齐次微分方程

1、第二讲一阶微分方程 【教学内容】 齐次微分方程、一阶线性微分方程 【教学目的】 理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。 【教学重点与难点】 齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法 【教学过程】 、齐次微分方程: 形如 dy f (-)的微分方程；叫做齐次微分方程 dx x 对它进行求解时，只要作变换u -原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 x 于是有y ux,业 u xdu，从而原方程可化为 u xdu f (u)， dxdxdx 即du f(u) u dx x 此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量 u还原 为y，所

2、得函数就是原方程的通解。 x 例1、 求微分方程(X2 2 y )dx 2xydy，满足初始条件 y x i 0的特解。 解：方程可化为 dy x2 y2 dx 2xy 1占 x 2（乂） 它是齐次方程。令u上，代入整理后，有 x 2 du 1 u dx 2xu 分离变量，则有 u 1 u2 du dx 2x 两边积分，得 1 2 1 1 (2)ln(1 u )(2)ln x (尹 c 即cx(1 u2)1 将u y代入上式，于是所求方程的通解为 x c(x y2) x2 把初始条件yx1 0代入上式，求出c 1，故所求方程的特解为 y2 x2 x 二、一阶线性微分方程 形如 y P(x)y

3、Q(x) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Qx)都是连续函数。 当Qx) = 0时，方程 y P(x)y 0 称为一阶线性齐次微分方程； 当Qx)工0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 1. 一阶线性齐次微分方程的解法 将方程 y P(x)y 0 分离变量得 dy P(x)dx y 两边积分得 In y P(x)dx InC 方程的通解为 P(x) dx y Ce (C为任意常数) 例2、 求微分方程y 2xy 0的通解。 解法1 (分离变量法) 所给方程是一阶线性齐次方程 变量分离得巴 y 2xdx 两边积分得“ x2 e C1 eC1 方程的通解为 x2 y Ce 解法 (公式法

4、) 将P(x) =2 x代入通解公式，得通解 y Ce P(x)dx Ce 如 Ce 2. 一阶线性非齐次微分方程的解法 非齐次方程与齐次方程的差异仅是方程右边的项 Qx)。从齐次方程的通解 y Ce P(x)dx 的结构及导数运算的规律 我们有理由推测非齐次方程的解形如 y C(x)e P(x)dx (C(x)是关于x的函数) 代入非齐次方程，得 C(x) Q(x)e P(x)dxdx C 一阶非齐次线性方程通解的公式为: P(x)dx y e Q(x)e P(x)dxdx C e P(x)dxPgdx 齐次万程 的通解 非齐次方程 的特解 p P(x)dx 齐次方程 的通解 Q(x)e P

5、(x)dxdx 非齐次方程 的特解 上述求解方法称为常数变易法 1 x 2e 对应的齐次方程为 1 2y 得通解为 Ce P(x)dx 1 x Ce2 设原方程的解为 C (x)e 从而 1 -x 2 C (x)e2 1 2 C(x)e 用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解的步骤为: (1 )先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解； (2 )利用常数变易法设出非齐次线性方程的一个特解； (3)将所设特解代入非齐次线性方程，解出Cx)，写出非齐次线性方程的通解 例3、求微分方程2 y 解法i (常数变易法) 原方程变形为： 代入原方程得 1 x 2 C (x)e2 1 2C(x)e 1 x

6、2 2 C(x)e2 1 x 2 1 x 1 2e 1 x 化简得 C (x) e 两边积分，得 x 2 C(x)e2C 所以，原方程的通解 1 x X 2 2x y C(x)e Ce e 解法2 (用公式法) 1 1 X P(x) 2 , Q(x) 2e 把它们代入公式得 ()dx- dx 2 1 x 2 y eex edx C 2 xx e2 ( ex e 2dx C) 2 x x 2 2 e2 (e2C) 例4、已知曲线过点(0, 0),且该曲线上任意点 p ( x, y)处的切线的斜率为该点的横坐标与纵坐标之和, 求此曲线方程。 解法1 (采用常数变易法求解)设所求的曲线方程为y=y( x)，由导数的几何意义有 y x y 即 y y x 初始条件为下y(0) 0 由y y 0分离变量并积分，得 x y ce 令y u(x)ex，则y u (x)ex u(x)ex，把y， y代入方程中，于是有 u(x) xe 两端积分后，得 u(x) (x 1)e x c (c为任意常数) 将上式代入y u(x)ex，从而方程的通解为 y cex (x 1) 再把初始条件y(0)0代入上式，解出c=1,因此方程的特解为 y ex x 1 这就是所求的曲线方程。 解法2 (采用公式法求解)原方程中的p(x) 1，q(x) x，把它们代