2019届高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第一节 坐标系课件 文

1、第一节坐标系 总纲目录 教材研读 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 考点突破 2.极坐标系与极坐标 3.极坐标与直角坐标的互化 考点二极坐标方程与直角坐标方程的互化 考点一平面直角坐标系中的伸缩变换 4.常见曲线的极坐标方程 考点三曲线极坐标方程的应用 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标 伸缩变换,简称伸缩变换. x(0), y(0) x y 教材研读教材研读 2.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点定点O,叫做极点,自极点O引一条 射线

2、射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位长度单位、一个角度单位角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极 坐标系. (2)极坐标 (i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径,记为. (ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记 为. (iii)极坐标:有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,). 3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则它们之间 的关系为 cos , sin , x y 222 , tan(0). xy y x x 4.常见曲线的极坐

3、标方程 曲线 图形极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 =r(02) 圆心为(r,0),半径为r的圆 =2rcos- 圆心为,半径为r的圆 =2rsin(0) 过极点,倾斜角为的直线 (1)=(R)或=+(R); (2)=和=+ 过点(a,0),与极轴垂直的直 线 cos=a- 过点,与极轴平行的直 线 sin=a(0) 2 2 r, 2 2 2 , 2 a 1.曲线y=sinx经过变换后得到曲线C,则曲线C的周期T和ymax分 别为() A.T=,ymax=3B.T=4,ymax=3 C.T=,ymax=D.T=4,ymax= 1 , 2 3 xx yy 1 3 1 3 答案答案A由得 将其

4、代入y=sinx得y=sin2x, 即y=3sin2x. 即曲线C的解析式为y=3sin2x, 故T=,ymax=3,故选A. 1 , 2 3 xx yy 2 , 1 , 3 xx yy 1 3 2 2 A 2.在极坐标系中,A,B两点间的距离为() A.2B.3 C.6D.3 2, 3 2 4, 3 3 C 答案答案C解法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B两点如图所示,|AB|= |OA|+|OB|=6. 解法二:A,B的直角坐标为A,即A(1,- ), B,即B(-2,2). 2, 3 2 4, 3 2cos,2sin 33 3 22 4cos,4sin 33 3 |AB|=6.故选C.

5、 22 ( 2 1)(2 33) 36 3.极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为() A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆 C 答案答案C由cos=2sin2=4sincos,得cos=0或=4sin.当cos=0 时,=(R),极坐标方程表示一条直线;当=4sin时,极坐标方程表示 一个圆.故选C. 2 4.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 则线段y=1-x(0 x1)的极坐标方程为() A.=,0 B.=,0 C.=cos+sin,0 D.=cos+sin,0 1 cossin2 1 cossin4 2 4 A 答案答案Ay

6、=1-x化为极坐标方程为cos+sin=1,即 =.0 x1,线段在第一象限内(含端点),0.故选 A. cos , sin , x y 1 cossin2 5.在极坐标系中,直线cos-sin-1=0与圆=2cos交于A,B两点,则 |AB|=. 3 2 答案答案2 解析解析直线与圆的直角坐标方程分别为x-y-1=0和(x-1)2+y2=1,则该圆 的圆心坐标为(1,0),半径r=1,圆心(1,0)到直线的距离d=0, 所以AB为该圆的直径,所以|AB|=2. 3 |130 1| 1 3 6.在极坐标系中,点到直线(cos+sin)=6的距离为. 2, 3 31 答案答案1 解析解析由极坐标

7、与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点对应 的直角坐标为(1,),直线(cos+sin)=6对应的直角坐标方程为x+ y=6,由点到直线的距离公式可得,所求距离为=1. 2, 3 33 3 22 |1336| 1( 3) 考点一考点一平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换 典例典例1在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C1:x2+ y2=36变为曲线C2. (1)求C2的方程; (2)P、Q分别为C1与C2上的点,求|PQ|的最小值与最大值. 1 , 2 1 3 xx yy 考点突破考点突破 解析解析(1)设圆x2+y2=36上任一点为A(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标

8、 为A(x,y), 则4x2+9y2=36,即+=1. 曲线C2的方程为+=1. (2)C1是以O为圆心,半径r=6的圆,C2是以O为中心,长半轴长a=3,短半轴 长b=2的椭圆(如图). |PQ|min=r-a=6-3=3.|PQ|max=r+a=6+3=9. 2 , 3 , xx yy 2 9 x 2 4 y 2 9 x 2 4 y 规律总结规律总结 求经伸缩变换后曲线方程的方法 平面上的曲线y=f(x)在变换:的作用下的变换方程的求法 是将代入y=f(x),将=f整理之后得到y=h(x),即为所求变换 之后的方程. (0), (0) xx yy , x x y y y x 1-1在同一平

9、面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆x2+y2=1变换为 椭圆+=1. 2 9 x 2 4 y 解析解析设伸缩变换为 由题意知+=1, 即x2+y2=1. 与x2+y2=1比较系数. 得故 所以伸缩变换为 即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来 (0), (0), xx yy 22 9 x 22 4 y 2 3 2 2 2 2 1, 3 1, 2 3, 2, 3 , 2 , xx yy 的3倍,得到椭圆+y2=1,再将该椭圆上的点的横坐标不变,纵坐标伸长 到原来的2倍,得到椭圆+=1. 2 9 x 2 9 x 2 4 y 1-2(2018河北保定质检)若函数y

10、=f(x)的图象在伸缩变换:的 作用下得到的曲线方程为y=3sin,求函数y=f(x)的最小正周期. 2 , 3 xx yy 6 x 解析解析由题意,把变换公式代入曲线方程 y=3sin得3y=3sin, 整理得y=sin, 故f(x)=sin. 所以y=f(x)的最小正周期为=. 6 x 2 6 x 2 6 x 2 6 x 2 2 典例典例2在极坐标系下,已知圆O:=cos+sin和直线l:sin=. (0,00),M的极坐标为(1,)(10).由题设知 |OP|=,|OM|=1=. 由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos(0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(

11、x0). (2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos,于是OAB 面积S=|OA|BsinAOB =4cos =22+. 当=-时,S取得最大值2+. 4 cos 1 2 sin 3 3 sin 2 32 3 12 3 所以OAB面积的最大值为2+. 3 规律总结规律总结 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时,如 果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转 化为直角坐标方程解决. 3-1在直角坐标系xOy中,半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0y 1).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求

12、C的极坐标方程; (2)直线l的极坐标方程是(sin+cos)=5,射线OM:=与半圆C的 交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长. 33 3 解析解析(1)因为x=cos,y=sin, 所以半圆C的极坐标方程是=2cos,. (2)设(1,1)为点P的极坐标,则有 解得 设(2,2)为点Q的极坐标, 则有 0, 2 11 1 2cos, , 3 1 1 1, , 3 222 2 (sin3cos)5 3, , 3 解得由于1=2, 所以|PQ|=|1-2|=4,所以线段PQ的长为4. 2 2 5, , 3 3-2在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标 系.设C的极坐标方程为=2sin,点P为C上一动点,点M的极坐标为 ,点Q为线段PM的中点. (1)求点Q的轨迹C1的方程; (2)试判定轨迹C1和C的位置关系,并说明理由. 4, 2 解析解析(1)由C的极坐标方程为=2sin得2=2sin, 所以C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0, 又点M的极坐标为, 所以点M的直角坐标为(0,4). 设点P(x0,y0),点Q(x,y), 则有+(y0-1)2