高考数学专题基础练——数列(含答案)

1、高考数学专题基础练数列一、选择题（本大题共5 小题，共25.0 分）1. 等差数列 an 的首项为 1，公差不为0若 a ， a ， a成等比数列，则 a 前 6 项的和为（）236nA. -24B. -3C. 3D. 82. 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题： “远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯 ()A. 1 盏B. 3 盏C. 5盏D. 9 盏3.在等差数列 an 中， a1=2 ， a3+a5=10 ，则 a7=（）A. 5B. 8C. 1

2、0D. 144.设 an 是公比为 q 的等比数列，则“q 1”是“ an 为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且Sn 2an 1(nN* )，则 a5等于()A. -16B. 16C. 31D. 32二、填空题（本大题共 3小题，共15.0分）6. 设等比数列 an 满足 a1+a2=-1 ， a1-a3=-3，则 a4=_ 7. 已知数列 an 是递增的等比数列， a1+a4=9， a2a3=8，则数列 an 的前 n 项和等于 _8. 若数列 an 满足： a11， an 1

3、an2n，则数列 an 的通项公式为 _.三、解答题（本大题共7 小题，共84.0 分）9. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 S2=4， an+1=2Sn+1， nN* （ ）求通项公式 an；（ ）求数列 | an-n-2| 的前 n 项和210.已知 an 是递增的等差数列，a2， a4 是方程 x -5x+6=0 的根?（ 2）求数列 2 ? 的前 n 项和11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（ ）求 an 的通项公式；（ ）若数列 bn ，满足 anbn=log 3an，求 bn 的前 n 项和 TnABC的内角A BC所对应的边分别为a b

4、 c12. ， ， ，（ ）若 a， b， c 成等差数列，证明： sinA+sinC=2sin （ A+C）；（ ）若 a， b， c 成等比数列，求cosB 的最小值213.已知数列 an 的前 n 项和 Sn=? +?， nN* 2（ ）求数列 an 的通项公式；（ ）设 b?nn=2?+（ -1） an，求数列 bn 的前 2n 项和14.已知数列 an 满足 a1=1，an+1 =3an+11（ ）证明 an+2 是等比数列，并求 an 的通项公式；1113（ ）证明： ?+?+ +? 12?215. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2（ ）求 an 的通项公式；1（ ）记

5、bn=?+ ?+1，求数列 bn 的前 n 项和第 1 页，共 5 页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0a2，a3，a6 成等比数列，2（a1+2d）=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d0，解得 d=-2，a n 前 6 项的和为=-24故选：A 利用等差数列通 项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出 a n 前 6 项的和本题考查等差数列前 n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性 质的合理运用2.【答案】 B【解析】【分析】本题考查了等比数列的定 义，以及等比数列的前 n 项和公式的 实际应用

6、，属于基础题 设这个塔顶层有 a盏灯，由题意和等比数列的定 义可得：从塔顶层依次向下每 层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n 项公式列出方程，求出 a 的值【解答】解：设这个塔顶层有 a盏灯，宝塔一共有七 层，每层悬挂的红灯数是上一 层的 2 倍，从塔 顶层依次向下每 层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，381=127a，解得 a=3，则这个塔顶层有 3 盏灯.故选 B3.【答案】 B【解析】【分析】由题意可得 a4=5，进而可得公差 d=1，可得 a7=a1+6d，代值计算即可本 题考查等差数列的通 项公式，属基础题【解答】解：在等差数列 an 中 a

7、1=2，a3+a5=10，2a4=a3+a5=10，解得 a4=5，公差 d=1，a7=a1+6d=2+6=8故选 B4.【答案】 D【解析】解：等比数列-1，-2，-4，满足公比 q=2 1，但an 不是递增数列，充分性不成立若 an=-1为递增数列，但 q=1 不成立，即必要性不成立，故 “q1”是“a 为递增数列 ”的既不充分也不必要条件，n故选：D根据等比数列的性 质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到 结论本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本 题的关键5.【答案】 B【解析】【分析】本题考查数列的递推公式和通 项公式的关系，关键是求

8、出数列的通 项公式根据题意，由数列的递推公式分析可以求出数列a n 是以 1 为首项，以2 为公比的等比数列，即可得数列a n 的通项公式，将 n=5 代入计算即可得答案【解答】解：根据题意，sn=2an-1，当 n=1 时，a1=2a1-1，解得 a1=1，当 n2时，an=sn-sn-1=（2an-1）-（2an-1-1）=2an-2an-1，第 2 页，共 5 页an=2an-1，数列 a n 是以 1 为首项，以2 为公比的等比数列，an=2n-1则 a5=25-1=16故选 B6.【答案】 -8【解析】解：设等比数列 a n 的公比为 q，a1+a2=-1，a1-a3=-3，a1（1

9、+q）=-1，a1（1-q2）=-3，解得 a1=1，q=-23则 a4=（-2）=-8故答案为：-8设等比数列 a n 的公比为 q，由 a1+a2=-1，a1-a3=-3，可得：a1（1+q）=-1，a1（1-q2）=-3，解出即可得出本题考查了等比数列的通 项公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题7.【答案】 2n-1【解析】解：数列a n 是递增的等比数列， a1+a4=9，a2a3=8，可得 a1a4=8，解得a1=1，a4=8，8=1 q3，q=2，数列 a n 的前 n 项和为：=2n-1故答案为：2n-1利用等比数列的性 质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列 a n

10、的前 n 项和本题考查等比数列的性 质，数列a n 的前 n 项和求法，基本知识的考查 8.【答案】 2n-1【分析】本题主要考查由递推公式推 导数列的通 项公式，涉及累加法的 应用，属于基础题目 .【解答】解 :因为，所以，则.故答案为 2n-1.9.【答案】 解：（ ） S2=4 ， an +1=2Sn +1， nN*a1+a2 =4， a2=2S1+1=2 a1+1，解得 a1=1， a2=3 ，当 n2时， an+1 =2Sn+1， an=2 Sn-1+1，两式相减得 an+1 -an=2（Sn-Sn-1） =2an，即 an+1 =3an，当 n=1 时， a1=1， a2=3，满足

11、 an+1=3an，?+1 ? =3，则数列 an 是公比q=3 的等比数列，?则通项公式an=3 n-1 （ ） an-n-2=3 n-1 -n-2，设 bn=|an-n -2|=|3n-1-n-2|，则 b1=|30-1-2|=2， b2=|3-2-2|=1 ，当 n3时， 3n-1 -n-2 0，则 bn=|an-n -2|=3n-1 -n-2，此时数列 | an-n -2| 的前 n 项和 Tn=3+?-2)-=? 2-5?+11 ，9(1-3(5+?+2)(?-2)3 -?1-3222，?= 1?= 12 ，则 Tn= 3，?= 2=3?-?2 -5?+11，? 2-5?+11 ，

12、? 32? 23-?2【解析】（）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列 a n 是公比 q=3 的等比数列，即可求通项公式 an；讨论 n 的取值，利用分组法将数列 转化为等比数列和等差数列即可求数列 |an-n-2| 的前 n项和（）本题主要考查递推数列的 应用以及数列求和的 计算，根据条件建立方程 组以及利用方程 组法证明列 a n是等比数列是解决本 题的关键求出过程中使用了 转化法和分 组法进行数列求和10.【答案】 解：（ 1）方程 x2-5x+6=0 的根为 2， 3又 an 是递增的等差数列，1故 a2=2， a4=3，可得 2d=1， d=2，第 3 页，

13、共 5 页1 1故 an=2+ （ n-2） = n+1，2 2?（ 2）设数列 2? 的前 n 项和为 Sn，n?1+?2+?3+ ? +?-1+?，212 2232?-12 ?S =1?，1+2+3+ ? +?-1+?n23242?2?+12 S =2 21?1111?311(1-1? -得n?-1 )1+ ?(2+3+4 + ? + ?) -?2+421-? ，S =2222?+1=222?+12221- 2解得 Sn=3+1(1 -1) -?+2=2-?+4222?-1?+12?+12【解析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出 a2，a4 的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得

14、的通 项代入，用错位相减法求和本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考 对数列解答 题考查的主要方式11.【答案】 解：（ ）因为 2Sn=3n+3，所以 2a1=31+3=6，故 a1=3，当 n 1 时， 2Sn-1 =3n-1 +3，此时， 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n -1=23n-1 ，即 an=3 n-1，所以 ? = 3, ?= 1?3?-1 ,? 1.（ ）因为 anbn=log 3 an ，所以 b1=1，3当 n 1 时， bn=3 1-n?log 33n-1 =（ n-1） 31- n，1所以 T1=b1=3；当 n 1 时， Tn=b1+b2+ +bn=

15、1+（ 13-1+23-2+ +（ n-1）31- n），3所以 3Tn=1+（ 130+23-1+33-2 + +（ n-1） 32- n），2+30+3-1+3-221-3 1-?- （n-1） 31-n=13-6?+3两式相减得：2Tn =+ +32- n-（ n-1） 31- n=+-16?，331-323所以 Tn=13 -6?+3?，经检验， n=1 时也适合，12 4313 6?+3综上可得Tn=-【解析】（）利用2Sn=3n+3，可求得 a1=3；当n 1 时，2Sn-1=3n-1+3，两式相减 2an=2Sn-2Sn-1，可求得 an=3n-1，从而可得 a n 的通项公式；

16、（）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n1 时，bn=31-n?log33n-1=（n-1）31-n，于是可求得 T1=b1=；当n 1 时，Tn=b1+b2+ +bn= +（13-1+23-2+（n-1）31-n），利用错位相减法可求得 b n 的前 n 项和 Tn本题考查数列的求和，着重考 查数列递推关系的 应用，突出考查 “错位相减法 ”求和，考查分析、运算能力，属于中档 题12.【答案】 解：（ ） a，b， c 成等差数列，2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，sinB=sin-（ A+C） =sin （ A+C），sinA+sin C=2si

17、nB=2sin （ A+C）；（ ） a， b， c 成等比数列，b2=ac，22222? +? -? +? -? 2?-?1，cosB=2?=2?2?=2当且仅当a=c 时等号成立，1cosB 的最小值为 2【解析】（）由a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性 质列出关系式，利用正弦定理化 简，再利用诱导公式变形即可得证；（）由a，bc 成等比数列，利用等比数列的性 质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式 变形即可确定出 cosB 的最小值此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本 题的关键13.【答案

18、】 解：（ ）当 n=1 时， a1=s1=1，当 n2时， an n n22? +? (?-1)+(?-1)=s -s -1=-=n，22数列 ann 的通项公式是a =n（ ）由（ ）知， bn=2n+（ -1） nn，记数列 bn 的前 2n 项和为 T2n，则T2n =（ 21+22+ +22n） +（ -1+2-3+4- +2n）2?=2(1-2) +n=22n+1+n-21-2数列 bn 的前 2n 项和为 22n+1+n-2【解析】（）利用公式法即可求得；（）利用数列分组求和即可得出 结论第 4 页，共 5 页本题主要考查数列通项公式的求法 -公式法及数列求和的方法 -分组求和法

19、，考查学生的运算能力，属中档递a；n2时，a，计算可得所求通 项；（）运用数列的 推式： 1=S1n=Sn-Sn-1题简 b=-?+ 13? +1+3(? + 1 )（项1（）化n=），再由数列的求和方法：裂 相消求?+1?14.【答案】 证明（ ） ?+1 2 =? +12=? +12=3，?2?2?2计1 =30，和， 算可得所求和? +122本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化推式，考n13，公比为 3 的等比数列；数列 a +2 是以首项为 2133 ?-1=3?an+=，即 ? =3 -12222简整理的运算能力，属于中档 题；12（ ）由