高中物理小船过河问题含答案讲解

1、小船过河问题轮船渡河问题：（ 1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时， 实际上参与了两个方向的分运动， 即随水流的运动 （水冲船的运动） 和船相对水的运动（即在静水中的船的运动） ，船的实际运动是合运动。v 船v1V 水v21渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间dd90 时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小t，显然，当1 船 sin为 d ，合运动沿 v的方向进行。v2位移最小若船水v 船vv 水水结论船头偏向上游， 使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为cos船若 v船v水 ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，

2、 怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，BEvv 船A设船头 v 船与河岸成 角。合速度 v 与河岸成 距离 x 越短，那么，在什么条件下 角最大呢？以 vv 水角。可以看出：角越大，船漂下的水 的矢尖为圆心， v 船 为半径画圆， 当 v与圆相切时，角最大，根据 cosv船船头与河岸的夹角应为v水1 / 9v船arccos，船沿河漂下的最短距离为：v水xmin(v水v船 cosd)v船 sin此时渡河的最短位移：ddv水sv船cos【例题】河宽d 60m，水流速度 v 6m s，小船在静水中的速度 v =3m s，问：12(1) 要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少 ?(2

3、) 要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少 ?解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间td 60 s20 s2 30(2) 渡河航程最短有两种情况：2大于水流速度121时，合速度 v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；船速 vv时，即 vv2小于水流速度l21时，合速度 v 不可能与河岸垂直， 只有当合速度v船速 vv时，即 v v方向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以v1 的末端为圆心，以 v2 的长度为半径作圆，从v1 的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成

4、角，则cos2131， 6062最短行程，d60mms6120cos2小船的船头与上游河岸成600 角时，渡河的最短航程为120m。技巧点拔 ：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题， 需要大家有较好的应用能力， 这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A 离岸边最近处O的距离为 d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为 ( C )2 / 9Ad2B 02221C d 1D d221解

5、析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v2，到达江岸所用时间t=d ；沿江岸方向的运动速度是水速v1 在相同的时间内， 被水冲下的距离，v2即为登陆点距离0 点距离 sv1tdv1。答案： Cv2【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2 ，若船速大于水速，则船速与水速之比为（）(A)T2(B)T2(C)T1(D)T1T22T12T1T12T22T2v1 ，水速为 v2 ，河宽为 dd解析：设船速为，则由题意可知

6、： T1v1当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图所示，则T2dv12v22联立式可得：T1v12v22，进一步得v1T2T2v1v2T22T12【例题】小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水kx， k4v0，x 是各点到近岸的距离， 小船船头垂直河岸渡河， 小船划水速度为v0 ，d则下列说法中正确的是（A）A、小船渡河的轨迹为曲线B、小船到达离河岸d 处，船渡河的速度为2v02C、小船渡河时的轨迹为直线D、小船到达离河岸3d / 4 处，船的渡河速度为10v0高中物理 - 渡河模型习题讲解3 / 9【模型概述】在运动的合成与分解中，如何判断

7、物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。 合运动的分解从理论上说可以是任意的， 但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题【模型讲解】一、速度的分解要从实际情况出发例 1. 如图 1 所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成角时，求物体A 的速度。图 1解法一（分解法） ：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体 A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引， 绳长缩短。 绳长缩短的速度即等于 v1v0 ；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动

8、，它不改变绳长，只改变角度的值。这样就可以将v A 按图示方向进行分解。所以v1 及 v2 实际上就是 v A 的两个分速度，v1v0。如图 1 所示，由此可得 vAcoscos解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率， 需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。设船在角位置经 t 时间向左行驶 x 距离，滑轮右侧的绳长缩短L ，如图 2所示，当绳与水 平方向的角度变化很小时， ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有Lx cos ，两边同除以 t 得：Lx costt即收绳速率 v0v A cos，因此船的速率为：4 / 9v Av0

9、cos图 2总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的， 得出位移分解的图示， 再从中找到对应的速度分解的图示， 进而求出牵连物体间速度大小的关系。解法三（能量转化法） ：由题意可知： 人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为 F，则对绳子做功的功率为P1 Fv 0 ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉 力 大 小 也 为 F ， 则 绳 子 对 物 体 做 功 的 功 率 为 P2FvA cos ， 因 为 P1P2 所 以vAv0。cos评点： 在上述问题中， 若不对物体 A 的运动认真分析， 就很容易得出 vAv0 cos的

10、错误结果；当物体 A 向左移动，将逐渐变大，v A 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体 A 却在做变速运动。总结：解题流程：选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；确定该点合速度方向 （物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变； 确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；作出速度分解的示意图，寻找速度关系。二、拉力为变力，求解做功要正确理解例 2. 如图 3 所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A 点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到 B 点位置时，人的速度为 v，绳与水平面夹

11、角为。问在这个过程中，人对重物做了多少功？5 / 9图 3解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用 W Fs cos 求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。当绳下端由A 点移到 B 点时，重物上升的高度为：HH (1sin)hHsinsin重力做功的数值为：mgH (1sin)WGsin当绳在 B 点实际水平速度为v 时， v 可以分解为沿绳斜向下的分速度v1 和绕定滑轮逆时针转动的分速度v2 ，其中沿绳斜向下的分速度v1 和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：v1vcos以重物为研究对象，根据动能定理得：W人WG1mv1202W人mgH

12、(1sin) mv2 cos2sin2【实际应用】小船渡河两种情况：船速大于水速；船速小于水速。6 / 9两种极值：渡河最小位移；渡河最短时间。例 3. 一条宽度为L 的河，水流速度为v水 ，已知船在静水中速度为v船 ，那么：（ 1）怎样渡河时间最短？（ 2）若 v船v水 ，怎样渡河位移最小？（ 3）若 v船v水 ，怎样渡河船漂下的距离最短？解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动， 一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4 所示。设船头斜向上游与河岸成任意角。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为vv sin，渡河所需要的时间1船为LLt，可以

13、看出：L 、v船一定时，t 随 sin增大而减小； 当90sin 1时，v1v船 sin（最大）。所以，船头与河岸垂直 t m inL 。v船图 4（ 2）如图 5 所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度 v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，v船 cosv水 ，即v水并与河岸成一定的角度，所以有arccos。v船图 57 / 9因为 0cos1 ，所以只有在v船v水 时，船才有可能垂直河岸渡河。（ 3）若 v船v水 ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图 6 所示，设船头v 船 与河岸

14、成角。合速度v 与河岸成角。可以看出：角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下角最大呢？以v 水 的矢尖为圆心， v 船 为半径画v船圆，当 v 与圆相切时，角最大，根据cosv水图 6船头与河岸的夹角应为arccos v船 ，船沿河漂下的最短距离为：v水xmin (v水 v船 cosL)v船 sin此时渡河的最短位移：LLv水sv船cos误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。【模型要点】处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：（ 1 ）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（ v分、 s分 ）互不干扰。（ 2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。8 / 9（ 3）等效性： 合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。 所以在处理变