高三理科数学第一学期期末考试

1、高三理科数学第一学期期末考试数学试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分。考试时间120分钟。第卷（选择题共 60 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。2第小题选出答案后，用铅笔把题答卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 U R, 集合 A x | y11 , 则 CU A =（）xA x | 0 x1B x | x 0或 x 1C x |

2、 x 1D x | x02已知向量 a (1,1),b(2, n), 若 | ab |a b ，则 n=（）A 3B 1C 1D 33有关命题的说法错误的是（）A命题“若 x23x20,则 x1”的逆否命题为：“若x 1, 则 x 23x20 ”B“ x=1”是“ x23x20 ”的充分不必要条件C若 pq 为假命题，则p、q 均为假命题D对于命题 p :xR使得 x2x 10 ，则 p : xR,均有 x 2x 104三视图如右图的几何体的全面积是（）A 22B 12C 23D 135已知函数 f (x)2sinx(0)在区间,34上的最大值是2，则的最小值等于（）23A B 32C2D 3

3、6设 a,b 是两个实数，且a b， a5b 5a3b2a2 b 3 , a 2b22(ab1) ，ab（）b2 。上述三个式子恒成立的有aA 0 个B 1 个C 2 个D 3 个7各项都是正数的等比数列 an 的公比 q1 ，且 a1a3 , a1 成等差数列，则a3a4的2 ,a4a52值为（）A 15B 5 1C5 1D5 1 或5 1222228设 f (x)是函数 f (x)的导函数 ,将 yf ( x)和 yf ( x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）9已知( x, y) | x y 6, x 0, y 0, A( x, y) | x4, y 0, x2 y0 ，

4、若向区域上随机投一点P，则点 P 落入区域 A 的概率为（）A 22C1D19B 39310 6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4 人，则不同的乘法方法数为（）A 40 种B 50 种C 60 种D 70 种11已知抛物线y22 px( p 0)与双曲线 x2y21有相同的焦点F，点 A 是两曲线a2b 2的交点，且 AF x 轴，则双曲线的离心率为（）A 51B 3 1C2 1D22122x12一次研究性课堂上，老师给出函数f ( x)( xR) ，甲、乙、丙三位同学在研1| x |究此函数时分别给出命题：甲：函数 f ( x)的值域为 ( 1,1) ；乙：若 x1x2 则一定有 f

5、(x1 )f ( x2 ) ；丙：若规定f ( x1 ) f ( x), f ( xn )f ( f n 1 ( x), 则 f n (x)x对任意 nN * 恒n | x |1成立你认为上述三个命题中正确的个数有（）A 3 个B 2 个C 1 个D 0 个第卷 （非选择题，共90 分）注意事项：1用 0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分。13若 tan2, tan() 3,则 tan(2 ) 的值为；x2y 2x 2y 21 的渐近线相切的圆的14以椭圆1441的右焦点为圆心，且与双曲线1616

6、99方程为；15已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V=；16已知 ( x21) 5 1 的展开式中的常数项为T ， f ( x) 是以 T 为周期的偶函数，且当5x 3x 0,1时 , f (x)x, 若在区间 1,3内,函数 g( x) f ( x) kxk 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是。三、解答题：本大题共6 小题，满分 74 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17（本小题满分12 分）在 ABC 中，角 A 、B、C 的对边分别为a,b,c，已知 A,a 2 3 。3设 B=x ， ABC 的周长为 y。（ 1

7、）求函数 y f (x) 的解析式和定义域；（ 2）求 y f ( x) 的单调区间。18（本小题满分12 分）甲、乙两人准备参加中央电视台组织的奥运志愿者选拔测试。已知在备选的 10 道试题中， 甲能答对其中的 6 道，乙能答对其中都从备选题中随机抽出 3 道进行测试，至少答对 2 道才能入选。的 8 道。规定每次考试（ 1）求甲答对试题数的概率分布及数学期望。（ 2）求甲、乙两人至少有一人入选的概率。19（本小题满分12 分）已知数列 an 是首项为 a11 , 公比 q41 的等比数列 ，设4bn23log 1an (nN*)，数列 cn 满足 cnanbn 。4（ 1）求证： bn 是

8、等差数列；（ 2）求数列 cn 的前 n 项和 Sn；（ 3）若 cn1 m2m 1对 一切正整数 n 恒成立，求实数m 的取值范围。420（本小题满分 12 分）如图，三棱锥 P ABC 中，PC平面 ABC ，PC=AC=2 ，AB=BC ， D 是 PB 上一点，且 CD平面 PAB 。（ 1）求证： AB 平面 PCB；（ 2）求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小；（ 3）求二面角 C PA B 的大小。21（本小题满分x2y21(ab 0) 的两个焦点为 F1， F2，椭圆上12 分）已知椭圆b 2a2一点 M (2 6,3 ) 满足 MF1 MF20.33（ 1）求椭圆的方程；

9、（ 2）若直线 L ：y= kx2 与椭圆恒有不同交点A 、B，且 OA OB 1（ O 为坐标原点） ，求 k 的范围。22（本小题满分 14 分）定义 F ( x, y)(1x) y , x, y (0,) ，（ 1）令函数 f ( x)F (1, log 2 ( x24x 9) 的图象为曲线C1，曲线 C1 与 y 轴交于点 A（0， m），过坐标原点O 作曲线 C1 的切线，切点为B（ n,t）（ n0 ），设曲线 C1在点 A 、B 之间的曲线段与线段OA 、 OB 所围成图形的面积为 S，求 S 的值。（ 2）当 x, y N * 且 xy时 , 证明 F ( x, y)F ( y

10、, x);（ 3）令函数 g( x)F (1, log 2 (x3ax2bx1) 的图象为曲线C ，若存在实数 b 使得2曲线 C2 在 x0 (4x01) 处有斜率为 8 的切线，求实数a 的取值范围。参考答案一、选择题ADCACBCDAB CA二、填空题13 114 (x 5) 2y 21615 1216 (0, 1 764三、解答题17解（ 1）： ABC 的内角为 A+B+C=由 A=, B0,C00B2. 2 分3得3由正弦定得知：ACBCsin B23sin x4sin x 4 分sin Asin3ABBCsinC4sin(2sin Ax). 6 分3因为 y=AB+BC+AC所以

11、 y4 sin x 4sin( 2x)2 3(0x2 ). 7 分33（2）因为 y4(sin x3 cos x1 sin x)232243 sin( x)23 9 分26而 0x,356x6. 11 分6当即,( ) 单调递增x,0x时 fx6623当x65,即x2 时, f (x) 单调递减26332yf x 的单调递增区间为递减区间为 12 分()(0,3, ).3318解：（ 1）依题意，甲答对试题数的可能取值为0、 1、 2、 3，则P(0)C431, P(1)C61 C423C103C103,3010P(2)C62 C4113)C631C103, P(C103, 4 分26其分布列

12、如下：0123P1311301026甲答对试题数的数学期望E =0 1 +1 3 +2 1 +3 1 = 9 . 6 分3010265（ 2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则C62C41C6360 20 2P( A)120,C1033C82C21C8356 56 14P(B)120 8 分C10315因为事件 A 、B 相互独立，甲、乙两人考试均不合格的概率为P( A B) P( A)P( B)(12)(114)1 ,31545甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1 P( AB)1144 .4545答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44 . 12 分45另解：甲、乙两人

13、至少有一个考试合格的概率为P P( A B)P( A B)P( AB)2111421444315315315.45答：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为44.( 1 )n (n4519解：（ 1）由题意知， anN*) 1 分4bn3log 1an2,b13log 1a12144bn 1bn3log 1an13 log 1an3log 1an 13 log 1q3an4444数列 bn 是首项 b11, 公差 d3的等差数列4 分（ 2）由（ 1）知，an(1 )n ,bn32(nN*)4n1cn(3n2)() n , (nN*) 5 分4Sn114(1) 27(1) 3(3n5)1)n 1

14、(3n2) (1) n ,44444于是 1 Sn1( 1) 24( 1) 37 ( 1 )4(3n5)1 )n(3n2) ( 1 )n 1444444两式相减得 3 Sn13( 1 )2( 1) 3( 1) n (3n 2) ( 1 ) n 14444441(3n2)( 1) n 1.24Sn212n8(1) n1 (nN*) 8 分33411（ 3）cn1cn(3n1)() n 1(3n2)()n( 1) n449(1n)1 ,( nN *)41当 n=1 时， c2c14当 n2时 ,cn 1cn ,即 c1c2c3c4cn当 n=1 时， cn 取最大值是141 m2又 cnm对一切正

15、整数 n恒成立411 m2m1144即 m24m50得 m1或 m512 分20解法一：（ 1） PC平面ABC ， AB平面 ABC ，PCAB 。2 分CD 平面 PAB ， AB平面 PAB ，OC AB 。4 分又 PC CD=C ，AB 平面 PCB。4 分（ 2）过点 A 作 AF/BC ，且 AF=BC ，连接 PF，CF 。则 PAF 为异面直线 PA 与 BC 所成的角。5 分由（ 1）可得 AB BC,CF AF.由三垂线定理，得 PF AF 。则 AF=CF= 2 , PFPC 2CF 26.在 Rt PFA 中， tanPAFPF63,AF2异面直线 PA 与 BC 所

16、成的角为 8 分3（ 3）取 AP 的中点 E，连接 CE、 DE 。PC=AC=2 ，CE PA， CE= 2 。CD 平面 PAB 。由三垂线定理的逆定理，得DE PA 。 CED 为二面角 C PA B 的平面角。10 分由（ 1） AB 平面 PCB，又 AB=BC ，可求得 BC=2.在 Rt PCB 中， PB= PC 2BC26,CDPC BC222PB632CD36.在 Rt CDE 中， sin CED23CEC PA B为 arcsin612 分3解法二：（ 1）同解法一。（ 2）由（ 1） AB 平面 PCB ，PC=AC=2 ，又 AB=BC ，可求得BC=2.以 B

17、为原点，建立如图所示的坐标系。则 A （ 0， 2 ， 0）， B（ 0， 0， 0），C（2 ， 0， 0）， P（2 ， 0，2）。AP(2,2,2), BC(2,0,0).7 分则 APBC220 0 2.cosAP BCAP, BC| BC | AP |2 1 .2 22 2异面直线 AP 与 BC 所成的角为. 8 分3（3）设平面 PAB 的法向量为 m( x, y, z)AB (0,-2,0), AP(2, 2,2),AB m02 y0,则.即2 x2 y2z 0.AP m0y0,解得x 2z令 z= 1，得 m ( 2,0, 1)设平面 PAC 的法向量为n( x , y ,

18、z )PC(0,0, 2), AC( 2 ,2,0)则 PC n 0,即 2z 0,AC n0.2x2 y0.z0,解得xy令 x1, 得n.(1,1,0) 10 分21解：（ 1）设 F1（ c,0）， F2（ c， 0）MF1( c26,33)3MF 2(c26 ,3)33MF1MF20c2( 2 6 ) 2( 3 ) 2033c232 分a 2b23又点 M 在椭圆上8113a23b 2由代入得8113a 23(a 23)整理为： a 46a280a22或 a24a 23a 24, b21 4 分椭圆方程为x2y215 分4（ 2）由x2y 21消去 解得1k2 )x2221 0 7 分4,y(kxykx24设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )则 OA OBx1 x2y1 y2x1 x2(kx12)(kx22)(1 k 2 ) x1 x22k(x1 x2 ) 264k14k221 10 分k 25 ,又由k 210得 k 21 ,18544k 2,48k(10 ,1)( 1 ,10 ) 12 分422422解：（ 1）F ( x, y)(1x) yf ( x)F (1,log 2 ( x 24 x9)2log 2 (x24 x9)x24x9 ，故 A （0， 9） 1分又过坐标原点