高中数学圆锥曲线综合题

1、题目 高中数学复习专题讲座圆锥曲线综合题高考要求圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、 参数问题、 应用题和探索性问题， 圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、 复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题， 需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整重难点归纳解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质， 注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，

2、需构造参数满足的不等式，通过求不等式 (组 )求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值典型题例示范讲解例 1 已知圆 k 过定点 A(a,0)(a 0),圆心 k 在抛物线 Cy2=2ax 上运动，MN 为圆 k 在 y 轴上截得的弦(1)试问 MN 的长是否随圆心 k 的运动而变化？(2)当 |OA|是 |OM |与 |ON|的等差中项时， 抛物线 C 的准线与圆 k 有怎样的位置

3、关系？命题意图本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力知识依托弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识错解分析在判断 d 与 R 的关系时， x0 的范围是学生容易忽略的技巧与方法对第 (2)问，需将目标转化为判断d=x0+ a 与 R=x02a2的大小解 (1)设圆心 k(x0,y0),且 y02=2ax0,圆 k 的半径 R=|AK |=( x0a) 2y02x02a2 |MN |=2 R2x022x02a 2x02=2a(定值 )弦 MN 的长不随圆心k 的运动而变化12在圆 k(x x0202=x02+a2中，(2)设 M(0,y )、N(0

4、,y ) +(y y )令 x=0，得 y2 2y0y+y02 a2=0 ， y1y2=y02 a2 |OA|是 |OM|与 |ON|的等差中项 |OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a又 |MN |=|y1 y2|=2a， |y1|+|y2 |=|y1 y2| y1y2 0，因此 y02a2 0,即a2ax0 a2 0 0 x0 2圆心 k 到抛物线准线距离d=x0+ a a,而圆 k 半径 R= x02a2 a2且上两式不能同时取等号，故圆k 必与准线相交例 2 如图，已知椭圆x 2y 2=1(2 m 5),过其左焦点且斜率为1 的mm1y直线与椭圆及其准线的交点从左到右的

5、顺序为DA、 B、 C、D ，设 f(m)=|AB | |CD |C(1)求 f(m)的解析式；ox(2)求 f(m)的最值B命题意图A本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合知识依托直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值错解分析在第 (1)问中，要注意验证当 2 m 5 时，直线与椭圆恒有交点技巧与方法第 (1)问中，若注意到 xA,xD 为一对相反数， 则可迅速将 |AB| |CD|化简 第 (2) 问，利用函数的单调性求最值是常用方法解 (1)设椭圆的半长轴、 半短轴及半焦距依次为 a、b、c，则 a2=m,b

6、2=m 1,c2=a2 b2=1椭圆的焦点为F 1( 1,0),F2(1,0)故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x= a 2 ,即 x= mc A( m,m+1),D(m,m+1)yx 1考虑方程组 x2y 2,消去 y 得 (m1)x2+m(x+1)2 =m(m 1)mm11整理得(2m 1)x2+2mx+2m m2=0=4m2 4(2m 1)(2mm2)=8 m( m 1)2 2m5, 0 恒成立， xB+xC=2m2m1又 A、 B、 C、D 都在直线 y=x+1 上 |AB|=|xB xA |=2 =(xB xA )2 ,|CD|= 2(xD xC) |AB| |CD |=2

7、 |xB xA+xD xC|=2|(xB+xC) (xA+xD)|又 xA= m,xD=m,xA +xD=0 |AB| |CD |=|xB+xC| 2 =|2m|2 =22m2m(2 m5)12m故 f(m)= 2 2m ， m 2,52m(2)由 f(m)= 22m ，可知 f(m)= 2 22m12m又 2 12 2 1 m 2 1 5， f(m)102 , 4 2 93故 f(m)的最大值为4 2 ，此时m=2;f(m)的最小值为102 ，此时m=539例 3 舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处，舰 C 在舰 B 的北偏西距 4 千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A 发现动物信号，时发现

8、这种信号，A 发射麻醉炮弹设舰与动物均为静止的，30且与 B 相4 秒后 B、C 同动物信号的传播速度为1 千米 /秒，炮弹的速度是203g 千米 /秒，其中g 为重力加速度，3若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少？命题意图 考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力知识依托 线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程错解分析 答好本题，除要准确地把握好点 P 的位置 (既在线段 BC 的垂直平分线上， 又在以 A、B 为焦点的抛物线上 )，还应对方位角的概念掌握清楚技巧与方法通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成

9、解析几何问题来求解对空间物体的定位，一般可利用yP声音传播的时间差来建立方程C 30 0解 取 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系由题意可知，BoAxA、B、C 舰的坐标为 (3，0)、( 3，0)、( 5，23 )由于 B、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为 P，则 |PB|=|PC |于是 P 在线段 BC 的中垂线上， 易求得其方程为3 x 3y+7 3 =0又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为4 秒，知 |PB|PA|=4，故知 P在双曲线x2y24=1 的右支上5直线与双曲线的交点为(8，53 )，此即为动物P 的位置，利用两点间距离公

10、式，可得 |PA|=10据已知两点的斜率公式， 得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为60 ,于是舰 A 发射炮弹的方位角应是北偏东30设发射炮弹的仰角是，初速度 v0=203g ，则 2v0 sin10,3gv0 cos sin2 = 10g3 , 仰角 =30v022例 4 若椭圆x2y 2x+y=1 在第一象限内有两个a22 =1(a b 0)与直线 lb不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域xy1解 由方程组x22消去 y,整理得y1a2b2(a2+b2) x2 2a2 x+a2(1 b2 )=0则椭圆与直线 l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件

11、是方程在区间 (0， 1）内有两相异实根，令 f(x)=( a2+b2) x2 2a2x+a2(1 b2),则有4a 24a 2 ( a2b2 )(1 b2 ) 0yf ( 0)a2(1 b2)0a2b2110b1f (1)b2a2a2 (1 b2 ) 0a20a1o1x01ab02b2aa b0同时满足上述四个条件的点 P( a, b) 的存在区域为如图所示的阴影部分学生巩固练习1已知 A、B、C 三点在曲线 y= x 上，其横坐标依次为1，m,4(1 m 4)，当 ABC 的面积最大时， m 等于 ()A3B9C542D322设 u,v R ，且 |u|2 ,v 0,则 (u v)2+(2

12、 u29)2 的最小值为v()A4B2C8D223A 是椭圆长轴的一个端点， O 是椭圆的中心， 若椭圆上存在一点 P，使 OPA=,则椭圆离心率的范围是 _24 一辆卡车高 3 米，宽 1 6 米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长， 若拱口宽为 a 米，则能使卡车通过的 a 的最小整数值是_5 已知抛物线 y=x2 1 上一定点 B( 1，0)和两个动点 P、Q，当 P 在抛物线上运动时，BPPQ，则 Q 点的横坐标的取值范围是_6 已知直线 y=kx 1 与双曲线 x2 y2=1 的左支交于 A、 B 两点，若另一条直线l 经过点 P( 2，0)及线段 AB 的中点 Q，求直

13、线 l 在 y 轴上的截距b 的取值范围7 已知抛物线 C y2 =4x(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点 F 及准线 l 分别重合，试求椭圆短轴端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程；(2)若 M(m,0)是 x 轴上的一定点， Q 是 (1)所求轨迹上任一点，试问 |MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由?8如图， ADB为半圆， AB 为半圆直径， O 为半圆圆心， 且 OD AB，Q 为线段 OD 的中点，已知 |AB |=4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持 |PA|+|PB|的值不变D(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C

14、 的方程；(2)过 D 点的直线l 与曲线 C 相交于不同的两点M、QAOBN，且 M 在 D、 N 之间，设DM =，求 的取值范围DN参考答案 :1解析由题意知 A(1， 1)， B(m,m ),C(4,2)直线 AC 所在方程为 x3y+2=0,点 B 到该直线的距离为d= | m3m2 |10S ABC1 | AB | d110| m3m 2 |1 | m 3m2 | 1 | (m3) 21 |22102224 m(1,4), 当 m3 时， S ABC 有最大值，此时 m=924答案B2解析考虑式子的几何意义，转化为求圆 x2+y2=2 上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值答案

15、C解析设椭圆方程为x2y2x2 3a2b2 =1(a b 0),以 OA为直径的圆ax+y2=0,两式联立消y 得 a 2b2x2 ax+b2=0即 e2x2 ax+b2=0,该方程有a 2一解 x2,一解为 a,由韦达定理 x2=a a,0 x2 a，即 0 a aa2e2e22e 1答案2 e 124 解析 由题意可设抛物线方程为 x2=ay,当 x= a 时， y= a ；当 x=08 时， y= 0.6424a由题意知 a0.64 3,即 a2 12a256 0 解得 a 的最小整数为 134a答案135解析设 P(t,t2 1)，Q(s,s2 1) BP PQ,t 21 (s21)(

16、t 21)t1st= 1,即 t2+(s 1)t s+1=0 t R ,必须有 =( s 1)2 +4(s 1) 0即 s2+2s3 0,解得 s 3 或 s 1答案( , 3 1,+ )6 解设 A(x1,y1）,B(x2,y2)ykx1由y2,得 (1 k2）x2+2kx 2=0,x 21又直线AB 与双曲线左支交于A、B 两点，1k 20( 2k )28(1k 2 )0故有x1x22k01k2x1x2201 k2解得2 k 1x1x2k, y0kx011设Q(x0 , y0 ),则x021k221ky0011l的斜率为k 212k 2x02kk22k 211l的方程为 y( x2).22

17、kk2令 x0,则b22,又 k (2, 1)k2k22k2k 2 (1,22),即b 2或2.2 b7 解由抛物线y2=4x,得焦点 F(1,0), 准线 lx= 1(1)设 P(x,y)，则 B(2x 1,2y),椭圆中心O,则 |FO | |BF|=e,又设点B到 l 的距离为 d,则 |BF| d=e, |FO | |BF |=|BF| d,即 (2x 2)2+(2y)2=2x(2x 2),化简得 P 点轨迹方程为 y2=x 1(x1)(2)设 Q(x,y),则|MQ |= ( xm)2y2( xm)2x1 x(m1) 2m5 (x 1)24( )当 m1 1,即 m3时，函数t= x

18、 (m125在 (1， + )222) + m4上递增，故 t 无最小值，亦即|MQ|无最小值( )当 m1 1,即 m32125在 x=m122时，函数 t= x (m2)+ m24处有最小值 m5min5, |MQ | = m448 解 (1) 以 AB 、OD 所在直线分别为x 轴、 y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系， |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2221225 |AB|=4曲线 C 为以原点为中心，A、 B 为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为 b,半焦距为c,则 2a=2曲线 C 的方程为x2 +y2=15(2)设直线 l 的方程为y=kx+2,代入 x 2 +y

19、2=1, 得 (1+5k2)x2+20kx+15=0 5=(20k)2 415(1+5k2) 0,得 k2 3 5由图可知 DMx1=DNx2x1x220k5k 2由韦达定理得115x1x215k2将 x1=x2 代入得(1)22400k2x222(15k)x221155k 25 , a=5 ,c=2,b=1yDNx2x1oxM两式相除得(1) 2400k28015(15k 2 )13(5k 2 )k 23 , 015 , 5k 2120 ,即480165k 2353133( k 25)4(1) 216 ,DM0,解得 133DN3x1DM,M在 D 、N 中间， 1x2DN又当 k 不存在时，显然