2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第17讲 导数与函数的极值、最值配套课件 理

1、第17讲导数与函数的极值、最值 考纲要求考点分布考情风向标 1.能利用导数研究函数 的单调性，会求函数的 单调区间(其中多项式函 数一般不超过三次). 2.会用导数求函数的极 大值、极小值(其中多项 式函数一般不超过三 次)；会求闭区间上函数 的最大值、最小值(其中 多项式函数一般不超过 三次). 3.会利用导数解决某些 实际问题 2013 年新课标第 20 题(1)(2) 考查导数的几何意义、单调性、 极大值等； 2014 年新课标第 21 题考查函 数极值的充要条件及利用单调 性讨论参数的取值范围； 2014 年新课标第 12 题以函数 零点为背景，考查导数的应用； 2015 年新课标第

2、12 题构造函 数利用其单调性解不等式； 2016 年新课标第 21 题考查函 数单调性 本节复习时，要特别注意 三次函数、指数函数与对 数函数(以 e 为底)的综合 题.要深入体会导数应用 中蕴含的数学思想方法. 分类讨论思想(如参数问 题的讨论)；数形结合思想 (如通过从导函数图象特 征解读函数图象的特征或 求两曲线交点个数)；等价 转化思想(如将证明的不 等式问题等价转化为研究 相应问题的最值等) 1.函数的极值 f(x)0f(x)0 (1)判断f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0) 是极大值；

3、如果在x0附近的左侧_，右侧_， 那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： 求 f(x)； 求方程 f(x)0 的根； 检查 f(x)在方程 f(x)0 的根左右两边导函数值的符 号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得_；如果 左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号 一样，那么这个根不是极值点. 极大值 2.函数的最值 (1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件： 如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小 值，f(b)为函数的最大

4、值； 若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值. (3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤： 求函数 yf(x)在(a，b)内的_； 将函数 yf(x)的各极值与_比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值. 极值 端点值 3.利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数 学模型，写出相应的函数关系式 yf(x)并确定定义域； (2)求导数 f(x)，解方程 f(x)0； (3)判断使 f(x)0 的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中

5、作答， 即获得优化问题的答案. 答案：A C.x2 为 f(x)的极大值点 D.x2 为 f(x)的极小值点 D 4.(2015 年陕西)函数 xex在其极值点处的切线方程为 _. 考点 1 函数的极值 例 1：(2013 年新课标)已知函数 f(x)ex(axb)x24x， 曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4. (1)求 a，b 的值； (2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值. 解：(1)f(x)ex(axab)2x4. 由已知，得 f(0)4，f(0)4.故 b4，ab8. 从而 a4，b4. 【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确

6、定函数 f(x)的定义域； 求 f(x)，令 f(x)0，求出它在定义域内的一切实根； 把函数 f(x)的间断点即 f(x)的无定义点的横坐标和上面 的各实数根按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间； 确定 f(x)在各个开区间内的符号，根据 f(x)的符号判 定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性. (2)可导函数极值存在的条件： 可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f(x1) 0时，x1不一定是极值点.如f(x)x3，f(0)0，但x0不 是极值点； 可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0) 0，且在x0左侧与右侧

7、f(x)的符号不同. 【互动探究】 A 1.(2017年新课标)若x2是函数f(x)(x2ax1) ex1的极值点，则 f(x)的极小值为() A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 解析： 由题可得f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1 x2(a2)xa1ex1.因为f(2)0，所以a1，f(x) (x2x1)ex1.故f(x)(x2x2)ex1.令f(x)0，解得x1，所以f(x)在(，2)，(1，)上单调递增，在(2， 1)上单调递减.所以f(x)的极小值为f(1)(111)e111.故 选A. 2.已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数 a 的取 值范围是()

8、A.(，0) C.(0,1)D.(0，) 答案：B 考点 2 函数的最值 例 2：(2017 年北京)已知函数f(x)excos xx. (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； 解：(1)因为 f(x)excos xx， 所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0. 又因为 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方 程为 y1. 【规律方法】求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步 骤： 求函数在(a，b)内的极值； 求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)； 将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大 值，最小

9、的为最小值. 【互动探究】 3.(2017 年河南郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间0,1上的最小值. x(，k1)k1(k1，) f(x) 0 f(x)单调递减 ek1 单调递增 解：(1)由 f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex. 令f(x)0，得xk1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表： 所以 f(x)的单调递减区间是(，k1)，单调递增区间是 (k1，). (2)当k10，即k1时， 函数f(x)在0,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k. 当0k11，即1k2时， 由(

10、1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1. 当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e. 综上所述，当k1时，f(x)mink； 当1k2时，f(x)minek1； 当k2时，f(x)min(1k)e. 考点 3 利用导数解决生活中的优化问题 例 3：(2016 年江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部 分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状 是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图 2171)，并要求正四棱柱的 高是 PO1

11、的四倍. (1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积 是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？图 2171 解：(1)由 PO12 m，知OO14PO18 m. 因为 A1B1AB6 m， 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2OO1628 288(m3). 所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3). 【规律方法】本题在利用导数求函数的单调性时要注意， 求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求 f(x)0 和 f(x)0 时要注意，本题主要考查考生对基本概 念的掌握情况和基本运算能力. 【互动探究】 (2)由(1)的解答可知 f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在 (r，)上单调递减. 因此 xr 是 f(x)的极大值点， 所以 f(x)在(0，)内的极大值为 f(r) 100，f(x)在(0，)内无极小值. 综上所述，f(x)在(0，)内的