测量及误差处理

1、测量误差及数据处理1、引言但凡测量都存在误差， 误差存在于测量过程的始终，对此我们称为误差存在的普遍性。由于误差的存在，真值不能确切地知道，反过来，误差的计算也只能是一种估算。这就使我们实验所得到的测量结果，只能是给出一个真值可能存在的区间。误差影响我们对客观真值的认识，而且又普遍存在， 所以在实验中一定要有误差观念。应正确估算误差，注意观察、分析引起误差的可能因素，设法避免、减小误差，尽量提高测量的精确度。基于误差传递的误差分析在实验中有着重要的作用，可以帮助我们更好地进行实验（比如更好的选择参量，正确的使用仪器，得当的操作方法等），进一步改进实验，合理地设计实验。误差按性质分为系统误差和随

2、机误差两大类，系统误差又分为已定（定值） 和未定（变量）系统误差。随机误差由实验中微小的难以控制的随机因素引起，它表现为在很多次重复测量中所得观测值具有起伏性，并服从一定的统计分布。绝大部分实验的随机误差服从正态分布，通常用标准误差表示随机误差。标准误差是一个概率统计的概念，它表示多次重复测量中测量数据的离散程度。增加测量次数可减少实验结果的随机误差。在实验测量中， 观测值的随机性除了来自随机误差以外，有时还来自于待测量本身固有的随机性质。 若待测量本身的统计涨落造成的测量值的离散程度的大大超过测量的随机误差造成的离散程度， 这时测量结果的随机性主要反映了待测量本身固有的随机性质。如在核物理实

3、验中，利用各种探测器检测原子核衰变产生的各种射线时，计数率的统计涨落常常是造成测量数据离散的主要因素。已定系统误差是其大小和正负均已确定的误差，未定系统误差则具有一定的不确定性。对系统误差的处理主要是发现和消除问题，此问题是一个重要而复杂的问题，它是实验者实验水平的重要体现。从某种程度上讲， 随机误差和系统误差之间的差别往往是一种程度上的差别，并非种类上的差别。如所谓引起随机误差的微小的难以控制的因素，是相对于观测者所能控制的程度而言，实际上，随即误差本身正是许多微小的、独立的、不可分离的系统误差的随机组合。有效数字由可靠数字和存疑数字组成， 误差表示测量的不准确性范围， 它应与测量结果的有效

4、数字相对应。测量结果的有效数字最后一位应该是绝对误差的末位数所在位，在未给出误差的情况下，可根据有效数字的运算规则大致确定测量结果的有效数字位数。有效数字的位数多少与测量结果的相对误差相对应， 有效数字位数越多， 相对误差越小。据此并结合有效数字的运算规则，可以帮助我们更好地进行实验、改进实验、设1 。 此用有效数字 不及用 差分析那 格、具体，但 易行。下面在已学 量 差和数据 理基本知 的基 上， 就随机 差的 分布， 及其涉及到的某些基本的概率 概念， 曲 合， 系 差的 和消除作 一步的 述。另外， 在国 上和国内都决定用不确定度来 量 果 行表示，本教材就此作基本介 。2、随机变量及

5、其分布一、 随机 量在个 中呈 不确定性， 在大量重复 中又具有 律性， 此 象称 随机 象。在一定条件下，某一事件可能出 ，也可能不出 ， 事件称 随机事件。在物理 中因各种随机因素的存在或物理量本身的 落 ， 使 次 量的 具有随机性，而很多次重复 量的 表 服从一定的分布，此属随机 象。而 中某一个可能的 一个随机事件。随机 量是 研究随机 象而引入的 量， 它的各个可能取 分 代表其所包含的各个随机事件的 数。任何的一个随机事件都可以用一个 数表示，故随机 量的全部取 数 上的一个集合。随机 量按其取 的情况分 离散型和 型：只能取一串或有限个可数的数 的随机 量称 离散型随机 量；而

6、可能 布 某个区 的随机 量称 型随机 量。在核物理 和 光子 数 中，离子或光子的 数率是离散型随机 量，在物理量的 量中，更多 的是 型随机 量。随机 量全部可能取 的集合称 母体，或 体。 一次 量得到随机 量的一个具体数 ，称 随机 量的一个随机数。如果 行了n 次独立的 ，得到随机 量的n个随机数（ x1 ， x2 ， ， xn ）， 将其称 随机 量的一个随机子 （或称 本）， 称 子 。一个子 中随机数的数目 n 称 子 的容量。物理量的 量 是 得某些随机 量的子 ，子 的容量由重复 量的次数决定。二、 随机 量的分布随机 象的 律性表 其包含的各个随机事件的 分布， 即随机

7、量的各个可能取 及其可能出 的概率的分布，称 随机 量的分布。 个分布可用分布函数表示。 另外， 离散型随机 量 可用概率函数表示， 对连 型随机 量 可用概率密度函数表示。若用 x 表示随机 量X 的取 ， 分布函数定 F ( x)P( Xx)式中， P( Xx) 随机 量X 的取 小于或等于x 的概率。根据定 有F ()0（1）2F ()1（2） 离散型随机 量其概率函数定 p(x)P( X x)（3）式中 ， x 为 X 可取的分离 ， xx1 ， x2 ， 。相 的分布函数 F (x)p( x )（ 4）ixix 于 型随机 量因其取某一 x 的概率 于 0，故不能像离散型随机 量那

8、用概率函数表示其分布。 此我 引入概率密度函数，其定 f (x) dF ( x) / dx（5）相 的分布函数 xF ( x)f (x)dx（6）根据（ 2）式 有f ( x) d x 1（ 7）此称 概率密度函数 足的 一化条件。三、 分布的数字特征随机 量的分布函数能 完整的描述随机 量的 特性，但在 中，我 往往更关心随机 量分布的某些重要特征。 此， 于不同的分布，引入一些有共同定 的数字特征量，以表征 些特征，其中最重要的特征量是期望和方差。下面是以 型随机 量 其的定 。（一）随机 量的期望、方差和 准差随机 量的期望（又称均 ）定 E( x)xf ( x)dx（8）此定 式可 ，

9、随机 量的期望即 随机 量按概率算得的平均 ，所以期望又称均 。随机 量的方差定 3Var ( x)E xE(x)2 xE(x) 2 f ( x)dx(9)从定义式可见，随机变量的方差即为随机变量与其平均值之差的平方的平均值。随机变量的方差的平方根称为随机变量的标准差或根方差，用表示。不难想到，标准差和方差可以用来表征随机变量围绕其平均值的离散程度，即随机变量取值偏离其平均值起伏的大小。（二）两个随机变量的协方差两个随机变量的协方差定义为Cov( x, y)( xE (x)( yE (y) f ( x, y)dxdyE( xE( x)( yE( y)（ 10）式中， f (x, y) 为随机变

10、量x 和 y 的联合概率密度函数。协方差描述两个随机变量的相关程度。当 x 和 y 相互独立时，可得Cov(x,y)=0 ，若 Cov(x,y)0 ， x 和 y 一定不相互独立。但是如果Cov(x,y)=0 ， x 和 y 可能相互独立，也可能不相互独立。通常还用相关系数(x,y) 描述 x 和 y 的相关程度：(x,y)= Cov(x,y)（11）( x)( y)可证：1( x, y)1。若(x, y)0 ，称 x 和 y 为正相关， y 值有随 x 值增大而增大的趋势；(x, y)0 ，称 x 和 y 为负相关， y 值有随x 的增大而减小的趋势；若( x, y)1 ，称为完全线性相关，

11、此时一个变量是另一个变量的线性函数。图1 表示具有各种相关系数的二维随机变量（x， y）的随机分布情形。4图 1两个随机变量的不同相关情况3 随机误差的统计分布一、随机误差的正态分布和数据处理（一）正态分布大量的实验和理论都证明，若随机误差是由若干独立的微小因素综合产生的，则随机误差服从正态分布，而一般的物理实验绝大部分都属于这种情况。从理论上讲，实验中随机误差服从正态分布是相应于重复测量次数无限大的情况。若以测量值X 为随机变量，以x0 表示待测量的真值，式为1( xx )20f (x)e 222（12）计算可得测量值x 的期望为xf (x) dx x01nxin i 1（13）方差为( x

12、 x0 )2f ( x) dx21nx0 )2n i( xi1则正态分布的密度函数表达（x）x（ n）（ n）（ 14）5标准误差为n( xix0 )2i1（ n）（ 15）n若以随机误差xx0 为随机变量，则正态分布的表达式变为：12f ( )2e2（ 16）2由式（ 12）和（ 16）可算得：p()f ()d0.683（17）或x0p( x0x x0)f ( x)dx 0.683（ 18）x0由以上各式可知，当 n时，测量值的算术平均值即为真值。标准误差的含义为：若做任一次测量，误差落在（，）区间内的概率p 为 0.683，或者说，若做任一次测量，其测量真值落在（ x0, x0) 区间内的

13、概率为0.683。亦称为单次测量的标准误差。上面所说的概率称为置信概率，其对应的区间称为置信区间。对应不同的置信概率有不同的置信区间。例如：根据式（12）可算得，若置信概率取0.997。则对应的置信区间为（x03 , x03 ) 。 3又称为极限误差。概率论和数理统计的理论指出，若随机变量X 服从正态分布， 则 n 次测量的算术平均值 x 亦为随机变量，且亦服从正态分布。即：若做n 次测量得到一个平均值x ，如此重复得到很多很多个算术平均值，它们会有不同，其总体遵从正态分布规律。可证， x 的期望值仍为真值x0 ，其标准误差( x) 是单次测量标准误差的1 ，即n（ x)n6（二）有限次测量中

14、待测量的真值及其标准误差的估计以上所给出的结果是对正态分布的母体而言的，即对应于测量次数无限大的情况。对于有限次测量，测量值x 则偏离正态分布（以下会知，服从t 分布） .此时，算术平均值 x 亦不等于真值x0 ，但它是真值的最佳估计值，单次测量值的标准误差的估计值为n2nx2)i( xisi 1i 1（ 19）n 1n1这里 i xix 成为残差， s 亦成为单次侧量的标准偏差或测量列x1, x2 , , xn的标准偏差。算术平均值x 的标准误差估计值（算术平均值的标准偏差）为：n(xix )2sni 1（ 20）s( x)n(nn1)（三）直接测量的数据处理1. 等精度测量的数据处理以上所

15、讲的多次测量是在相同的条件下进行的，所以各次测量可以认为是等精度的，在此情况下，测量结果表示为：xxs(x)（21）nx)21n(xi其中xi,s( x)i 1xn(n1)ni 1上式表示的意义为，真值以约为68.3%的置信概率落在 xs( x), x s(x ) 区间内。注意：这里的“约 68.3%”概率是因为测量值 x 在有限次测量中偏离正态分布，若要保持标准偏差 68.3%的置信概率，还应该乘一个 t 因子（后叙） 。2. 不等精度测量的数据处理一般说，在不同测量条件下或用不同精度的仪器和不同的测量方法进行测量，所得的测量值是不等精度的。 这时若依然取测量值的算术平均值作为最佳估计值显然

16、是不合理的，应该让精度高的测量值有较大贡献，精度低的有较小贡献，即采用所谓的“加权平均”的做法，使精度不同的测量值占有不同的权（或权重）。权可以如下定义：7k2=（ 22）s2式中， s 为测量值的标准偏差，k 为可使计算方便任意选取的常数，亦可令k=1.不等精度测量结果的表示式仍为xxs(x) ，但这里 x 为测量值的加权平均值：nnxi xii（ 23）i1i 1s(x) 为加权平均值的标准偏差1 nns( x)i ( xi x) 2（ 24）(n1)i1i 1从以上可见，标准偏差越小的观测值占的权重越大，标准偏差越大的权重越小。（四）间接测量的数据处理设间接测量量为yf ( x1, x2

17、 ,.)其中， x1 , x2,. 为直接测量量，且为独立变量。间接测量量的测量结果表示为：y y s( y)y f (x1, x2 ,.)其中：s( y) f s(x1 )2 f s(x2 )2.（25）x1x2式（ 25）亦称为标准偏差传递公式。二 t 分布上面一再提到，在测量中正态分布是以测量次数n 为条件的，但实际中只能做有限次测量，此时遵从正态分布的随机变量偏离正态分布而服从t 分布（亦称学生分布），令8xx0（ x0 为真值）（ 26）ts( x)则随机变量 t 服从自由度为 v =n-1的分布， t 分布的概率密度函数为：(v1)t2v 1f （t ）=22（ 27）(1v )v

18、v( )2( v1)v1其中t 2e t dt20( v )v1t dt0t 2e2为函数，它的性质和运算规则可以由数学用表查得。计算表明， t 的期望E(t)=0t 的方差Var(t)=v( v 2)v式（ 27）表明，在有限次测量中，随机误差的分布不仅与误差的大小有关，而且还与测量的次数 n(n=v+1) 有关。t 分布的概率密度函数是关于 t =0 的对称分布图线，一般比正态分布图线矮而宽，且在n 越小时越明显，当n 较大时如 n20时， t 分布图线与正态分布图线基本上一致。当 n时， t 分布趋于标准化正态分布（即期望为 0，方差为1 的正态分布）：1t 2f (t)e 2(28)2

19、图 2 中，图线为 v =4 的 t 分布图线 ， 为标准化正态分布图线。根据概率密度函数的定义， 随机变量 t 在某范围(- t p ， t p )内的概率P (见图 2) 为图 2t 分布图线9t pP(t pt t p )f (t )dt(29)t p从 t 分布的专门数据表可以查出各种测量次数的t p 与 P 的对应关系。由 tx x0 可知， t 在（ - t p ， t p ）范围内，即 - t px x0t p 。由此可得：s( x)s(x)x - t p s(x)x0x + tp s(x)（ 30）结合式（ 29）可知，式（ 30）表明：真值以P的置信概率落在置信区间 x -

20、t p s( x) ，x + t p s(x) 之内。由以上可知， 在有限次测量中， 若求出 x 和 s( x) ，并根据所要求的P 值和测量次数n，从 t 分布数据表查出相应的t p 值，即可据式（30）求得真值以概率P 可能落在其内的区间。式（ 30）也可写为：x0 = xt p s( x)（31）由式（ 31）可见，在有限次测量中，特别在测量次数很小的情况下，要使测量结果中的误差仍保持标准偏差所对应的68.3%的置信概率，应该将 s( x) 乘以 t 因子 t0.683 。即在系统误差可以忽略不计的情况下，服从正态分布的测量值，其测量结果的严格表示应为：x= xt0.683 s( x)(

21、p=68.3%)(32)表 1 为对应不同测量次数n 的 t0.683 表。从表中可见， t0.683 随测量次数n 的增加而趋于 1，相应于 t 分布当 n时趋向正态分布。表 1不同测量次数n 对应的 t0.683n23456789101520t0.6831.841.321.21.141.111.091.081.071.0610.41.03110三、二项式分布和泊松分布（一）二项式分布二项式分布是离散型分布。在对某一随机事件进行独立测量时，若事件出现的概率为 p，不出现的概率为q(q=1-p) ，那么 n 次独立重复测量中，该事件出现k 次的概率为：P(k)n!pnqn h（33）k!( n

22、k)!它的期望为 knp ，方差为2 (k)npq 。（二）泊松分布泊松分布也是离散型分布。当二项式分布中的n 很大 p 又很小时，也就是说，对稀有事件进行很多次测量时，泊松分布是二项式分布的渐进表达式。泊松分布为：kP(k)e（ 34）k !其中， k 为出现该事件的次数，=np 。在实际应用当中，当n 10， p 0.1时，就可以选用泊松分布来描述。泊松分布的数学期望与方差都等于，即 k, 2 (k )。因此，只要知道的值，就可以完全地确定其泊松分布。泊松分布如图3 所示，它是一个不对称分布。数目相当多的原子各自独立图 3泊松分布发射光子或数目相当多的原子核各自独立发生衰变就是这种情形，这

23、时单位时间内发射光子的数目或衰变次数遵从泊松分布。四、均匀分布均匀分布的特点是随机变量x 在一定的范围内，其概率密度函数为常数1 ，而在该2范围之外则为0，即1xf ( x)2（ 35）0xf ( x) 的图线如图4 所示。图 4均匀分布11在物理实验中， 如仪器灵敏阈不能反映的误差、 仪器估读或数字截尾而引入的误差，都可认为服从均匀分布。由计算可得，服从均匀分布的随机变量其期望为0，标准差为。3由f ( x) dx1可知，真值落入任意测量值附近的范围内的概率为57.7%357.7% 。 又 通 过 计 算 可 知 ， 对 于 随 机 误 差 其 置 信 概 率 为0.683 的 取 值 区

24、间 为（0.683 ,0.683）， 6830. 23。如在进行读数时，由估读引起的估读误差最大不会超过最小可分辨单位的一半，即读数最后一位的半个单位，而且在这正负半个单位的区间内估读误差应该是均匀分布的。均匀分布式中的正好等于这半个单位，于是可得对应于置信概率为0.683 的误差应为 2211个读数的最小单位， 即对应于置信概率 0.683 有 1 3个最小读数单3323位数的估读误差。4测量结果的不确定度表示一、测量结果的不确定度表示（一）不确定度概念在测量中由于误差的存在，真值不能确切知道，反过来，误差也不能确知，这就使测量的结果只能给出误差的可能范围，或真值存在的可能区间。为此，在误差

25、的基础上引入不确定度概念，以作为对测量结果的不准确程度的量化表述。不确定度是测量误差可能范围的测度，或者说是待测值可能存在区间的估计，它和测量误差是不同的概念。按照误差的定义，误差是测量值与真实之差，而且在实际上是未知的，所以它不能作为测量结果的不确定程度的量化表示。（二）不确定度的两类分量和合成不确定度测量结果的不确定度一般包含若干分量，这些分量可按其数值的评定方法归并成A 、 B 两类， A 类是对多次重复测量结果用统计方法计算的标准偏差；B 类是用其他方法估计的近似相当于标准偏差的值。用标准偏差或相当于标准偏差的值表示的不确定度称为标准不确定度，它对应着约68%的置信概率。如果各分量是独

26、立的，测量结果的合成标准不确定度是各个分量平方和的正平方根。根据需要可将合成标准不确定度乘以一个包含因子k（取值范围为23 ），作为展伸12不确定度，使测量结果能以更高概率（95%以上）包含被测真值。（三）测量结果的不确定度表示测量结果的不确定度表示为：x=xxU r =x100%（ P=68.3%）(36)x式中， x 为测量值的平均值；x 为不确定度； U r 为相对不确定度； P 为置信概率。上述表示形式的意义是，待测量的真值以置信概率P 落在（ xx ， xx ）范围内，其相对不确定度为U r 。在用不确定度对测量结果进行表示和书写时应注意下列问题：1.如果直接测量结果是最终结果，不确

27、定度用一位或两位数字表示。如果是作为间接测量的一个中间结果，不确定度最好取两位数。相对不确定度一律用两位数的百分数来表示。2.不确定度在计算中做尾数截取时，采用“只入不舍”的办法，以保证不降低其置信概率水平。 例如，计算得到不确定度为0.2412，截取两位数为0.25，截取一位数为0.3。3.测量结果的最末位以不确定度末位相对齐来确定并截取。例如，某长度l 的测量结果，计算得其平均值为 1.835 49m，其标准不确定度计算得 0.013 47 m，则测量结果表示为l(1.8350.014) mU r =0.77%（P68% ）l(1.840.02) mU r =1.1%（ P68% ）二、直

28、接测量结果的不确定度评定在实际测量中，根据已定系统误差的处理原则，对测量结果的已定系统误差分量进行修正后，已定系统误差的影响即被消除。测量结果的不确定度由各类未定系统误差因素和随机误差因素引起。（一）直接测量结果的A 类不确定度分量估算若对待测量x 进行多次复测量，测量结果以平均值x 表示，其 A 类标准不确定度分量为13nx)2( xiAt0.68 s( x )t0.68i 1n(n1)（37）式中， s( x ) 为平均值的标准偏差，t0.68 是 t因子。若测量次数较多时，可考虑直接用 s(x ) 作为标准不确定度，即A s(x ) 。（二）直接测量结果的B类不确定度分量估计B 类不确定

29、度是指用非统计方法求出或评定的不确定度，如测量仪器不准确，标准不准确，某些未定系统误差因素引起的测量不准确等。评定 B类不确定度常用估计的方法 :对 B 类不确定度的具体估计往往是一个复杂而容易存在争议的问题，因为它涉及到对获得 B 类不确定度的信息（如仪器准确度，器具材料的某些指标等）和引起不确定度因素的研究或认识（如对引起不确定度的误差服从的分布规律的估计等），对其估计是否适当还与实验者的实践经验和学识水平有关。对B 类不确定度的估计是不确定度研究的重点问题。在物理实验中，我们对直接测量能掌握的有关B类不确定度的信息主要来自于仪器或器件的准确度。对学生实验，基于简化考虑，在一般情况下仅限于

30、对由仪器或器件引起的 B 类不确定度的处理。对仪器和器件引起的不确定度介绍如下几种情况：1. 不确定度给出为标准差的若干倍例如，一标称值为 1000g的标准砝码， 鉴定证书给出信息：“质量 ms =1000.000 325 g ，该 值 的 不 确 定 度 按 三 倍 标 准 差 为 240g ”。 显 见 ， 该 值 的 B 类 不 确 定 度B =240g /3=80g 。2不确定度给出较大的置信率区间例如，标称值为10的标准电阻，标准证书给出：“在 23C 时， R0 =10.000 742 129 (P=0.99) 。”显见置信率为 99%，故 129 不是标准不确定度，它是展伸不确定

31、度，是由标准不确定度乘以一个称作包含因子的系数得到的。包含因子与置信概率的关系如表 2示。表 2 包含因子与置信概率的关系P%5068.390959999.7140.674 511.6451.962.5763K p从表可知， 129是由标准不确定度乘以2.576得到的，所以电阻R的 B类标准不确定度B =129 /276=50.。3. 信息给出的是仪器误差限许多仪器给出的不是不确定度，而是误差限（物理实验中遇到的大部分是这种情况），则 B类标准不确定度B 为BK其中， K 是一个系数，视仪器误差的概率分布而定。可以计算，若仪器误差为正态分布取 K=3 ，若为均匀分布取K=3 通常级别较高的仪器

32、的仪器误差可视为正态分布，级别较低的仪器可视为均匀分布。在我们物理实验中若不能确定仪器误差的分布，可视为是均匀分布。某些常用仪器的仪器误差限（亦称允差）见表3。表 3某些常用实验仪器的允差15仪器名称木尺（竹尺）钢板尺钢卷尺游标卡尺螺旋测微器（千分尺）七级天平（物理天平）三级天平（分析天平）普通温度计（水银或有机溶剂）精密温度计（水银）电表（ 0.5级）电表（ 1.0级）数字万用表量程分度尺3050cm1mm60100cm1mm150mm1mm500mm1mm1000mm1mm1m1mm2m1mm0125mm0.02mm0.05mm025mm0.01mm500g0.05 g200g0.1 mg

33、0100C10100C0.1 允差1.0 mm 1.5 mm 0.10 mm 0.15 mm 0.20 mm 0.8 mm1.2 mm 0.02 mm 0.05 mm 0.004 mm满量程 0.08 g综合误差1/2满量程 0.06 g1/3 满量程 0.04 g满量程 1.3mg综合误差1/2满量程 1.0mg1/3 满量程 0.7mg 1 0.2 0.5%量程1.0%量程 a%读数字数（其中 a对不同的表和不同的测量功能有不同的数值）（三）直接测量结果的合成不确定度和测量结果表示直接测量结果其A 、 B两类不确定度分量合成的标准不确定度可表示为22xAB（38）测量结果为x x x ，

34、U rx 100%(P 68%)（ 39）x（四）直接测量结果不确定度的评定步骤1. 尽可能把测量中各种系统误差减至最小。例如采用适当的测量方法予以抵消，16或改变测量条件使之随机化，或确定出修正值进行修正。2. 确定并记录仪器的型号，量程，最小分度值，示值误差限和灵敏阈。3. 当准备好测量时，取 34个观察值并注意其偏差情况。如果偏差几乎不存在，或与仪器的误差限相比很小，那就不必进行多次测量，而以其中任一次测量值表达测量结果，其不确定度只以仪器示值误差限计算。4. 若发现各观测值偏差较大，以至可以与仪器的误差限相比拟或更大，则取510次的测量值， 以平均值表示测量结果，其不确定度以A 类和

35、B类的合成不确定度表示。三、间接测量的不确定度和测量结果表示设 y为间接测量量，x1 , x2 ,为独立的直接测量量yf ( x1 , x2 ,)其测量结果表示为：y yy， U ry 100%( P 68%)(40)y其中yf (x1, x2 ,)y(fx1 ) 2(fx2 )2（ 41）x1x2以上y 与 U r 为间接测量量的不确定度和相对不确定度，x为各直接测量量的不i确定度。式（ 41）亦称为间接测量的不确定度的传递或合成公式，在形式上与标准偏差的传递公式完全一致。 常用函数的不确定度传递公式可参照相应的标准偏差传递公式。以上关于不确定度传递关系即适用于标准不确定度也适用于高置信概率

36、的不确定度，但要注意统一。所有直接测量值都用标准不确定度表达时，传递的间接测量结果的不确定度也是标准不确定度，即置信概率保持在 68%左右。所有直接测量值都用高置信概率表达时，经传递后仍然是高置信概率的不确定度。5曲线拟合在数据处理中，经常需要根据两个量的一批测量值( xi , yi ) (i1,2, n) 来找17出两个量Y 与 X 之间满足的一个函数关系式Yf ( X ) ，此类问题称为曲线拟合问题。在这类问题中，又可分为两种情况：变量间的函数形式可根据理论分析或以往的经验确定， 但其中的一些参数有待实验来确定； 变量间的具体函数形式没有确定，有待实验确定并估计出其中的参数，这类问题，往往

37、用一个多项式来拟合。下面就如何用最小二乘法在等精度测量的条件下进行拟合的问题作简单的介绍。最小二乘法原理：设Y 和 X 两个物理量有函数关系Y f ( X; a1, a2 , , ak )（42）其 中 ，a1 , a2 , ak 等 参 数 有 待 确 定 ， 现 在 欲 从 一 批 测 量 到 的 数 据( xi , yi ) (i1,2 , n) 作出对这些参数的估计。设实验中的误差主要来自对Y 的测量， X 的测量误差可以忽略不计。最小二乘法原理表明，在等精度测量的情况下，各参数的估值应使Y 的测量值yi 与其真值的估值为最小，即各参数的估值应使下式为最小。n2yif ( xi ; a

38、1, a2 ak )43）（i 1若Y f ( X ,a1 ,a2 ,ak ) 是 参 数 a1 ,a2 ,ak 的 线 性 函 数 ， 则 称a1, a2 ,ak 为线性参数， 否则为非线性参数。 下面重点介绍线性参数情况，这其中又着重介绍常用的直线拟合和用多项式拟合曲线的问题。一、线性参数情况一般地讲，解决此类问题的大致程序为： 首先根据所测数据所表现的规律性，或根据理论、经验。确定X 和 Y 的函数关系，即给出式（42）的具体形式；根据最小二乘法原理，求式（43）对各参数的偏导数，并使其等于0，进而得到与参数个数相等的以各参数为未知数的线性方程所组成的方程组，借此方程组求出各参数的最佳估值；因为测量值有误差，各参数的估值亦必有误差，求出各参数估值的标准差。必要时还可求出各参数估值间的协方差，以了解其相关关系。一般来说， 解上述方程组是一个很繁杂的工作，往往把方程组写成规定的形式（称为正规方程） ，采用矩阵 - 向量的方法对其表示和计算。矩阵方法不仅表达式简洁，而且特别便于计算机处理。（一）直线拟合1.a 和 b 的估计18设 Y 和 X 两变量有直线关系Y a bX（ 44）其中， a， b 是两个待定的参数。现由X 和 Y 的 n 组测量值 ( xi , yi ) (i1,2 , n) 对参数 a， b 进行估值。设 X 和 Y 两个量中 X 的相对误