机电机械工程控制基础chapter系统时间响应分析改

1、 在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式， 在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。 第三章 系统时间响应分析 第一节 时间响应及其组成 它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的 时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统 控制性能(稳定性、准确性和快速性)，并找出系统结构、 参数与这些性能之间的关系。 这是一种直接方法，而且比较准确和直观，可以提供系 统时间响应的全部信息。 一、时域分析法的特点一、时域分析法的特点 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 如图所示无阻尼单自由度系统 输入变

2、量：Fcost；输出变量：y（t）； 动力学方程：tFtkytymcos)()( . 二、通过下面的实例分析时间响应及其组成、通过下面的实例分析时间响应及其组成 二阶线性非齐次方程 )( xfqypyy y(0),y(0) 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 动力学方程：tFtkytymcos)()( . 二阶非齐线性次方程 )( xfqypyy 根据微分方程的结构理论： )(*)()(tytyty 通解特解 0 qypyy )( xfqypyy tFtkytymcos)()( . 0)()( . tkytym 齐次解 机电

3、机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 0 qypyy 当特征方程 中有一对共轭复根 时0 2 qprrjr 2, 1 )sincos()( 2 1 )( 2 1 21212211 tCtCeyy j CyyCy t 设 为方程的解： rt e 0)( 2 rt eqprr 0 2 qprr即要求特征方程：若特征方程的根为：r1和r2, tr1 根据欧拄公式： 对于齐次方程 ，0 qypyy 则方程的两个解为： trtr eyey 21 21 , trtr eCeCy 21 21 则方程的通解为： 则方程的两个解为： tj eyey

4、 tj )( 2 )( 1 , )sin(cos ),sin(cos )( 2 )( 1 tjteey tjteey t ttj tj 取方程的通解为： 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 根据 求齐次解 0)()( . tkytym )(ty 特征方程： 0 2 kmr m k jr 2, 1 0 n m k tBtA tBtAey nn nn t sincos )sincos( 很显然，由于=0，齐次方程的通解是等幅振荡过 程。 若0，齐次方程的通解是发散的振荡过程， 若0，齐次方程的通解是衰减的振荡过程。 机电机械工程

5、控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 tBtAty nn cossin)(tYcos tFtkytymcos)()( . 根据 求特解)(* ty )( xfqypyy sincos)(xPxPexf nl x 当 时 tYtycos)(* 于是，微分方程 的解：tFtkytymcos)()( . )(*)()(tytyty 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 确定三个系数Y、A、B： tYtycos)( * 将 代入微分方程 tFtkytymcos)()( . tFt

6、Ykmcoscos)( 2 于是求得： 2 mk F Y m k n 2 1 1 k m k F Y 记： n /2 2 2 1 1 1 1 1 k F k F Y n tBtAty nn cossin)(t k F cos 1 1 2 通解： 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 根据初始条件，取t=0： By0) 0( 2 1 1 k F 2 1 1 )0( k F yB tBtAty nn cossin)(t k F cos 1 1 2 Ay n )0( t k F t k F tyt y ty nnn n cos 1

7、1 cos 1 1 cos)0(sin )0( )( 22 （零输入响应） 自由响应 输入引起的强迫响应 零状态响应 无阻尼单自由度系统在时域的解为： n y A )0( 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 一般情况下，设系统的动力学方程为： 方程式解的形式为： 第一节 时间响应及其组成 )()()( * 21 tytyty n i ts i i eAty 1 1 )( )()( * 2 tBty 零输入响应 自由响应 零状态响应 强迫响应 )()()(.)()( 01 . 1 )1( 11 txtyatyatyatya n

8、 nn n nn 若： 为方程各不相同的特征根。), 2 , 1(nisi 12 11 ( )( ) ii nn s ts t ii ii y tA eA eB x t 111 11 ( ) ii nn s ts t ii ii ytAeAe 2 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 结论： 3、由y（t）=L-1G(s)X(s)所求得的输出是系统的零状态响应； 4、对于线性定常系统,若x(t)引起的输出为y(t),则由x(t) 引起的输出为y(t)。根据这一性质可以导出一般线性定常 系统的时间响应； 第三章 系统时间响应分析

9、 第一节 时间响应及其组成 2、微分方程的阶数n和特征方程的根Si的性质与输入没有关系， 完全取决于系统的固有特性； 1、系统的自由响应与根Si的性质有关；实根：时间响应项含 有 (按指数规律变化)，共轭复根:时间响应项含有： tpi Ae )cos()sincos( tCetBtAe n t nn t 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 )()()()( )()( )()( 0 1 )1( 1 )( 01 )1( 1 )( txbtxbtxbtxb tyatyatyatya m m m m o n n n n 系统微分方程

10、的一般形式如下：输入项是输入函数各阶导数 项之和。 可分别求得各输入单独作用下的解，然后根据叠加性质求得系 统的响应函数： 对于方程式： )()()( )()( 01 )1( 1 )( txtyatyatyatya o n n n n 若y(t)是方程的解,对方程两边同时求导得: )( )( )( )()( 01 )1( 1 )( txtyatyatyatya o n n n n 由上式可知当输入x(t)取为x(t)的n阶导数时方程的解由y(t) 变为y(t)的n阶导数。 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 系统的特征根影响

11、系统自由响应的收敛性和振荡。 若系统的特征根为实数根则自由响应无振荡，为共轭复 根则自由响应振荡。若系统的实根小于0，或复根的实部小 于0自由响应收敛，否则不收敛（等幅振荡或发散振荡）。 也就是系统的极点都在左半平面，系统稳定，自由响应为瞬 态响应；反之，则自由响应逐渐增大，当t+无穷时,自 由响应趋于无穷，自由响应就不是瞬态响应了。稳态响应一 般就是指强迫响应。 特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况，虚部绝对值 越大，则自由响应项的振荡越剧烈。 瞬态响应稳态响应 5、瞬态响应和稳态响应 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改

12、控制系统的典型输入信号 第二节 典型输入信号 单位脉冲信号单位阶跃信号 单位斜坡信号单位抛物线信号正弦信号 随机信号 所谓典型输入信号，是 指根据系统常遇到的输 入信号形式，在数学描 述上加以理想化的一些 基本输入函数信号。 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 如何选择典型输入信号： 1、取决于系统常见的工作状态； 2、在所有输入信号中选择最不利的信号； 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 第三节 一阶系统的时间响应 一阶系统：微分方程 )()( )( t

13、xtx dt tdx T io o , 1 1 )( Ts sG 传递函数： T：时间常数 ： ， 1 1 )()()(, 1)( 于是有响应函数 Ts sXsGsXsX ioi )0( , 1 1 1 )()( 11 te TTs LsXLtw T t o 瞬态项： ， T t e T 1 稳态项：0 1、单位脉冲响应)()(ttxi 动态结构图： TsTs 1 1 ) )( (s sX Xi i ) )( (s sX Xo o 一阶系统单位脉冲响应图 T 1 T T 368. 0 2 1 ： T 斜率 T t e T tw 1 )( T 135. 0 T 018. 0 T2T4 )0( ,

14、 1 )( 2 te T tw T t 斜率： 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 不同时间常数下的响应情况 单位脉冲信号 T t e T tw 1 )( 1. 1. 平稳性平稳性： 2. 2. 快速性快速性t ts s： 3.3.准确性准确性 e ess ss： ： 非周期、无振荡非周期、无振荡 0)( wess T T越小，衰减越快，越小，衰减越快，T T越大衰越大衰 减越慢。减越慢。 T T越大，冲击越小，越大，冲击越小，T T越小冲越小冲 击越大。击越大。 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chaptercha

15、pter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 2、单位阶跃响应:( )( ) i x tu t ：， s 1 1 1 )()()(, 1 )(于是有响应函数 Ts sXsGsX s sX ioi )0( ,1 1 1 )()( 11 te sTs T LsXLtx T t oou 瞬态项： ， T t e 稳态项：1 一阶系统单位阶跃响应图 斜率： )0( , 1)( te Tdt tdx T t ou Tdt tdx t ou 1 | )( 0 xi(t) %5 95. 0)(3 误差带对应 时，txTt o %2 98. 0)(4 误差带对应 时，txTt o 机电机械工程控制基础机电机械

16、工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 不同时间常数下的响应情况 单位阶跃信号 T t ou etx 1)( 1. 1. 平稳性平稳性： 2. 2. 快速性快速性t ts s： 3.3.准确性准确性 e ess ss： ： 非周期、无振荡非周期、无振荡 T T越大，上升速度越慢，越大，上升速度越慢，T T越小越小 上升速度越快。上升速度越快。 )(1 ouss xe )1 (1 lim T t t e 0)( lim T t t ss ee 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 3、单位斜

17、坡响应: ( )( ) i x tr t ：， s 1 1 1 )()()(, 1 )( 2 2 于是有响应函数 Ts sXsGsX s sX ioi )0( ,)( tTeTtt：x Tt o 于是有 一阶系统单位斜坡响应图 瞬态项： ， T t Te 稳态项：t-T Tt（t）x r（t） T T 1 2 123 1 aaa L ss s T 1 2 1 1 TT L ss s T )0( ,1 )( te dt tdx Tt o斜率： 0| )( 0 t ou dt tdx 1| )( t ou dt tdx 11 2 11 ( )( ) 1 o tLXsL Tss )(txo 机电机械

18、工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 不同时间常数下的响应情况 单位斜坡信号 Tt o TeTttx )( 1. 1. 平稳性平稳性： 2. 2. 快速性快速性t ts s： 3.3.准确性准确性 e ess ss： ： 非周期、无振荡非周期、无振荡 Txte oss )( 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 3、单位加速度响应: ( )( ) i x th t )1 ( 2 1 )( 22Tt o eTTtttx )1 ( 2 1 )( 22Tt oss eTTt

19、ttxe 一阶系统不能实现对 加速度输入函数的跟踪 ：， s 1 1 1 )()()(, 1 )( 3 3 于是有响应函数 Ts sXsGsX s sX ioi s a s a s a /1 s 1 1 1 )( 4 2 3 3 21 1 3 1 Ts a L Ts Ltxo 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 第三章 系统时间响应分析 第四节 二阶系统的时间响应 二阶系统数学模型二阶系统数学模型 二阶系统的微分方程标准形式为：二阶系统的微分方程标准形式为： 阻尼比无无阻阻尼尼振振荡荡频频率率 n 2 22 2 ( )( )

20、 2( )( ) nnn d c tdc t c tr t dtdt (0) n 定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 二阶系统的反馈结构图二阶系统的反馈结构图 二阶系统的传递函数二阶系统的传递函数 开环传递函数：开环传递函数： 2 ( ) (2) n n G s s s 闭环传递函数：闭环传递函数： 2 (2) n n s s )(sR ) )( (s sC C 22 2 2 )( nn n B ss SG 机电机械工程控制基础机电机械

21、工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为 22 20 nn ss 解方程求得特征根： 当输入信号(t)（单位脉冲信号）时，则微分 方程解的形式取决于特征根。 s1,s2完全取决于完全取决于 ， n两个参数。两个参数。 2 1,2 1 nn s ， 2 )()()(, 1)( 22 2 nn n ioi s sXsGsXsX 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 q此时此时s1,s2为为 一对共轭复一对共轭复 根，且位于根，且位于 复平面的左复平面的左

22、 半部。半部。 01特征根分析 （欠阻尼） 2 1,2 1 nn s 2 1,2 1 nn ssj 二阶系统的阻尼比二阶系统的阻尼比 不同特征根不同特征根也不同也不同 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 q此时此时s1,s2为为 一对纯虚根，一对纯虚根， 位于虚轴上。位于虚轴上。 qS1,2= j n 2 1,2 1 nnn sj 特征根分析特征根分析 （无阻尼）（无阻尼）0 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 q此时此时s1,s2为为 一对相等的一对相等

23、的 负实根。负实根。 s1=s2=- n 2 1,2 1 nnn s 特征根分析特征根分析 （临界阻尼）临界阻尼）1 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 q此时此时s1,s2为为 两个负实根，两个负实根， 且位于复平且位于复平 面的负实轴面的负实轴 上。上。 2 1,2 1 nn s 特征根分析特征根分析 （过阻尼）（过阻尼）1 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 欠阻尼时的响应: 一、二阶系统的单位脉冲响应一、二阶系统的单位脉冲响应 )()()(sXsG

24、sX io 1)()(tLsX i （1）当：01时: 2 1 22 nnnn ( ) ( +-1)( +-1) n w tL ss 1 12 22 nnnn aa ( +-1)( +-1) L ss 过阻尼时的响应: 2 )()( 22 2 11 nns s LsGLtw n ) 1() 1( 12 )( )1(2)1(2 2 22 tt n nn eetw 12 2 1 n a 12 2 2 n a 易求得: )1( 1 )1( 1 12 )( 2 1 2 1 2 n n n s L s Ltw 12 )1()1( 2 22 tt n nn ee )(tw t 机电机械工程控制基础机电机械

25、工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 )()(tutxi s tuLtxL i 1 )()( 二阶系统的输入信号为单位阶跃信号，即： 二阶系统的响应函数的Laplace变换式为： ssss sGsX nn n o 1 2 1 )()( 22 2 2 22 22 2 111 +1 nn ndnd s s ss 2 d 1 n 令： )(sX o )1 ()( 1 222 n n n s s s 二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应 22 22 )( )( cos )( sin as as teL as teL at at )1 ()( 22

26、2 n n n s 22 2 21 n ss s s n n 222 )()( 21 nnn n s s s 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 1.欠阻尼欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 (01) 111 22 22 2 11 ( ) +1 dn o ndnd s xtLLL s ss ) 1 arctansin( 1 1 1 2 2 te d t n q二阶欠阻尼系统的单位阶跃响二阶欠阻尼系统的单位阶跃响 应由稳态分量和暂态分量组成。应由稳态分量和暂态分量组成。 稳态分量值等于稳态分量值等于1 1，暂

27、态分量，暂态分量 为衰减振荡过程，振荡频率为为衰减振荡过程，振荡频率为 d d。 二阶欠阻尼系统输出分析二阶欠阻尼系统输出分析 2 2 1 ( )1(sin1cos) 1 nt odd xtett 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 2.无阻尼无阻尼 （=0） 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 2222 2 11 nn n s s sss ssss sGsX nn n o 1 2 1 )()( 22 2 1 )( 22 n o s s L s Ltx t n cos1 q二阶无阻尼系统的单位阶跃响二阶无阻尼系统的

28、单位阶跃响 应是一个等幅振荡过程，最大应是一个等幅振荡过程，最大 振幅为阶跃信号的两倍，振荡振幅为阶跃信号的两倍，振荡 频率为频率为n n。 二阶欠阻尼系统输出分析二阶欠阻尼系统输出分析 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 3.临界阻尼临界阻尼 （=1） 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 nnn n s A s A sss 2 2 1 2 2 )( 1 )( 1 ssss sGsX nn n o 1 2 1 )()( 22 2 1,A 21 A n 其中 二阶欠阻尼系统输出分析二阶欠阻尼系统输出分析 1 nn t

29、t nte e )( 1 )( 2 2 1 nn o s A L s A L s Ltx t n n et )1 (1 q二阶临界阻尼系统的单位阶跃二阶临界阻尼系统的单位阶跃 响应由稳态分量和暂态分量组响应由稳态分量和暂态分量组 成。稳态分量值等于成。稳态分量值等于1 1，暂态，暂态 分量为按指数规律衰减的过程。分量为按指数规律衰减的过程。 t o n n te dt tdx 2 )( 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 4.过阻尼过阻尼 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 (1) ssss sGsX nn n o

30、 1 2 1 )()( 22 2 2 1,2 1 nn s 11 1 )( 22 2 nnnn o ss s sX n )1()1( 2 3 2 21 nn s C s C s C 2 22 1 21(1) C 3 22 1 21(1) C 1 1C t t oo n n e esXLtx )1( 22 )1( 22 1 2 2 )1(12 1 )1(12 1 1)()( 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚 轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢； 衰减项前的系

31、数一个大，一个小； 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴 远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以 忽略不计。 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调， 但又不同于一阶系统； 二阶过阻尼系统输出分析二阶过阻尼系统输出分析 二阶过阻尼情况下的两个极点：)1( 2 2,1 n s t t oo n n e esXLtx )1( 22 )1( 22 1 2 2 )1(12 1 )1(12 1 1)()( 12 )( )1()1( 2 22 tt n o nn eetx 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时

32、间响应分析改 与一阶系统阶跃响应的比较与一阶系统阶跃响应的比较 t t x xo o(t)(t) 0 0 二阶过阻尼系统二阶过阻尼系统 一阶系统响应一阶系统响应 1 1 过阻尼系统单位阶跃响应过阻尼系统单位阶跃响应 12 )( )1()1( 2 22 tt n o nn eetx 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 三、二阶系统的性能指标三、二阶系统的性能指标 t )(txo )(

33、 p txo 1 p t s t 误差带误差带 0 r t Mp 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 2、峰值时间、峰值时间tp：指：指xo(t)曲线中超过其稳态值曲线中超过其稳态值 而达到第一个峰值所需的时间。而达到第一个峰值所需的时间。 3、最大超调量、最大超调量Mp：指：指xo(t)中对稳态值的中对稳态值的 最大超出量与稳态值之比。最大超出量与稳态值之比。 4、调整时间、调整时间ts：指响应曲线中，：指响应曲线中，h(t)进入稳态进入稳态 值附近值附近 5%h( )或或 2%h( )误差带，而不再超误差带，而不再超 出

34、的最小时间。出的最小时间。 6、稳态误差、稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。：指响应的稳态值与期望值之差。 二阶欠阻尼系统瞬态响应指标：tr、tp、Mp、ts、N： 1 1、上升时间、上升时间t tr r：指：指x xo o(t)(t)曲线中第一次达到其稳态曲线中第一次达到其稳态 值所需的时间。值所需的时间。 5、振荡次数、振荡次数N：在调整时间内输出的振荡周期数。：在调整时间内输出的振荡周期数。 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应 性能指标的计算： 1.上升时间上升时间 ：令 ，则1)

35、( ro tx 即有： 1) 1 arctansin( 1 1 1)( 2 2 rd t ro tetx rn 由于： 0) 1 arctansin( 2 rdt 所以： 2 1 arctan rdt 令： 2 1 arctan 2 1 n d r t 得： r t 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 根据极值定理有：根据极值定理有： 2.峰值时间：峰值时间： p t 0| )( p tt o dt tdx 0sin1sin 1 | )( 2 2 2 pdpdtt o tt dt tdx p 0sin pdt 由于： 2 2

36、 1 ( )1(sin1cos) 1 nt odd xtett 所以： 2 1 n d p t 得： 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 将峰值时间 代入上式/ pd t %100 )( )()( tx txtx M o opo p 3.最大超调量：最大超调量： p M 2 2 1 ( )1(sin1cos) 1 nt odd xtett 而： )cos1sin( 1 1 2 2 tte dd t n )( )()( tx txtx M o opo p %100%100 )( )()(2 1/ e tx txtx M o o

37、po p 得： 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示 %100%100 )( )()(2 1/ e tx txtx M o opo p 当=0.40.8 相应的超调量 Mp=25%-1.5% 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 4.调整时间调整时间 s t ) (tx o 当xo（t）的取值满足下列不等式时 所需要的时间，定义为调整时间ts。 )(),(| )()(| sooo ttxxtx 式中是指定的误差，一般取2%-

38、5%。 即当xo（）=1时:)( ,| 1)(| so tttx )sin( 1 1 2 sd t te sn 取： snt e 2 1 1 于是： 由于： 1) 1 arctansin( 1 1 11)( 2 2 rd t o tetx rn 2 1 snt e 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 2 1 1 ln 1 n s t 2 2 1 lnln(1) n n t t e e 2 ln(1) nt 若取=0.02,得： n s t 2 1 1 ln 02. 0 1 ln 若取=0.05,得： n s t 2 1 1

39、ln 05. 0 1 ln 当00.7时,调整时间ts： 若取=0.02,得： 4 s n t 若取=0.05,得： 3 s n t 工程中一般做如下近似计算： 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 4.4.振荡次数振荡次数N N 在过渡过程时间0t ts内, 由于系 统的振荡周期为：2/d，于是有： d s t N /2 当00.7时,调整时间ts： 若取=0.02,得： n s t 4 若取=0.05,得： n s t 3 2 2 12 1/2 /4 /2 /4 n n d n N 2 15 . 1 N 机电机械工程控制基

40、础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 几个主要公式： （1）上升时间 2 1 n d r t （2）峰值时间： 2 1 n d p t （4）最大超调量： %100 2 1/ eM p （3）调整时间ts： 若取=0.02,得： n s t 4 若取=0.05,得： n s t 3 （5）振荡次数N： 2 12 /2 d s t N 若取=0.02 2 15 . 1 N 若取=0.05 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 下面根据上图来分析系统的结构参数 、 对阶 跃响应的影

41、响 n 平稳性（平稳性（Mp） 2 1 dn 振荡角频率为： %100 2 1/ eM p 结论：对于二阶欠阻尼系统而言，结论：对于二阶欠阻尼系统而言， 大，大， 小，系统响应的平稳性好。小，系统响应的平稳性好。 n 当当 0时，为零阻尼响应，具有频率为时，为零阻尼响应，具有频率为 的的 不衰减（等幅）振荡。不衰减（等幅）振荡。 n MP% 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 快速性快速性 从图中看出，对于5误 差带，当 时，调 节时间最短，即快速性最 好。同时，其超调量5， 平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。 0.707

42、0.707 总结：总结： 越大，调节时 间 越短；当 一定时， 越大，快速性越好。 n s t n 系统的响应速度与平稳性间 往往是存在矛盾的。 2 1 |sin()| 1 nt d et 与ts的精确关系式： ) 1 1 ln 1 (ln 1 2 snt 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 fkycm yy . 例如，一个m-c-k系统的动力学方程为： m k n km c 2 与标准形式比较可得： 2 22 2 ( )( ) 2( )( ) nnn d c tdc t c tr t dtdt (0) n 通常根据容许的超

43、调量来选择阻尼比！ 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 稳态精度稳态精度 从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态 分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳 态误差为零。 2 2 1 ( )1(sin1cos) 1 nt odd xtett 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 例题解析例题解析 例题3-1:已知单位反馈系统的开环传递函数为： 求K=200时，系统单位阶跃响应的动态性能指标。 若K 增大到1500或减小到13.5，试分

44、析动态性能指 标的变化情况。 )5 .34( 5 )( ss K sG 解：系统闭环传递函数为： Kss K sG sG s 55 .34 5 )(1 )( )( 2 )(sR ) )( (s sC C )5 .34( 5 ss K 10005 .34 1000 )( 2 ss s 当当KA 200时时 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 10005 .34 1000 )( 2 ss s st n r 081. 0 1 arccos 2 )05. 0(174. 0 3 st n s %13%100 2 1 eM p )05.

45、 0(73. 0 15 . 1 2 N st n p 12. 0 1 2 2 22 ( ) 2 n nn w s sw sw 当当KA 200时时 与标准的二阶系统传递函数对照得： 34.5 0.545 2 n 6.311000 n 1 rad s 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 当当KA 1500时时 可见，增大K，减小，n提高，引起tr、tp减 小，Mp增大，而ts无变化 与标准的二阶系统传递函数对照得： 6 .867500 n 34.5 0.2 2 n 1 rad s st n r 021. 0 1 arccos

46、2 )05. 0(174. 0 3 st n s %7 .52%100 2 1 eM p )05. 0(34. 2 15 . 1 2 N st n p 037. 0 1 2 Kss K sG sG s 55 .34 5 )(1 )( )( 2 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 当当KA 13.5时时 21.85.67 n 34.5 2.1 2 n 1 rad s 与标准的二阶系统传递函数对照得： 即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统 串联组成，其中 T1=0.481s,T2=0.0308s 系统工作于过阻尼状态，传递

47、函数可以改写为： ) 10308. 0)(1481. 0( 1 5 .675 .34 5 .67 )( 2 ss ss sG 对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时 间ts可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算， 即：ts=3T1=1.443s (=0.05)显然，ts比前两种情形 要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓慢。 Kss K sG sG s 55 .34 5 )(1 )( )( 2 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 系统在单位阶跃作用下的响应曲线系统在单位阶跃作用下的响应曲线 c(t)c(t) 1

48、1 0 0 t t K KA A=1500=1500 K KA A=200=200 K KA A=13.5=13.5 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 例3-2：如图a所示一位置随动系统，单位阶跃响应时，要求 Mp5%，问：1）系统是否满足要求；2）增加微分环节如图b 所示，求满足条件的 。 解：1)对于系统a: 2 50 ( ) 0.0550 Gs ss 由得 ， %5%35%100)1/exp( 2 Mp 因此,不满足要求. 2 1000 ( ) 201000 G s ss 31.62,0.316 n 2 nn 220

49、0,1000由得： 于是可求得最大超调量Mp： 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 2)对于系统b: 2 50 ( ) 0.05(1 50 )50 G s ss 6 . 0%5 %,5%100)1/exp( 2 ： Mp 得现取 由于 1 0236. 0 )501 (202 s n 求得 再由 系统的闭环传递函数为： 50/( (0.051) ( ), 1 (1) 50/( (0.051) ss G s sss 50 (0.051) (1) 50sss 2 50 , 0.055050sss 2 1000 ( )31.62 2

50、0(1 50 )1000 n G s ss 由知 可见，引入了比例微分可见，引入了比例微分 控制，使系统的等效阻尼控制，使系统的等效阻尼 比加大了，从而抑制了振比加大了，从而抑制了振 荡，使超调减弱，可以改荡，使超调减弱，可以改 善系统的平稳性。微分作善系统的平稳性。微分作 用之所以能改善动态性能，用之所以能改善动态性能， 因为它产生一种早期控制因为它产生一种早期控制 （或称为超前控制），能（或称为超前控制），能 在实际超调量出来之前，在实际超调量出来之前， 就产生一个修正作用。就产生一个修正作用。 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间

51、响应分析改 例3-3：设在质量块m上施加xi(t)=8.9N的阶跃后,质量块的时间 响应xo(t)如图所示求m、K和C的值。 解：xi(t)=0.89N， 由响应曲线 知：xo()=0.03m, tp=2s, Mp=0.0029*0.03*100%,且系 统的传递函数为: kcsmssX sX sG i o 2 1 )( )( )( 且 Xi(s)=8.9/s。 分析：已知系统的输入和响应求系统参数。将传递函数变换成 如下标准形式： 2 ( )1/ ( ) ( ) o i X sm G s ck X s ss mm 于是： 2 n m k 2 n c m %100 2 1/ eM p 2 1

52、n d p t 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 2) 求m。 6 . 0%,96%100 03. 0 0029. 0 %100 2 1/ eM p 由于 2 1 n d p t 将tp=2s、=0.6代入得: 1 96. 1 s n 3) 求c。 msN：c m c n /.8 .1812得 又： 2 n m k 于是： kgkm n 3 .77/ 2 1) 求k。 00 ( )lim( )lim( )lim( )( ) oooi tss xx tsX ssG s X s mNk/297 (可以根据胡克定理来求： xi(

53、)=k*xo()8.9N=k*0.03m。) 2 0 18.98.9 lim0.03 s sNm mscs ksk 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 高阶系统的时间响应可视为多个一阶环节和二阶环节响应的叠加 第三章 系统时间响应分析 第五节 高阶系统的时间响应 nm asasa bsbsb sG n n n n m m m m , . . )( 0 1 1 0 1 1 nmnnn ssps zsK sG n j n k nknkkj m i i ,2, )2()( )( )( 21 11 2 2 1 12 高阶系统的传递函

54、数： 或写成零极点形式： 不失一般性，设系统特征方程有n个特征根：n1为实数根的个数n2 为共轭复根的对数，即：n1+2n2=n。于是特征方程有n1个一次因 式积和n2个二次因式积。 1 1 ( )() n j j G ssp 1 2 22 1 ( )(2) n knknk k G sss 2 )()()( 21 sGsGsGN 其中： 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 单位阶跃作用下的瞬态响应分析： 12 1 22 11 () ( )( )( ) ()(2) m i i Oinn jknknk jk Ksz XsG s

55、Xs Sspss 21 1 2 2 1 0 2 1 )()( n k nknkk kk n j j j o ss CsB ps A s A s sGsX 单位阶跃作用下的瞬态响应部分分式表示： 待定系数Aj是Xo(s)在实极点处的留数， Bk和Ck是Xo(s)在复极点 处的留数的实部和虚部 ： 12 1 22 11 ()() lim ()(2) j m ji i nn sp jknknk jk sp Ksz Sspss Aj的大小与零、极点的分布有 关！若PjZi, Aj 0。 ( )lim ()( ) j jjo sp A sspXs j A 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chap

56、terchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 2 1 2 2 2 n k nknkk kk ss CsB 又由于： 2 1 2 2 2 )1 ()( )( n k nknkk nkkk s sB 2 222 1 ()(1) n kk k knknk B sC s 222 ()(1) kkknk knknk CB s 22 22 )( )( cos )( sin as as teL as teL at at 2 222222 1 2 n kk k knkknkknknk B sC ss 2 222 1 ()(1) n kkknkkknkk k knknk B sBBC s 2 2 (

57、1) (1) nk nk 2 22 2 1 cos(1)sin(1) (1) knk n t kkknk knknk k nk CB eBtt 单位阶跃响应： 12 0 11 ( )sin() j knk nn p t t ojkdkk jk x tAA eD et 稳态项指数曲线项振荡曲线项 22 )( dk nkkkk k BC BD k arctan kdk k kkknk B CB 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 1、系统的极点位于s平面的左半平面（特征根是负实根或是 具有负实部的复根）时，第二，三项衰减，衰减快

58、慢取决于 极点离虚轴的距离，离虚轴愈远，衰退减愈快； 2、如果系统中离虚轴最近的极点其实部小于其它极点实部的 1/5，并且附近不存在零点，则该极点称为主导极点。系统的 响应特性主要由主导极点决定。 Im Re S S1 S2 图-系统极点位置及阶跃响应 S3 S4 S5 S6 S5 S6 12 0 11 ( )sin() j knk nn p t t ojkdkk jk x tAA eD et Z1 s7 0 0 j j - -n n -8-8n n -5-5n n -10-10n n p p1 1 p p2 2 p p3 3 p p4 4 p p5 5 z z1 1 机电机械工程控制基础机电

59、机械工程控制基础chapterchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 存在一对离虚轴最近的共轭极点； 附近无零点； 其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。 主导极点：满足下列条件的极点称为主导极点。 例如： 为某高阶系统的主导极点，则单位阶跃响应近似为： 1 2 11112, 1 1 dnn jjp 0111 ( )sin() t od x tAeDt 利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。 主导极点在xo(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的 瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近 似为二阶系统。 机电机械工程控制基础机电机械工程控制基础chap

60、terchapter系统时间响应分析改系统时间响应分析改 q在近似前后，确保输出稳态值不变； q在近似前后，瞬态过程基本相差不大。 高阶系统近似简化原则： 例如： 2 22 () ( ) (2)() n nn sz G s sssp 如果：55 nn pz 以及则： )2( )( 2 2 2 nn n ssp z sG p z psss zs s s nn n s )(2( )(1 lim 2 2 2 0 p z pss z s s nn n s )2( 1 lim 2 2 2 0 而 zp n d j d j S1 S2 2 22 1 (1) ( ) 1 (2) (1) n nn zs z