江苏省连云港市赣榆区智贤中学2020届高三数学下学期适应性考试试题含解析

1、江苏省连云港市赣榆区智贤中学2020届高三数学下学期适应性考试试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】根据并集的定义求解【详解】由题意故答案为：【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题2.复数（i为虚数单位）的实部为_.【答案】【解析】【分析】由复数除法法则计算出，再由复数的定义得结论【详解】由已知，其实部为故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题3.某新媒体就我国提前进入“5G移动通信技术”商用元年的欢迎程度进行调查，参加调查的总人数为1000其中持各种态度的

2、人数如下表：该媒体为进一步了解被调查者的具体想法，打算从中抽取50人进行更为详细的调查，则应抽取持“很欢迎”态度的人数为_.【答案】36【解析】【分析】三种态度层次分明，采取分层抽样可得结论【详解】应用采取分层抽样，抽取持“很欢迎”态度的人数为故答案为：36【点睛】本题考查分层抽样，掌握分层抽样概念是解题基础4.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为_.【答案】8【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，即可得结论【详解】程序运行，循环中变量值变化如下：，满足循环条件；，满足循环条件；，满足循环条件；，不满足循环条件，退出循环，输出故答案为：8【点睛】本题考查伪代码，考查循环结构，解题时

3、可模拟程序运行，确定变量值5.从3，4，12这3个数中随机取出2个数（逐个、不放回），分别记为a，b，则“是整数”的概率为_.【答案】【解析】【分析】用列举法写出取出2个数的所有基本事件，确定数目后可得概率【详解】从3，4，12这3个数中随机取出2个数（逐个、不放回）的所有基本事件有：共6个，其中只有这2个能使是整数，所求概率为故答案为：【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有基本事件，计数后可计算概率6.已知长方体的体积为72，则三棱锥的体积为_.【答案】24【解析】【分析】设长方体从同一顶点A出发的三条棱AB，AD，的长分别为a，b，c，根据棱锥体积公式得出长方体在三棱锥外的四个

4、三棱锥的体积与长方体体积的关系，从而得出三棱锥的体积【详解】设长方体从同一顶点A出发的三条棱AB，AD，的长分别为a，b，c，则.同理可得，所以.故答案为：24【点睛】本题考查棱锥的体积，掌握几何体的求体积的切割法7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线C的一条准线与两条渐近线所成的三角形的面积为_.【答案】【解析】【分析】设双曲线方程为，由渐近线方程得，再由焦点坐标可求得，从而得准线方程，求得准线与渐近线的交点坐标后可得三角形面积【详解】设双曲线方程为，因为双曲线C的渐近线方程为，又它的一个焦点为，,，所以双曲线C的方程为，所以双曲线C的一条准线方

5、程为，它与两条渐近线的交点坐标为，从而所围成的三角形的面积为.故答案为：【点睛】本题考查双曲线的几何性质，掌握渐近线、准线的方程是解题关键8.在平面直角坐标系xOy中，过点作斜率为（e为自然对数的底数）的直线，与曲线相切于点T，则实数t的值为_.【答案】【解析】【分析】求出导数，由导数几何意义求得切点的横坐标，从而得切点坐标，再由直线斜率公式求得【详解】因为，所以.设点，则.又因为，解得，.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，在不知切点时，一般要设出切点坐标，然后由导数几何意义得切线斜率，切线方程，结合其它条件可求得切点坐标9.设等比数列的公比为其前n项和为，若，则正整数m的值为_.【答

6、案】3【解析】【分析】利用等比数列的通项公式由条件可求得，然后由等比数列前项和公式可求得【详解】在等比数列中，因为，所以，解得.因为，所以，解得.故答案为：3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查基本量运算，属于基础题10.已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值集合为_.【答案】【解析】【分析】利用偶函数把不等式化为，然后再由单调性去掉函数符号“”，从而可求解【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以.又因为，在上单调递减，所以不等式化为即，从而，所以.故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握单调性的定义是解题关键11.在中，已知，.若点C，

7、D满足，则的值为_.【答案】【解析】【分析】以为基底向量表示，再由数量积的运算律、定义计算即可【详解】，D为OB的中点，从而，.故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解属于中档题.12.在中角A，B，C的对边分別为a，b，c，且，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设比值为，这样可表示出，从而用余弦定理后可求得，再由余弦定理可求得【详解】设，所以，即，所以，不妨取，则所以.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理，解题关键是对连比问题引入参数，即设，然后用参数表示出13.已知函数，若函数恰好有2个不同的零

8、点，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数的零点个数转化为方程的解的个数，再转化为方程解的个数，从而转化为函数的图象与直线的交点个数，作出函数图象后可得结论【详解】令函数，得，结合函数的图象知当时，函数的图象与直线恰好有2个不同的交点，所以.故答案为：【点睛】本题考查函数零点个数问题，考查转化与化归思想，解题关键是把函数零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象即可得结论14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，过直线l上一点P作圆O的两条切线，切点分別为S、T，且，则实数a的最小值是_.【答案】【解析】【分析】引入参数，把用定义表示为的式子，由

9、可求得，从而知必在圆上，那么由直线与此圆有公共点可得的最小值【详解】设，则解得或（舍去）因，所以即点P在圆上.又因为点P在直线上，所以圆心O到直线l的距离，解得，所以实数a的最小值是.故答案为：【点睛】本题考查直线与圆和位置关系，考查平面向量的数量积，解题关键是由条件得出在一个圆，问题转化为直线与此圆有公共点二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为菱形、E为棱的中点，且O为与的交点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据中位

10、线性质证明即可得证；（2）在直四棱柱中，四边形ABCD为菱形，可证明平面即可得到结论.【详解】证明（1）在直四棱柱中，因四边形ABCD为菱形，所以四边形为菱形因为O为与的交点，所以O为的中点又因为E为棱的中点，所以又因为平面，平面，所以平面（2）因为平面，平面，所以因为四边形为菱形，所以又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直、面面垂直的判定，属于中档题.16.已知函数的图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）若角满足，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据图象可得振幅、周期，由周期求出，图像过点，代入解析式求出即可；（2）

11、由题意得，根据角的变换及同角三角函数的基本关系，化简求值即可.【详解】（1）由图象知，最小正周期，即，所以，故因为的图象经过点，所以，故所以，解得又因为，所以，所以（2）由得，即因为，所以，故，所以，因此，【点睛】本题主要考查正弦函数图象与性质，由“五点法”求函数解析式，三角恒等变换，角的变换，属于中档题.17.图1是某高架桥箱梁的横截面，它由上部路面和下部支撑箱两部分组成如图2，路面宽度，下部支撑箱CDEF为等腰梯形（），且为了保证承重能力与稳定性，需下部支撑箱的面积为，高度为2m且，若路面AB侧边CF和DE，底部EF的造价分别为4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a为正常数），（1）

12、试用表示箱梁的总造价y（千元）；（2）试确定cos的值，使总造价最低?并求最低总造价【答案】（1），其中；（2）当的值为时，总造价最低，为千元【解析】【分析】（1）过点F作于点H，由三角函数及支撑面面积可得，写出总造价与的关系，并分析函数定义域；（2）利用导数求函数的最小值，即可得到结论.【详解】（1）过点F作于点H，则，所以在中，设，则由题意得，解得，所以，故路面AB的造价为千元，侧边CF和DE的造价为千元底部EF的造价为，所以，又因为，则，设锐角满足，则因此，其中（2）由（1）知设，其中，则令，则因为所以，列表如下：04所以当时，有答：当的值为时，总造价最低，为千元【点睛】本题主要考查了三

13、角函数在实际问题中的应用，利用导数求函数的最值，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知为椭圆的上顶点，P为椭圆E上异于上、下顶点的一个动点当点P的横坐标为时，（1）求椭圆E的标准方程；（2）设M为x轴的正半轴上的一个动点若点P在第一象限内，且以AP为直径的圆恰好与x轴相切于点M，求AP的长若，是否存在点N，满足，且AN的中点恰好在椭圆E上？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；存在点满足题意【解析】【分析】（1）根据题意可知，可求出P点坐标，代入方程求出即可;（2）设,则可表示出圆心坐标可设为，根据圆性质及点P在椭圆上列出方程组求解即可；设，根据，

14、AN的中点恰好在椭圆E上，且得到点坐标，即可求解.【详解】（1）因为是椭圆E的上顶点，所以当点P的横坐标为时，设，则，解得，所以椭圆E的标准方程为（2）设，则以AP为直径的圆的圆心坐标可设为又因为，所以因为，所以，得因为点P在椭圆E上，所以，与联立解得（负值舍去），所以设，因为，所以，解得，所以AN的中点坐标为因为AN的中点在椭圆E上，所以（*）因为，所以因为点P在椭圆E上，所以，（*）与联立消去得又因为，所以，代入（*）式和（*）式得消去m得又因为所以，代入（*）式和，解得（负值舍去），故综上，存在点，满足且AN的中点恰好在椭圆E上【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直

15、线与椭圆的位置关系，存在性问题，属于中档题.19.已知函数，其中e为自然对数的底数（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；（2）若函数有2个不同的零点，求实数a的取值范围；求证：【答案】（1）0；（2）；详见解析【解析】【分析】（1）根据切线方程可知，即可求解；（2）求函数导数，分类讨论，显然时，恒成立，不符合题意，时，由导数可求函数最小值，函数有零点则最小值需小于0，得，易知在上有1个零点，利用导数证明函数在上有1个零点即可求的取值范围；利用导数构造函数先证明当，时，结合可得，取对数即可得出结论.【详解】（1）因为，所以切线的斜率为，解得，所以实数的值为0（2）由题意知函数的定义

16、域为且当时，恒成立，所以在上为增函数，故至多有1个零点，不合题意当时，令，则若，则，所以在上为增函数;若，则，所以在上为减函数故的最小值为依题意知，解得一方面，所以在上有1个零点另一方面，先证明令，则当时，故在上为增函数;当时，故在上为减函数所以的最大值为，故因为，所以而令，则当时，故在上为增函数，所以故因此在上有1个零点，综上，实数的取值范围是先证明当，时，（*）不妨设，（*）式等价，等价于在中，令，即证令则，所以在上为增函数，故，所以成立，所以成立在中，令，即证令，则，所以在上为减函数，故，所以成立，所以成立综上，（*）式成立由得有2个零点，则，所以，两边取“”得，所以利用得：，所以且又因

17、为所以，故因此【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值、零点，证明不等式，涉及分类讨论思想，转化思想，属于难题.20.已知数列各项均为正数，其前n项的积为，记，.（1）若数列为等比数列，数列为等差数列，求数列的公比.（2）若，且求数列的通项公式.记，那么数列中是否存在两项，（s，t均为正偶数，且），使得数列，成等差数列？若存在，求s，t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）数列的公比为1（2）存在；s，t的值为和【解析】【分析】（1）由得的等式，再由可求得的关系，得出结论；（2）已知条件可变形为（），从而可求出，从而可得，注意，求积可得；由知.利用导数研究函数的单调性得数列的单调性：，假设存在s，t满足题意，若，由单调性出现矛盾，这样，分别求即可得结论【详解】（1）因为数列为等差数列，所以.又因为，所以（*）因为数列为等比数列，所以，代入（*）得，即，所以，故数列的公比为1.（2）当时，由得，从而又因为，所以故，所以.综上，数列的通项公式为.由知.记，则，从而函数在上