件插值多项式，则p( x)H 3 ( x)k (xx0 ) 2 ( xx1 )2f ( x2 ) H 3 ( x2 )k2 ( x2 x1 )2( x2 x0 )k2 k3k 40 ，所以 y(0.1)

29、 y1 1 。H 3 (xi )f (xi )H 3 ( xi )f(xi )i 0,1 的 Hermite代入条件p( x2 ) f (x2 ) 得：六、（下列 2 题任选一题， 4 分）1、解：将 f (x)1, x, x2 , x 3 分布代入公式得：A3, B71120, B, D202030H 3 ( xi )f ( xi )构造 Hermite 插值多项式 H 3 (x) 满足 H 3 ( xi )f ( xi) ix00, x111xH 3 ( x)dx S(x) ，f ( x)H 3 (x)f (4 ) ( ) x 2 ( x则有： 04!R(x)1S( x)dx1f ( 4

30、) ()3( x1)2dxx f ( x)04!x0f (4 ) ( )13( x 1)2dxf (4 ) ( )f ( 4) ( )4!x4!60144002、解：Rn ,hy(xn1 )yn 1y( xn )hy ( xn )h 2y ( xn )h 3y( xn )h 22!h 33!0 y( xn )1 ( y( xn ) hy ( xn )y (xn )y ( xn )2!3!h y (xn ) (1)( y (xn ) hy ( xn )h2y (xn )h3y ( 4) (xn )2!3!0,1 其中1) 214数值试题(101 ) y( xn )h(1 1 1 ) y (xn )h 2 ( 111) y (xn ) h 3 ( 111) y ( xn ) O(h4 )22662101001101011103所以 2225h3 y ( xn )该方法是二阶的。主项： 12数值计算方法试题二答