数理统计主要知识点

1、。数理统计的主要知识点一统计量及其抽样分布（一）统计量的概念1.统计量的定义：简单地说，统计量就是样本xi 的函数，它除xi 外不含其它未知参数。2.简单随机抽样：从总体中抽取样本x1 x2xn ，若它们相互独立同分布，且分布与总体相同，则称其为简单随机抽样。3. 常见的统计量：1n1n2（ 1 ）样本均值 ： xxi（ 2 ）样本方差： s2xixn i1n1 i11nxik1nk（ 3 ）样本 k 阶原点距：ak（ 4 ）样本 k 阶中心距： bkxixn i1n i1（二）抽样分布的结构和性质1 .2 分布 ： 若X 1 X 2 , X n 是来自总体 X 的简单随机抽样，且X N 0,

2、1 ，则随机变量2 = X 12X 22X n2 ，此时称其分布为自由度为n 的2 分布，记2 2 n性质： E2nD22nF 分布 ：若 X 2n ， Y2m ，且 X与Y 相互独立，记随机变量XnF ，称其分布为自2.Ym由度为 n 与 m 的 F 分布，记F F n, m性质： Fn, m1F1m, n3 . t 分布：设随机变量 X与 Y 相互独立，且X N 0,1 ， Y 2 n ，则称 tX的分布为自由度为 nYn的 t 分布，记 t t n性质：自由度为1 的 t 分布是标准柯西分布，它的均值不存在；-可编辑修改 -。 n1时， t 分布的数学期望存在且为0 ； n1时， t 分

3、布的方差存在且为n2n当自由度较大时， t 分布可以用 N0,1 近似。二参数估计：（一）点估计：1. 矩估计：（替换原理）一般地：用样本均值估计总体均值；即用样本二阶中心矩估计总体方差；E XxD X sn2 1 nn2xixi1用事件A 出现的频率估计事件A 发生的概率。2.极大似然估计：若总体的概率函数为f x,) ，求极大似然估计的基本思路：写出极大似然函数Lf x1 ,fx2 ,f xn ,取对数（此步骤仅为简化求导计算）求导数，并令其为0 ，求出估计值?性质 ：若 ?是的极大似然估计，则对任一函数g，其极大似然估计为g ?3.点估计的评价标准：相合性：若 lim P ?0 则称 ?

4、是的相合估计。n备注：一般计算时 ，只要 lim E ?， lim D ?0 ，则 ?就是的相合估计nn无偏性：若E ?，则 ?就是的无偏估计。有效性：若?1 , ?2 都是的估计值，只要D ?1D ?2 ，则称?1比 ?2 有效（二）区间估计（单个正态总体下，参数的置信区间）若正态总体N,2-可编辑修改 -。1.已知时，的置信度 1的置信区间为：xu,xun2n22.未知时，的置信度 1的置信区间为：xstn1 , xst n 1n2n23.未知时，2 的置信度 1的置信区间为：n1 s2,(n1) s22(n1)2( n1)212三假设检验：（一）概念：1. 检验统计量2. 拒绝域3. 显

5、著性水平，临界值。4.两种错误 ：第一种错误：拒真，记P 犯第一种错误= P 拒绝 H 0 H 0 成立其中是显著性水平。第二种错误：取伪，记P 犯第一种错误= P 接收 H 0 H 0不成立注意：当样本容量n 一定时，一类错误的概率减少将导致另一类错误的概率增加（二）假设检验的基本步骤：1.根据实际问题提出原假设H 0 以及备择假设H 12.选取适当的检验统计量3.选取适当的显著性水平，求得对原假设H 0 的拒绝域 W4.根据样本值计算统计量的值， 若落入 W ，则 H 0 不真，拒绝 H 0 ，接受备择假设 H 1 ，否则接受 H 0 。（三）单个正态总体下，参数的假设检验-可编辑修改 -。1. U - 检验：已知时，的检验：检验统计量： ux0n拒绝域： W,uu ,222. t - 检验：未知时，的检验：检验统计量： tx0sn拒绝域： W,tn1tn1 ,222未知时，2的检验：3.- 检验：2n1 s2检验统计量：20拒绝域： W0,2